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最优控制理论与系统 课后习题解答 December 27, 2013 第二章习题 习题2-5 x(0) = 1，x(1) = 2，求x(t)使 J = Z tf t0 (1 + x2)dt 取极值 解：两端固定无约束泛函极值问题，应用欧拉方程。 L x d dt x = d dt 2 x = 2 x = 0 x = c1,x = c1t + c2 代入终端条件 x(0) = 1 c2= 1 x(1) = 2 c1+ 1 = 2 c1= 1 则极值轨迹x(t) = t + 1 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20132 / 33 第二章习题 习题2-6 x(1) = 4，x(tf) = 4，tf自由且tf 1。求x(t)使 J = Z tf 1 2x(t) + 1 2 x2(t)dt 取极小值 解：这时始端固定，末端受约束的泛函极值问 题，F = 2x(t) + 1 2 x2(t)，x(tf) = c(tf) = 4。由欧拉方程 L x d dt x = 2 d dt x(t) = 2 x(t) = 0 x(t) = 2t + c1,x(t) = t2+ c1t + c2 由x(1) = 4得 1 + c1+ c2= 4 c1+ c2= 3(A-1) 由x(tf) = 4得 t2 f + c1tf+ c2= 4(A-2) 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20133 / 33 第二章习题 由起点固定，末端受约束的横截条件 ? L + ( c x)T L x ? ? ? ? ?t f = 2x 1 2 x2= 0(A-3) (A-1)代入(A-2)， t2 f + c1tf c1 1 = 0 t2 f 1 + c1(tf 1) = 0 c1= t2 f 1 tf 1 = (tf+ 1)(A-4) 由(A-3)得： 8 2t2 f 2c1tf 1 2c 2 1= 0 (A-5) (A-4)代入(A-5)得 8 2t2 f + 2(tf+ 1)tf 1 2(tf + 1)2= 0 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20134 / 33 第二章习题 化简得 t2 f 2tf 15 = 0 解得tf= 5,3，因tf 1舍去3 将tf代入(A-4)c1= 6，c1代 入(A-1)得c2= 9 最优极值轨线 x(t) = t2 6t + 9(A-6) 根据第二个勒让德条件 2L x2 d dt 2L x x = 0, 2L x2 = 1 0 可知(A-6)的极值轨线使泛函取极小值。且有泛函极值 J = Z tf 1 4(t2 6t + 9)dt = 4 3(t 3) 3 ? ? ? ? 5 1 = 64 3 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20135 / 33 第三章习题 习题3-3 设一阶系统方程 x(t) = u(t),x(0) = 1,x(tf) = 0 试求最优控制u(t)，使性能指标 J = 2tf+ 1 2 Z tf 0 u2(t)dt 极小。设tf自由。 解：此问题属于定常系统、积分型性能指标，tf自由和末端固定的最优 控制问题。性能指标可写为如下形式： J = 1 2 Z tf 0 4 + u2(t)dt 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20136 / 33 第三章习题 令哈密顿函数 H = 2 + 1 2u 2(t) + (t)u(t) = 1 2u 2(t) + 2(t)u(t) + 2(t) 2(t) + 4 = 1 2u(t) + (t) 2 2(t) + 4. 使H取极小的最优控制U(t) = (t)。由协态方程 (t) = H x = 0 (t) = c1. 由状态方程 x(t) = u(t) = c1 x(t) = tc1+ c2. 因为x(0) = 1，故c2= 1。 x(t) = 1 tc1 x(tf) = 1 tfc1= 0 tf= 1 c1 . 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20137 / 33 第三章习题 因为 H(t f) = 0 = 2 + 1 2c 2 1 c 2 1 c1= 2, c1= 2与tf= 1 c1不符，所以c1 = 2。所以有最优控制 u(t) = 2, 最优状态 x(t) = 1 2t, t f = 0.5, 以及 J= 2. 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20138 / 33 第三章习题 习题3-8 设一阶系统 x(t) = u(t) x(t),x(0) = 2 控制约束为 ? ?u(t)? 1。试确定最优控制u(t)，使性能指标 J = Z 1 0 2x(t) u(t)dt 为极小值。 解：本题为定常系统，积分型性能指标，tf固定，x(tf)自由的最优控制 问题。取哈密顿函数 H = L + f = 2x(t) u(t) + (t)u(t) x(t) = (t) 1u(t) + 2 (t)x(t) 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 20139 / 33 第三章习题 因此有 u(t) = 1,(t) 1 0 不确定,(t) 1 = 0 1,(t) 1 0.3069 不确定,t = 0.3069 1,t 0.3069 . 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201311 / 33 第四章习题 习题4-1 设拟建设的天然气管道如下图所示，图中A，B，C，L表示压缩机 站，各线段上的箭头表示确定的天然气流动方向，线段上的数字则表示 各管段的流通能力。试求该网络从起点A到终点L的最大流通能力及相应 的最优路径。 A B C D E F G H I J K L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-1 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201312 / 33 第四章习题 解：首先由L开始逆向计算每一个压缩机站的最大流通能力，并标注在 站点编号右侧，为了便于区别，同时用加粗线条标注由该站点出发的最 优路径。首先，G，J，I，K四个站点只有一条路径（一种决策）通向下 一个站点，只须标注最大流通能力，无需给出最优路径。 A B C D E F G(5) H I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-2 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201313 / 33 第四章习题 对于站点H，有两条决策路径，代价相等，因此两条路径均为最优路 径。 A B C D E F G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-3 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201314 / 33 第四章习题 对于站点E，最佳决策代价为9，站点F两条路径代价相等，均为10。 A B C D E(9) F(10) G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-4 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201315 / 33 第四章习题 站点D的最佳路径为最下方的一条，代价为13。 A B C D(13) E(9) F(10) G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-5 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201316 / 33 第四章习题 站点B的最佳路径为下方的一条，其代价为16；站点C的最佳路径较上 方的一条，其代价为15。 A B(16) C(15) D(13) E(9) F(10) G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-6 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201317 / 33 第四章习题 站点A的最上方和最下方路径代价相同，为19。 A(19) B(16) C(15) D(13) E(9) F(10) G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-7 :天然气管道网络 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201318 / 33 第四章习题 至此，各站点最佳路径及其代价已经得到，删去无法到达的路径E-G， 最佳路径如下： A(19) B(16) C(15) D(13) E(9) F(10) G(5) H(6) I(5) J(4) K(3) L 3 4 2 5 3 2 2 2 1 3 4 2 4 5 2 3 1 2 4 3 图图图 A-8 :天然气管道网络 共有6中不同的路径组合： ABDFHJLABDFHKLABDFIKL ACDFHJLACDFHKLACDFIKL 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201319 / 33 第四章习题 习题4-3 设离散系统方程 x(k + 1) = x(k) + u(k) 性能指标 J = 3 X k=0 x3(k) + u(k)x(k) + u2(k)x(k) 0 式中u(k)限取+1或1。要求末端状态为x(4) = 2。试求最优控 制u(k)和最优轨线x(k)，k = 0,1,2,3。解：由末端逆向递推， 当k = 3，有 J(3) = x3(3) + u(3)x(3) + u2(3)x(3) = ( 3,u = 1 27,u = 1 因此 u(3) = 1,x(3) = 1,J(3) = 3 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201320 / 33 第四章习题 当k = 2，有x(3) = 1，且 J(2) = x3(2) + u(2)x(2) + u2(2)x(2) = ( 0,u = 1 8,u = 1 因此 u(2) = 1,x(2) = 0,J(2) = 0 当k = 1，有x(2) = 0，且 J(1) = x3(1) + u(1)x(1) + u2(1)x(1) = ( 3,u = 1 1,u = 1 因此 u(1) = 1,x(1) = 1,J(1) = 3 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201321 / 33 第四章习题 当k = 0，有x(0) = 1，且 J(0) = x3(0) + u(0)x(0) + u2(0)x(0) = ( 12,u = 1 0,u = 1 由于u(0) = 1使得J(0) = 12，进而有J 0，因此 u(0) = 1,x(0) = 0,J(0) = 0 综上，最优控制为 u= 1,1,1,1 最优轨线为 x= 0,1,0,1 性能指标为 J = 3 X k=0 J(k) = 0 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201322 / 33 第五章习题 习题5-5 给定一阶系统 x(t) = u(t),x(1) = 3 性能指标 J = x2(5) + Z 5 1 1 2u 2(t)dt 试求最优控制u(t)和最优性能指标J。 解：依题意可知A = 0，B = 1，F = 2，Q = 0，R = 1。黎卡提方程及 其边界条件可写为： P = PA + ATP PBR1BTP + Q = P2 P(tf) = F = 2 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201323 / 33 第五章习题 解得 P(t) = 1 5.5 t 最优控制 u(t) = R1BP(t)x(t) = 1 5.5 tx(t) 最优性能指标为 J= 1 2P(t0)x 2(t0) = 1 最优轨线 x(t) = 1 3(11 2t) 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201324 / 33 第五章习题 习题5-6 已知一阶系统状态方程 x(t) = 1 2x(t) + u(t) 当t0= 0， x(t0) = 2；当tf= 1时，x(tf)自由。性能指标 J = 5x2(1) + 1 2 Z 1 0 2x2(t) + u2(t)dt 试求最优控制u(t)和最优轨线x(t)。 解：依题意可知A = 1 2，B = 1，P = 10，Q = 2，R = 1。黎卡提方 程及边界条件为 K = KA + ATK KBR1BTK + Q = K K2+ 2 K(tf) = P = 10 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201325 / 33 第五章习题 令 K(t) = dv(t) dt v(t) , 则有 dK(t) dt = ? dv(t) dt ?2 v(t)2 d2v(t) dt2 v(t) . 因此 ? dv(t) dt ?2 v(t)2 d2v(t) dt2 v(t) = ? dv(t) dt ?2 v(t)2 dv(t) dt v(t) 2, 两边减去 ? dv(t) dt ?2 v(t)2 并乘上v(t)并移项，得 d2v(t) dt2 dv(t) dt 2v(t) = 0. 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201326 / 33 第五章习题 设方程解与et成比例，将v(t) = et代入得 d2 dt2 (et) d dt (et) 2et= 0. 消去微分号得 2et et 2et= 0. 由于对于有限的，et6= 0，因此有 2 2 = 0. 对于根 = 1有通解v1(t) = c1et；对于根 = 2有通解v2(t) = c2e2t， 因此v(t)的通解为 v(t) = v1(t) + v2(t) = c1 et + c2e2t. 将K(t) = dv(t) dt v(t) 代回，得 K(t) = c1 2c2e3t c1+ c2e3t = c2 ? 2e3t+ c1 c2 ? c2 ? e3t+ c1 c2 ? . 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201327 / 33 第五章习题 销项并重新定义c1 c2为c1得 K(t) = 2e3t+ c1 e3t+ c1 = 3c1 e3t+ c1 2. 将边界条件K(1) = 10代入，解得 c1= 4e 3 3 . 因此有 K(t) = 12e3 3e3t+ 4e3 2. 最优控制为 u(t) = R1BTK(t)x(t) = K(t)x(t). 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201328 / 33 第五章习题 由状态方程 x(t) = A BR1BTK(t)x(t), 因为t0= 0时 x(t0) = 2，故 x(0) = 3 2 12e3 4e3 3 ! x(0) = 2, 解得 x(0) = 12 16e3 12e3+ 9 . 最优性能指标为 J= 1 2K(0)x(0) 2 0.8546 课后习题解答最优控制理论与系统December 27, 201329 / 33 第五章习题 习题5-6b 已知一阶系统状态方程 x(t) = 1 2x(t) + u(t) 当t0= 0， x(t0) = 2。性能指标 J = 1 2 Z 0 2x2(t) + u2(t)dt 试求最优控制u(t)和最优轨线x(t)。 解：本题为定常系统无限时间状态调节器最优控制问题。依题意可 知A = 1 2，B = 1，Q = 2，R = 1。代数黎卡提方程为 0 = KA + ATK KBR1BTK + Q = K K2+ 2 解得K = 2,1。因为K正定，固有K =