连续型随机变量及其分布.ppt

2.4 连续型随机变量及其分布,第二章,第七讲,一、连续型随机变量的定义及性质,二、常用的连续型随机变量,1. 连续型随机变量的定义及性质,定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负,(1) 概率密度的定义,数，简称概率密度或密度函数。,常记为,(2) 概率密度的性质（6条）, 非负性,面积为1,由于,这两条性质是判定一个函,的概率密度函数的充要条件。,图中阴影部分,在该区间上的改变量，等于,在该区间上的积分(与端点是否在内无关),连续型随机变量 X 落在某区间a, b上的概率为F(x),的高度反映了随机点集中在该点附近的密集程度。,这个高度越大，则X 取a,附近的值的概率就越大。也可以说，在某点密度曲线,某点a 处的高度 f (a),这是因为, 对于任意实数a，有,称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.,可见，,连续,解：,判断下列函数是否为某随机变量的概率密度,故 f(x) 可以作为某随机变量的概率密度。,是显然的；,解:,设X 的分布函数为,求,设连续型随机变量X的概率密度为,求 (1) 确定常数A的值；(2) F(x);,离散型r.v.的 分布函数,连续型r.v.的 分布函数,分布函数 的性质,分布律与分布函数的关系,概率密度与分布函数的关系,分布函数,2.几种常用的连续型随机变量,(1) 均匀分布,定义 若随机变量X 的概率密度为：,则称X服从区间a, b上的均匀分布，记作,均匀分布的密度函数的验证,因为,均匀分布的概率背景,说明：r.v X 取值在(a, b)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比。,均匀分布的分布函数,图形如下,解:,依题意，XU 0, 30 ,以7:00为起点0，以分为单位,某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，,即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站.,如果乘客到达此站时间X 是7:00到7:30之间的均匀,随机变量，试求他候车时间少于5分钟的概率.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.,(2)指数分布,若随机变量X 的概率密度为：,指数分布，记为,指数分布的分布函数为,概率密度的图形,指数分布的密度函数的验证,(2) 已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两,电子元件的寿命X(年）服从3的指数分布,(1) 求该电子元件寿命超过2年的概率。,年的概率为多少？,解：,由已知得 X 的概率密度为,上面的结果显示了指数分布具有无记忆性，即,(3) 正态分布,例：在大量重复试验中，得到一组数据，这组数据,虽然有波动，但总是以某个常数为中心。离中心越,近的数据越多；偏离中心越远的数据越少。取值呈,“中间大、两头小”的格局，,即取值具有对称性。,此随机变量是一个服从正态分布的随机变量。,正态分布的重要性,正态分布是概率论中最重要的分布：, 正态分布可以作为许多分布的近似分布。, 大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布。, 正态分布有许多良好的性质。,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。,首次露面。正态分布在十九世纪前叶由高,德莫佛,高斯,德莫佛最早发现了二项分布概率的一个,近似公式，这一公式被认为是正态分布的,斯加以推广，所以通常称为高斯分布。,. 正态分布的定义,定义1 设连续型随机变量的概率密度为,记为,定义2,若X 的概率密度为,则称 X 服从标准正态分布，记为,其图形分别如下所示：,以上钟形曲线叫做正态曲线，满足以下特性。,概率密度的验证,. 正态分布概率密度的性质,x离越远，f (x) 的值就越小。, 曲线以x轴为水平渐近线。, 若 固定，而改变的值，则 f (x) 的图形沿x轴,形的位置完全由参数所决定，称为位置参数。,（如右图）,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，正态分布也不同。, 若固定，而改变的值，由于f (x)的最大值为,可知，越小该图形越陡，X的取值越集中;越大该图形越平坦，X的取值越分散。决定了图形中峰的陡峭程度，称为形状参数。,. 正态分布的分布函数,易得,227页,当 时, 如右图,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，,当XN(0,1) 时，,3准则,超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。,将3准则推广到一般的正态分布，,可以认为, Y 的取值几乎全部集中在,的区间内。这在统计学上称为“3准则”。,解:,. 正态分布的标准化,变换就能将它化成标准正态分布。,定理1 若随机变量 ，则,证:,标准正态分布的分布函数,所以,结 论,例,解:,设随机变量,，试求：