随机变量及离散型随机变量.ppt

关于随机变量的研究，是概率论的中心内容,1.4 随机变量,在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。例如，在产品检验问题中出现的废品数；在车间供电问题中某一时刻正在工作的车床数；测量的误差；灯泡的寿命等都与数值有关。,因此，在随机试验中，我们的观测对象常常是一个或若干随机取值的变量。,有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能用数值来描述。,例如，在掷一枚硬币问题中，每次出现的结果为正面（记为H）或反面（记为T），与数值没有关系，但是我们可以用下面方法使它与数值联系起来，当出现正面时对应数“1”，而出现反面时对应数“0”，,即相当于引入一个定义在样本空间,上的变量,，其中,由于试验结果的出现是随机的，因而,的取值也是随机的。,通过以上的分析，我们可以看到：一类试验的结果，自然地对应着一个实数；而另一类试验的结果需要人为地建立试验结果与数值的关系。,由此可见，无论是那一种情况，都是试验结果（即样本点,）和实数,之间,的一个对应关系。,一、随机变量,定义. 设 =是试验的样本空间，如果量X是定义在上的一个单值实值函数即对于每一个 ，有一实数X=X()与之对应，则称X为随机变量。直观上讲，随机变量就是随着试验结果的不同而取不同数值的量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、等表示。,例3-1有5件产品，其中2件是次品（用a1，a表示），,3件是正品（用b，b，b表示）。从中任意取出2件，,此时随机试验的样本空间为:,（a，a），（a，b），（a，b）， （a，b），（a，b），（a，b），,我们将中的样本点依次记为:,（a，b），（b，b），（b，b）， （b，b）,考虑抽取的两件产品中次品的个数X，显然X是定义在上的,一个随机变量，即（）。可具体表示为:,随机变量（）取不同数值的概率为：,通常记为：,称为随机变量的概率分布。,根据概率分布，可以清楚地看到随机变量的取值和概率。,例如：,为此我们引入随机变量分布函数的定义。,二、随机变量的分布函数 (一) 分布函数的概念.,定义 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的分布函数。 记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).,（二）、分布函数的性质,1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、归一 性：对任意实数x，0F(x)1，且,3、右连续性：对任意实数x，,反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质。,若随机变量 X 以函数（x）为其分布函数，通常也,称 X 服从分布函数（x），常记作（x）,有些书中将分布函数定义为（x）（x），,这与我们的定义无本质区别。在此定义下，上述4个基本,性质中（1）、（2）和（3）同样成立，性质（4）则由“右,连续”变为“左连续”。,随机变量的分类：,（1） 离散型随机变量：随机变量仅取数轴上的有限个或可列个点。,（2） 连续型随机变量：随机变量的可能取值充满数轴上的一个或若干区间。,（3） 奇异型随机变量：既不是离散型随机变量，也不,是连续型随机变量。,1.5离散型随机变量,1.定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称 PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )， 或,x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性质,一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为,例1中随机变量X具分布律如右表,解,试求出X的分布函数。,离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型.,例3.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,3.几个常用的离散型分布,(一) 退化分布,若随机变量只取常数a，即PX=a=1，则称X服从a处的退化分布,（二）. (0-1)分布,若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p),其分布律为：,定义 设将一个贝努里试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验. n重贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率记为 B（k;n,p）,（三）二项分布,例4.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,例5. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=0.9973,使得B(k,n,p)取到最大值的m为二项分布随机变量的最可能值或称为最大可能成功值 注：m=(n+1)p,例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求相应的概率。,二项分布图像,（四 ） 泊松(Poisson)分布P() XPXk,另外，一本书一页中印刷错误数、某医院在一天内的急诊 病人数目，某一地区一个时间间隔内发生的交通事故次 数等都服从泊松分布。, k0, 1, 2, (0),例6.设每对夫妇的子女数X服从参数为的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。,解:由题意,泊松分布是二项分布关系 泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,泊松定理 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则,用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故 近似地有,PX21 PX0P X1 1(18)e80.996981,回忆例5. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,(五* ）几何分布 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X=k表示直到第k次试验才成功，求X的分布律。,我们称随机变量X服从几何分布，记为Xg（p）,在实际计算中，当 n 100、p 0.1、np10时，我们就,可以使用以上近似公式计算。当然，当n越大，p越小，np大小,适中时，近似公式计算就越精确。,性质 设g(p),n，m为任意两个自然数，则,这个性质称为几何分布的无记忆性。,例 7：某班有学生20名，其中有5名女同学，今从班上,任选4名学生去参观展览，被选到的女同学人数X是一个随,机变量，求X的概率分布,（六* ）超几何分布,超几何分布产生于不放回抽样，而二项分布产生于有放回抽样。,在实际工作中，抽样一般都采用不放回方式，因此计算,时应该用超几何分布。但是，当N较大时，超几何分布计算,较繁琐。若产品总数N很大，而抽样的次数n相对于N很小时，,超几何分布可以用二项分布来近似，即有以下定理：,定理