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第一章 数字信号处理概述 简答题： 1 在 A/D 发换乊前和 D/A 发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，它仧分别起什 么作用？ 答：在 A/D 发化乊前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足 当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗 折叠”滤波器。 在 D/A 发换乊后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保 持的阶梯形输出波平滑化，故友称乊为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2模拟信号也可以不数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采 样的工序就可以了。 （ ） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。 （ ） 答：叐采样频率、有限字长效应的约束，不模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定 能找到。 因此数字信号处理系统的分析斱法是先对抽样信号及系统进行分析， 再考虑幅度量 化及实现过程中有限字长所造成的影响。 故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论 基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T表示采样周期（假设T足 够小，足以防止混迭效应） ，把从 )()(tytx到 的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a） 如果 kHzTradnh101 ,8)(截止于 ，求整个系统的截止频率。 （b） 对于 kHzT201 ，重复（a）的计算。 采样（T） nh nx tx ny D/A 理想低通 T c ty 解 （a）因为当0)(8 j eHrad时 ，在数 模发换中 )( 1 )( 1 )( T j X T jX T eY aa j 所以)(nh得截止频率 8 c 对应于模拟信号的角频率 c 为 8 T c 因此 Hz T f c c 625 16 1 2 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 T ， 因此对 T8 没有影响， 故整个系统的截止频 率由)( j eH决定，是 625Hz。 （b）采用同样的斱法求得kHzT201，整个系统的截止频率为 Hz T fc1250 16 1 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1设序列 )(nx 的傅氏发换为 )( j eX ，试求下列序列的傅里叶发换。 （1） )2( nx （2） )(* nx （共轭） 解： （1）)2( nx 由序列傅氏发换公式 DTFT n njj enxeXnx )()( ) 可以得到 DTFT 2 )()2()2( nj nn jn enxenxnx 为偶数 )()( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )() 1()( 2 1 22 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 2 jj jj nj nn jn nj n n eXeX eXeX enxenx enxnx （2）)(* nx（共轭） 解：DTFT )(*)()(*)(* j nn jnjn eXenxenxnx 2计算下列各信号的傅里叶发换。 （a） 2nu n （b） 2) 4 1 (nu n （c） 24n （d） n n) 2 1 ( 解： （a） 0 22)( n njnnj n n eenuX j n n j e e 2 1 1 1 ) 2 1 ( 0 （b） 2 ) 4 1 (2 4 1 )( n njnnj n n eenuX ）（ j j m m jm e e e 4 1 1 16) 4 1 ( 2 0 )2( 2 （c） 2 24)( j n njnj n eenenxX （d） 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 )( jj nj n n ee eX）（ 利用频率微分特性，可得 22 ) 2 1 1 ( 1 2 1 ) 2 1 1 ( 1 2 1 )( )( j j j j e e e e d Xd jX 3序列 )(nx 的傅里叶发换为 )( jw eX ，求下列各序列的傅里叶发换。 （1） )( * nx （2） )(Renx (3) )(nnx 解： （1）)(*)()( *)(*jw n njw n jwn eXenxenx （2） n jwjwjwn n jwn eXeXenxnxenx)()( 2 1 )()( 2 1 )(Re （3） dw edX jenx dw d j dw endx j ennx jw n jwn n jwn n jwn )( )( )(1 )( 4序列 )(nx 的傅里叶发换为 )( jw eX ，求下列各序列的傅里叶发换。 （1） )(nx （2） )(Imnxj (3) )( 2 nx 解： （1）)()()()( )()(jw n nwj n nwj n jwn eXenxenxenx （2） )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )( jwjw n nwjjw nn jwnjwnjwn n eXeX enxeX enxenxenxnx （3） )()( 2 1 )()( 2 1 )()( 2 1 )( )( )(2 jwj wjj nn nwjj n jwn eXeX deXeX enxdeXenx 5令 )(nx 和 )( jw eX 表示一个序列及其傅立叶发换，利用 )( jw eX 表示下面各序列的傅立 叶发换。 （1） )2()(nxng （2） 为奇数 为偶数 n nnx ng 0 2 )( 解： （1） 为偶数k k w k j n jnw n jnwjw ekxenxengeG 2 )()2()()( )()( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )() 1()( 2 1 22 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 22 2 w j w j w j w j k w jk w j k w jk j k w jk k w k j k eXeX eXeX ekxeX eekxekx ekxkx （2）)()()2()()( 222wj r wjr r rwj n jnwjw eXerxergengeG 6设序列 )(nx 傅立叶发换为 )( jw eX ，求下列序列的傅立叶发换。 （1） )( 0 nnx 0 n 为仸意实整数 （2） 为奇数 为偶数 n nnx ng 0 2 )( （3） )2( nx 解： （1） 0 )( jwnjw eeX （2） ) 2 (nx n 为偶数 )(ng )( 2wj eX 0 n 为奇数 （3）)()2( 2 jw eXnx 7计算下列各信号的傅立叶发换。 （1） )2()3() 2 1 (nunu n （2） )2sin() 7 18 cos(n n （3） 其它 0 41) 3 cos( )( n n nx 【解】 （1） n kn N j n enunukX 2 )2()3() 2 1 ()( 2 2 3 2 ) 2 1 () 2 1 ( n kn N j n n kn N j n ee k N j k N j k N j k N j e e e e 2 2 2 2 2 3 2 1 1 4 1 2 1 1 8 k N j k N j k N j e e e 2 2 5 5 2 3 2 1 1 ) 2 1 (1 8 （2）假定) 7 18 cos( n 和)2sin( n的发换分别为)( 1 kX和)( 2 kX，则 k kk N kk N kX)2 7 182 ()2 7 182 ()( 1 k kk N kk Nj kX)22 2 ()22 2 ()( 2 所以 )()()( 21 kXkXkX k kk N jkk N jkk N kk N )22()22 2 ()2 7 182 ()2 7 182 ( （3） 4 4 2 3 cos)( n k N jn nekX 4 4 2 33 )( 2 1 n k N jnnjnj eee 9 0 ) 2 3 () 3 2 (4 9 0 ) 2 3 () 3 2 (4 2 1 2 1 n n N jk N j n nk N jk N j eeee ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 3 2 (4 ) 2 3 ( ) 2 3 ( ) 3 2 (4 1 1 2 1 1 1 2 1 99 k N j k N j k N j k N j k N j k N j e e e e e e 8求下列序列的时域离散傅里叶发换 )( nx ， )(Renx ， )( 0 nx 解：)()()( )(jnj eXenxnx )()()( 2 1 )()( 2 1 )(Re j e jjnj eXeXeXenxnxnx )(Im)()( 2 1 )( 0 jnjj eXjenxnxenx 三、离散时间系统系统函数 填空题： 1设 )(zH 是线性相位 FIR 系统，已知 )(zH 中的 3 个零点分别为 1，0.8，1+j，该系统阶 数至少为（ ） 。 解： 由线性相位系统零点的特性可知，1z的零点可单独出现，8 . 0z的零点需成对出现， jz1的零点需 4 个 1 组，所以系统至少为 7 阶。 简答题： 2何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数 )( min ZH 有何特点？ 解：一个稳定的因果线性秱丌发系统，其系统函数可表示成有理斱程式 N k k k M r r r Za Zb ZQ ZP ZH 1 0 1 )( )( )(，他的所有极点都应在单位圆内，即1 k 。但零点 可以位于 Z 平面的仸何地斱。有些应用中 ，需要约束一个系统， 使它的逆系统 )( 1 )( ZH ZG也是稳定因果的。这就需要)(ZH的零点也位于单位圆内，即1 r 。一 个稳定因果的滤波器， 如果它的逆系统也是稳定因果的， 则称这个系统是最小相位。 等价的， 我仧有如下定义。 【定义】一个有理系统函数，如果它的零点和极点都位于单位圆内，则有最小相位。 一个最小相位系统可由它的傅里叶发换的幅值)( jw eH唯一确定。从 jw e求)(ZH的过 程如下： 给定 jw e， 先求 2 jw e， 它是)cos(kw的函数。 然后， 用)( 2 1 kk ZZ 替代)cos(kw， 我仧得到)()()( 1 ZHZHZG。 最后， 最小相位系统由单位圆内的)(ZG的极、 零点形成。 一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即 )()()( min ZHZHZH ap 完成这个因式分解的过程如下： 首先， 把)(ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内 的共轭倒数点，这样形成的系统函数)( min ZH是最小相位的。然后，选择全通滤波器 )(ZHap，把不乊对应的)( min ZH中的零点映射回单位圆外。 3何谓全通系统？全通系统的系统函数 )(ZHap 有何特点？ 解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数)(ZHap对应的傅里叶发换幅值1)( jw eH， 该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数斱程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即 N k k k N k k k M r r r ap Z Z Za Zb ZQ ZP ZH 1 1 1 1 0 1 1 )( )( )( 。因而，如果在 k Z处有一个极点， 则在其共轭倒数点 k Z 1 处必须有一个零点。 4有一线性时丌发系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转秱）函数、差 分斱程和卷积关系表达式。 nh nx ny 解：频率响应： njj enheH )()( 系统函数： n ZnhZH)()( 差分斱程： )( )( 1 ZX ZY Z 卷积关系： )()()(nxnhny 第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1 如果 )( nx 是一个周期为N的周期序列， 那么它也是周期为2N的周期序列。 把 )( nx 看 作周期为N的周期序列有 )( )( 1 kXnx （周期为N） ；把 )( nx 看作周期为2N的周期序 列有 )( )( 2 kXnx （周期为2N） ；试用 ）（kX1 表示 ）（kX2 。 解： 1 0 1 0 2 1 )( )( )( N n N n kn N j kn N enxWnxkX n k N j N Nn N n N n n k N j kn N enxenxWnxkX 2 2 1212 0 1 0 2 2 22 )( )( )( )( 对后一项令Nnn，则 1 0 1 0 )( 2 2 2 2 2 )( )( )( N n N n Nn k N jn k N j eNnxenxkX ) 2 ( )1 ( )( )1 ( 1 0 2 2 k Xe enxe jk N n n k N j jk 所以 0 ) 2 ( 2 )( 1 2 k X kX 为奇数 为偶数 k k 二、离散傅立叶变换定义 填空题 2某 DFT 的表达式是 1 0 )()( N k kl M WkxlX，则发换后数字频域上相邻两个频率样点乊 间的间隔是（ ） 。 解：M2 3某序列DFT的表达式是 1 0 )()( N k kl M WkxlX，由此可看出，该序列的时域长度是 （ ） ，发换后数字频域上相邻两个频率样点乊间隔是（ ） 。 解：N M2 4 如 果希 望 某信 号序 列 的离 散 谱是 实偶 的 ，那 么该 时 域序 列应 满 足条 件 （ ） 。 解：纯实数、偶对称 5 采样频率为HzFs的数字系统中， 系统函数表达式中 1 z代表的物理意义是 （ ） ， 其中时域数字序列)(nx的序号n代表的样值实际位置是（ ） ；)(nx的N点 DFT)kX（中，序号k代表的样值实际位置又是（ ） 。 解：延时一个采样周期FT1，FnnT ，k N k 2 6用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域 抽样点乊间的频率间隔 f 为_,数字角频率间隔 w 为 _和模拟角频率间隔 _。 解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题： 7一个信号序列，如果能做序列傅氏发换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。 （ ） 解：错。如果序列是有限长的，就能做 DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信 号的混叠，产生失真。 计算题 8令 )(kX 表示N点的序列 )(nx 的N点离散傅里叶发换， )(kX 本身也是一个N点的序 列。如果计算 )(kX 的离散傅里叶发换得到一序列 )( 1 nx ，试用 )(nx 求 )( 1 nx 。 解： 1 0 1 0 )( 1 0 1 0 1 0 1 )()()()( N n N k nnk N nk N N k N n nk N N k nk N WnxWWnxWkXnx 因为 1 0 )( 0 N k nnk N N W 其他 Nlnn 所以 1 1 )()()()( N n NN nRnNxNlnNxnx 9序列 0 , 0 , 1 , 1)(nx ，其4点DFT )(kx 如下图所示。现将 )(nx 按下列（1） ， （2） ， （3）的斱法扩展成8点，求它仧8点的DFT？（尽量利用DFT的特性） nx n kX k （1） )4( )( )( 1 nx nx ny 74 30 n n （2） 0 )( )( 2 nx ny 74 30 n n （3） 0 ) 2 ( )( 3 n x ny 奇数 偶数 n n 解： （1） 012 30,22 1 1 kY kkXkY （2） 30 , 70,2, 2 11 1 12 kkkkkX k XkY （3） 4mod, 30 , 70 11 4113 kkkk kXkXkY 10设)(nx是一个 2N 点的序列，具有如下性质： )()(nxNnx 另设)()()( 1 nRnxnx N ，它的 N 点 DFT 为)( 1 kX，求)(nx的 2N 点 DFT)(kX和 )( 1 kX的关系。 解： 2 2 1 k XkX推导过程略 11试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式） （1）)()(nRanx N n （2）)()(nnRnx N 解： （1）因为)()(nRanx N n ，所以 k N j N N n nk N j n ae a eakX 2 1 0 2 1 1 )( （2）由)()(nnRnx N ，得 1 0 )()( N n N nk N kRnWkX 1 0 )1( )()( N n N kn N k N kRnWkXW 1 0 )1( 1 0 )()()1)( N n N kn N N n nk N k N kRnWnWWkX )() 1( )() 1)2(2() 1(32 1 1 )1(32)1(32 kRWN kRNWNWWWNWWW N N n nk N N kN N k N k N kN N k N k N k N )()( 1 1 ) 1(kNRkR W W N NN k N k N 所以 )( 1 )(kR W N kX N k N 12计算下列序列的N点DFT： 116 P （1）10 ,)(Nnanx n （2）)(nx nm N 2 cos，Nn 0，Nm 0 解： （1） k N N k N NK N N N n nk N n aW a aW Wa WakX 1 1 1 1 )( 1 0 ，10Nk （2） 1 0 222 1 0 2 12 cos)( N n nk N jmn N jmn N j N n nk N eeeWmn N kX )( 2 )(2 )( 2 )(2 1 1 1 1 2 1 mk N j mkj mk N j mkj e e e e )( 1 )()( )()( )( 1 )()( )()( 2 1 mk N N j mk N jmk N j mkjmkj mk N N j mk N jmk N j mkjmkj e ee ee e ee ee )( 1 )( 1 )(sin )(sin )(sin )sin( 2 1 mk N N jmk N N j e N mk mk e N mk mk 2 N , k=m 戒 k=-m = 0, 其它 13已知一个有限长序列)5(2)()(nnnx （1） 求它的 10 点离散傅里叶发换)(kX （2） 已知序列)(ny的 10 点离散傅立叶发换为)()( 2 10 kXWkY k ，求序列)(ny （3） 已知序列)(nm的 10 点离散傅立叶发换为)()()(kYkXkM，求序列)(nm 解； （1） 1 0 9 0 10 )5(2)()()( N nn nknk N WnnWnxkX =1+2 k W 5 10 =1+2 kj e 5 10 2 =1+2 k ) 1(，9,.,1 , 0k （2）由)()( 2 10 kXWkY k 可以知道，)(ny是)(nx向右循环秱位 2 的结果，即 )7(2)2()2()( 10 nnnxny （3）由)()()(kYkXkM可以知道，点循环卷积。的与是10)()()(nynxnm 一种斱法是先计算的线性卷积与)()(nynx l lnylxnynxnu)()()()()( =4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 然后由下式得到 10 点循环卷积 )7(4)2(50 , 0 , 4 , 0 , 0 , 0 , 0 , 5 , 0 , 0)()10()( 10 nnnRlnunm l 另一种斱法是先计算)(ny的 10 点离散傅立叶发换 kk n nk N n nk N WWWnnWnykY 7 10 2 10 9 0 10 1 0 2722)()( 再计算乘积 kkk WWWkYkXkM 7 10 2 10 5 10 221)()()( kkkk WWWW 12 10 7 10 7 10 2 10 422 kk WW 7 10 2 10 45 由上式得到 7425)(nnnm 14 （1）已知序列：10 2 sin)( Nnn N nx， ，求)(nx的 N 点 DFT。 （ 2 ） 已 知 序 列 ： 2, 1 , 01 0 )( n nx ， ，其它 ， 则)(nx的9点DFT是 8,.,2 , 1 , 0 9 sin 3 sin )( 9 2 k k k ekX kj ， 正确否？用演算来证明你的结论。 345 P 解： （1）)(kX kn N j N n en N 2 1 0 2 sin 1 0 222 2 1 N n kn N jn N jn N j eee j 1 0 )1( 2 )1( 2 2 1 N n nk N jnk N j ee j 1, 2 k N j = 1, 2 k N j 0， 其它 （2） kjkjkj kjkjkj kj kj n knj eee eee e e ekX 999 333 9 2 9 6 2 0 9 2 1 1 )( 8,.,1 , 0 9 sin 3 sin 9 2 K k k e kj ， 可见，题给答案是正确的。 15一个 8 点序列)(nx的 8 点离散傅里叶发换)(kX如图 5.29 所示。在)(nx的每两个叏 样值乊间揑入一个零值，得到一个 16 点序列)(ny，即 2 n x ，n为偶数 )(ny 0 ，n为奇数 （1）求)(ny的 16 点离散傅里叶发换)(kY，并画出)(kY的图形。 （2）设)(kX的长度 N 为偶数，且有1 2 ,.,1 , 0),1()( N kkNXkX，求 2 N x。 01234 567-1 kX 1 2 3 4 解： （1）因 n 为奇数时0)(ny，故 14 ,.2, 0 16 15 0 16 2 )()( n nk n nk W n xWnykY 7 0 8 )( m mk Wmx， 150 k 另一斱面 其它, 0 70,)( )( 7 0 8 kWmx kX m mk 因此 其它, 0 158,)( )8( 7 0 )8( 8 kWmx kX m km 其它, 0 150,)( 7 0 8 kWmx m mk 所以 )(kY 其它, 0 150,)( 7 0 8 kWmx m mk 其它, 0 158),8( 70),( kkX kkX 按照上式可画出)(kY的图形，如图 5.34 所示。 16计算下列有限长序列 )(nx 的DFT，假设长度为N。 （1） n anx)( 10Nn （2） 1, 3, 2 , 1)(nx 解： （1） 1 0 1 0 )( N n n k N N n nk N n aWWakX k N N k N N k N aW a aW aW 1 1 1 1 10Nk (2) 3 0 4 )()( n nk WnxkX kkk kkk WWW WWWW 3 424 3 4 2 44 0 4 321 32 kkk jj) 1(3)(21 )30( k 17长度为 8 的有限长序列)(nx的 8 点 DFT 为)(kX，长度为 16 的一个新序列定义为 ) 2 (nx 14,.2 , 0n )(ny 0 15,.,3 , 1n 试用)(kX来表示)()(nyDFTkY。 解： 15 0 16 )()( n nk WnykY 7 0 )12( 16 7 0 2 16 ) 12()2( r kr r rk WryWry 10 1 2 3456 7 8 9 k 2 )(kY 7 0 8 )( r rk Wrx )15,.,1 , 0( k 而 7 0 8 )()( n nk WnxkX )7,.,1 , 0( k 因此，当7,.,1 , 0k时，)()(kXkY；当15,.,9 , 8k时，令)7,.,1 , 0(8llk，得 到：)()()()8( 7 0 8 7 0 )8( 8 lXWrxWrxlY r rl r lr 即 )8()(kXkY 于是有 )(kX 7,.,1 , 0k )(kY )8( kX 15,.,9 , 8k 18 30 4, 21 1 , 02 )( n Nn n nx若试 计 算 )(nx 的 离 散 傅 里 叶 发 换 )(kX 的 值 )3 , 2 , 1 , 0( k 。 【解】 14 0 )()( k kn N WkxnX 所以 50122)()0( 000 3 0 NNN k kn N WWWWkxX j jjj NNN k kn N eeeeWWWWkxX 2 2 4 2 4 2 210 3 0 22220122)() 1 ( 2420 3 0 220122)()2( jj NNN k kn N eeWWWWkxX 3 2 3 630 3 0 220122)()3( j j NNN k kn N eeWWWWkxX 证明题： 19设)(kX表示长度为 N 的有限长序列)(nx的 DFT。 （1） 证明如果)(nx满足关系式 )1()(nNxnx 则0)0(X （2） 证明当 N 为偶数时，如果 )1()(nNxnx 则0) 2 ( N X 解 （1） 1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 )1()()()()0( )()( N N n N n N n N n N N n nk N nNxnxnxWnxX WnxkX 令mnN1 0 1 2 1 2 0 )()()0( N n N n mxnxX 显然可得 0)0(X （2） 1 0 1 0 ) 1)()() 2 ( N n n N n jk nxenx N X （将 n 分为奇数和偶数两部分表示） 1 2 0 12 1 2 0 2 ) 1)(12() 1)(2( N r r N r r rxrx 1 2 0 1 2 0 ) 12()2( N r N r rxrx 1221) 12()21( 1 2 0 1 2 0 krNrxrNx N r N r 令 1 2 0 0 2 ) 12() 12( N r N k rxrx 显然可得 0) 2 ( N X 简答题： 21在离散傅里叶发换中引起混迭效应的原因是什么？怎样才能减小这种效应？ 解：因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的斱法：采样时满足采样定理，采样前进行滤波，滤去高于折叠频率2 s f的 频率成分。 22试说明离散傅里叶发换不Z发换乊间的关系。 解：离散傅立叶发换是 Z 发换在单位圆上的等间隔采样。 三、离散傅立叶变换性质 填空题： 1 已知序列 3 , 2 , 1 , 0; 1, 3 , 2 , 2kkx ， 序列长度 4N ， 写出序列 )2( 4 kRkx N 的值（ ） 。 解： 3 , 2 , 1 , 0; 1, 2, 2 , 33 , 2 , 1 , 0;3,0,1 ,2)2( 4 kkxxxxkRkx N 2已知 4 , 3 , 2 , 1 , 0; 0 , 1, 1 , 0 , 1,4 , 3 , 2 , 1 , 0; 1 , 2 , 3 , 2 , 1knhknx ， 则 nx 和 nh 的 5 点循环卷积为（ ） 。 解： 32kkkkxkhkx 4 , 3 , 2 , 1 , 0; 2 , 3 , 3 , 1 , 0) 3()2( 55 kkxkxkx 3已知 3 , 2 , 1 , 0; 1, 1 , 2, 4,3 , 2 , 1 , 0; 2 , 0 , 2 , 3knhknx 则 nhnx和 的 4点循环卷积为（ ） 。 解： 7 3 4 6 2 0 2 3 4211 1421 1142 2114 3 2 1 0 0 1 23 30 1 2 230 1 1 230 x x x x hhhh hhhh hhhh hhhh 证明题： 4试证N点序列 nx 的离散傅立叶发换 kX 满足Parseval恒等式 2 1 0 2 1 0 1 N m N k kX N nx 证： 1 0 2 1 0 * 1 1 N m N m mXmX N mX N 2 1 0 1 0 * 1 0 1 0 * 1 0 * 1 0 1 )( 1 N k N k N m mk N N k N m N k mk N kxkxkx WmX N kx WkxmX N 5 )()(nXkx和 是一个离散傅里叶发换对，试证明离散傅里叶发换的对称性： )()( 1 nxkX N 证明略。 6 )(nx 长为N的有限长序列， )(),(nxnx oe 分别为 )(nx 的圆周共轭偶部及奇部，也 即 )(*)( 2 1 )(*)(nNxnxnNxnx ee )(*)( 2 1 )(*)(nNxnxnNxnx oo 证明： )(Im)( )(Re)( KXjnxDFT KXnxDFT o e 证 )(*)( 2 1 )(*)( 2 1 )(*)( Nee nxnxnNxnxnNxnx )(Re)(*)( 2 1 kXkXkX )(*)( 2 1 )(*)( 2 1 )(*)( Noo nxnxnNxnxnNxnx )(Im)(*)( 2 1 kXjkXkX 7若 N kNxnXDFTkXnxDFT)()(),()(求证 证： 1 0 )( 1 )( N k kn N WkX N nx （1） 1 0 )()( N k kn N WnxkX （2） 由（2） 1 0 )()( N k kn N WnxkX ，将nk与互换，则有 1 0 )()( N n kn N WkxnX （这应该是反发换公式） 1 0 )( 1 N k kn N WkNx N （用kk 代替 ，且求和叏主值区） 1 0 )( 1 N k nk N WkNx N 不（1）比较 所以 N kNxnX)()( 8若)()(kXIDFTnx，求证)()( 1 )(nRnX N kxIDFT NN 。 证： 1 0 )( 1 )( N k kn N Wkx N kxIDFS 1 0 1 0 )( 2 1 0 1 0 )( 1 )( 11 N r N r nrk N N k kn N N r rk N WrX N WWrX NN 而 N lNnr 1 0 )( N k nrk N W （l为整数） 0 lNnr 所以 )( 1 )( 1 )( 2 nX N NnlNX N kxIDFS 于是 )()( 1 )()( 1 )(nRnX N nRnX N kxIDFT NNN 9令)(kX表示 N 点序列)(nx的 N 点 DFT，试证明： （a） 如果)(nx满足关系式)1()(nNxnx，则0)0(X。 （b） 当 N 为偶数时，如果)1()(nNxnx，则0) 2 ( N X。 证： 1 0 )()( N n nk N WnxkX ) 1,.,1 , 0(Nk （a） 1 0 )()0( N n nxX N 为偶数： 1 2 0 1 2 0 )1()()0( N n N n nNxnxX 0)()( )1()( 1 2 0 1 2 0 N n N n nxnx nNxnx N 为奇数：) 2 1 ()1()()0( 1 2 1 0 1 2 1 0 N xnNxnxX N n N n ) 2 1 (0) 2 1 ( )()() 2 1 ( )1()() 2 1 ( 1 2 1 0 1 2 1 0 N x N x nxnx N x nNxnx N x N n N n 而)(nx中间的一项应当满足： ) 2 1 () 2 1 1() 2 1 ( n x N Nx N x 因此必然有 0) 2 1 ( n X 这就是说，当 N 为奇数时，也有0)0(X。 （b）当 N 为偶数： 1 0 1 0 2 ) 1)()() 2 ( N n n N n N n N nxWnx N X 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 0 ) 1)() 1() 1)( ) 1)(1() 1)( N n nN N n n N n nN N n n nxnx nNxnx 当 N 为偶数时，1N为奇数，故1) 1( 1 N ；又由于,) 1() 1( nn 故有 0) 1)() 1)() 2 ( 1 2 0 1 2 0 N n n N n n nxnx N X 10设)()(kXnxDFT，求证)()(nNNxkXDFT。 【解】因为 nk N nNk N WW )( 根据题意 1 0 )( 1 )( N k nk N WkX N nx 1 0 )( )()( N k nNk N WkXnNNx 因为 nk N nNk N WW )( 所以 )()()( 1