2016年天津市和平区高二数学下期末试卷(理附答案和解释）

1 / 21 2016年天津市和平区高二数学下期末试卷(理附答案和解释） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 XX-2016 学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 i 为虚数单位，则等于（ ） A +iB 2ic iD i 2已知命题 p： xR （ x0 ）， x+2 ，则 p 为（ ） A x0R （ x00 ）， x0+2B x0R （ x00 ），x0+ 2 c xR （ x0 ）， x+2D xR （ x0 ），x+ 2 3过点（ 2， 3），且与直线 3x 4y+5=0 垂直的直线方程是（ ） A 3x 4y+18=0B 4x+3y 1=0c 4x 3y+17=0D 4x+3y+1=0 4设 xR ，则 “|x 1| 2” 是 “0 x+1 5” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 c充要条件 D既不充分也不必要条件 5现有 5 名学生和 2 名教师站成一排合影，其中 2 名教师2 / 21 不相邻的排法共有（ ） A 720种 B 1440 种 c 1800种 D 3600种 6抛物线 y= x2+2x与 x轴围成的封闭图形的面积是（ ） A B 1c D 7若平面 ， ，满足 ， =l ， P ， Pl，则下列命题中的假命题为（ ） A过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B过点 P 在平面 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 c过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 8若函数 f（ x） =x3 3ax+b（ a 0）的极大 值为 6，极小值为 2，则 f（ x）的单调递减区间为（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1） c（ 1， + ） D（ ， 1）和（ 1， + ） 9已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与抛物线 y2= 8x 有相同的焦点，且双曲线过点 m（ 3，），则双曲线的方程为（ ） A y2=1B =1c x2 =1D =1 10已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c 0 的解集为（ 1，2），则关于 x 的一元二次方程 cx2+bx+a 0 的解集为（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） c（， 1） D（ ， 1） （ 2，+ ） 3 / 21 二 .填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分 . 11一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积为 cm3 12已知（ +） 10 的展开式中 x2 项的系数是，其中 a 0，则 a 的值为 13已知圆 c1：（ x+1） 2+（ y 1） 2=1，圆 c2与圆 c1关于直线 x y 1=0对称，则圆 c2的方程为 14曲线 y=x3 2x+4在点（ 1， 3）处的切线方程 15如图，将正整数排成一个三角形数阵： 按照以上 排列的规律，第 20 行从左向右的第 2 个数为 三 .解答题： 5 题 40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16设直线 l： y= x+，圆 o： x2+y2 4x 2y+1=0，求直线l 被圆 o 所截得的弦长 17已知从某批产品中随机抽取 1 件是二等品的概率为 （ 1）若从该产品中有放回地抽取产品 2 次，每次抽取 1 件，设事件 A： “ 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 ” ，求P（ A）； 4 / 21 （ 2）若该批产品共有 20件，从中任意抽取 2 件， X 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 18如图，在四棱锥 P ABcD 中， PD 底面 ABcD，且底面ABcD为正方形， PD=Dc=2， E、 F、 G 分别是 AB、 PB、 cD的中点 （ 1）求证： EFDc ； （ 2）求证： GF 平面 PAD； （ 3）求点 G 到平面 PAB的距离 19已知椭圆 c： +=1（ a b 0）经过点 A（ 2， 3），且右焦点为 F（ 2， 0） （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）设坐标原点为 o，平行于 oA的直线 l 与椭圆 c 有公共点，且 oA 与 l 的距离等于，求直线 l 的方程 20设函数 f（ x） = x3+x2+2ax， xR （ 1）当 a= 1 时，求 f（ x）的单调区间； （ 2）若 f（ x）在（， + ）内存在单调递增区间，求 a 的取值范围； （ 3）当 0 a 2 时， f（ x）在 1， 4上的最小值为，求f（ x）在该区间上的最大值 XX-2016学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（理5 / 21 科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10个小题，每小题 4 分，共 40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若 i 为虚数单位，则等于（ ） A +iB 2ic iD i 【考点】复数代数 形式的乘除运算 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： =， 故选： c 2已知命题 p： xR （ x0 ）， x+2 ，则 p 为（ ） A x0R （ x00 ）， x0+2B x0R （ x00 ），x0+ 2 c xR （ x0 ）， x+2D xR （ x0 ），x+ 2 【考点】命题的否定 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命 题， 则 p： x0R （ x00 ）， x0+ 2， 故选： B 6 / 21 3过点（ 2， 3），且与直线 3x 4y+5=0 垂直的直线方程是（ ） A 3x 4y+18=0B 4x+3y 1=0c 4x 3y+17=0D 4x+3y+1=0 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可 【解答】解： 直线 3x 4y+5=0的斜率为：， 与之垂直的直线的斜率为：， 所求直线的方程为 y 3=（ x+2）， 化为一般 式可得 4x+3y 1=0， 故选： B 4设 xR ，则 “|x 1| 2” 是 “0 x+1 5” 的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 c充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：由 |x 1| 2 得 2 x 1 2 即 1 x 3， 由 0 x+1 5 得 1 x 4， 即 “|x 1| 2” 是 “0 x+1 5” 的充分不必要条件， 7 / 21 故选： A 5现有 5 名学生和 2 名教师站成一排合影，其中 2 名教师不相邻的排法共有（ ） A 720种 B 1440 种 c 1800种 D 3600种 【考点】排列、组合及简单计数问题 【分析】首先分析题目已知 5 名学生和 2 位老师排成一排，2 位老师不相邻，可以考虑到用插空法求解，先把 5 名学生排好，然后有 6 个空可以排老师，然后列出式子，根据分步计数原理求解即可 【解答】解：考虑 2 位老师不相邻排法，可以考虑到用插空法求解， 先把 5 名学生排好，然后有 6 个空排老师， 故有 A55A62=3600 排法 故选： D 6抛物线 y= x2+2x与 x轴围成的封闭图形的面积是（ ） A B 1c D 【考点】定积分在求面积中的应用 【分析】由 x2+2x=0，得 x=0， x=2 再由图形可知求出 x 从0 到 2， x2+2x上的定积分即为抛物线 y= x2+2x与 x 轴围成的封闭图形的面积 8 / 21 【解答】解：由 x2+2x=0，得 x=0， x=2， 抛物线 y= x2+2x与 x轴围成的封闭图形的面积是 S=（x2+2x） dx=（ +x2） |= +4=， 故选： c 7若平面 ， ，满足 ， =l ， P ， Pl，则下列命题中的假命题为（ ） A过点 P 垂直于平面 的直线平行于平面 B过点 P 在平面 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 c过点 P 垂直于平面 的直线在平面 内 D过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 内 【考点】复合命题的真假；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】本题用面面垂直性质定理逐项验证，注意在其中一个平面内作交线的垂线 【解答】解：过点 P 且垂直于 的直线一定平行于在 内与交线垂直的直线，故 A 正确； 由题意和面面垂直的判定定理知，选项 B 正确； 由题意 和面面垂直的性质定理知，选项 B 正确 过点 P 且垂直于 l 的直线有可能垂直于 ， D 不正确； 故选 D 9 / 21 8若函数 f（ x） =x3 3ax+b（ a 0）的极大值为 6，极小值为 2，则 f（ x）的单调递减区间为（ ） A（ ， 1） B（ 1， 1） c（ 1， + ） D（ ， 1）和（ 1， + ） 【考点】利用导数研究函数的极值 【分析】根据函数 f（ x） =x3 3ax+b（ a 0）的极大值为 6，极小值为 2，求导 f （ x） =0，求得该函数的极值点 x1， x2，并判断是极大值点 x1，还是极小值点 x2，代入 f（ x1） =6，f（ x2） =2，解方程组可求得 a， b 的值，再由 f （ x） 0即可得到 【解答】解：令 f （ x） =3x2 3a=0，得 x= ， 令 f （ x） 0 得 x或 x；令 f （ x） 0 得 x 即 x=取极大， x=取极小 函数 f（ x） =x3 3ax+b（ a 0）的极大值为 6，极小值为2， f （） =2， f（） =6， 即 a 3a+b=2且 a+3a+b=6， 得 a=1， b=4， 则 f （ x） =3x2 3，由 f （ x） 0 得 1 x 1 则减区间为（ 1， 1） 故选： B 10 / 21 9已知双曲线 =1（ a 0， b 0）与抛物线 y2= 8x 有相同的焦点，且双曲线过点 m（ 3，），则双曲线的方程为（ ） A y2=1B =1c x2 =1D =1 【考点】双曲线的简单性质 【分析】求出抛物线的焦点坐标即双曲线的一个焦点，利用双曲线的定义求出 a，即可得到结论 【解答】解：抛物线 y2= 8x的焦点坐标为（ 2， 0）， 即 c=2，则双曲线的两个焦点坐标为 A（ 2， 0）， B（ 2， 0）， 双曲线过点 m（ 3，）， 2a=|Bm| |Am|= = =2， 则 a=，则 b2=c2 a2=4 3=1， 则双曲线的方程为 y2=1， 故选： A 10已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c 0 的解集为（ 1，2），则关于 x 的一元二次方程 cx2+bx+a 0 的解集为（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） c（， 1） D（ ， 1） （ 2，+ ） 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】根据不等式 ax2+bx+c 0 的解集得出 a 0，求 b= 3a， c=2a，再化简不等式 cx2+bx+a 0，求出解集即可 11 / 21 【解答】解： 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c 0 的解集为（ 1， 2）， =1+2=3， =12 ，且 a 0， b= 3a， c=2a， 不等式 cx2+bx+a 0 可化为 2ax2 3ax+a 0，即可化为2x2 3x+1 0，即为（ 2x 1）（ x 1） 0， 解得 x 1， 故不等式的解集为（， 1）， 故选： c 二 .填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分 . 11一个几何体的三视图如图所示（单位： cm），则该几何体的体积为 64 cm3 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】根据几何体的三视图，得出该 几何体是四棱锥与正四棱柱的组合体，由此求出它的体积即可 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是上部为正四棱锥，下部为正四棱柱的组合体，如图所示， 长方体的长为 5，宽为 4，高为 3， 该组合体的体积为 V=443+443=64 12 / 21 故答案为： 64 12已知（ +） 10 的展开式中 x2 项的系数是，其中 a 0，则 a 的值为 【考点】二项式系数的性质 【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出 【解答】解：二项式（ +） 10的展开式的通项 Tr+1=（） rc10ra10 rx4r 30， 令 4r 30=2，解得 r=8 （） 8c108a2=， 化为： a2=， 解得 a= 故答案为： 13已知圆 c1：（ x+1） 2+（ y 1） 2=1，圆 c2与圆 c1关于直线 x y 1=0对称，则圆 c2的方程为 （ x 2） 2+（ y+2）2=1 【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【分析】在圆 c2上任取一点（ x， y），求出此点关于直线 X y 1=0 的对称点，则此对称点在圆 c1 上，再把对称点坐标代入 圆 c1的方程，化简可得圆 c2的方程 13 / 21 【解答】解：在圆 c2上任取一点（ x， y）， 则此点关于直线 X y 1=0的对称点（ y+1， x 1）在圆 c1：（ X+1） 2+（ y 1） 2=1上， 有（ y+1+1） 2+（ x 1 1） 2=1， 即（ x 2） 2+（ y+2） 2=1， 答案为（ x 2） 2+（ y+2） 2=1 14曲线 y=x3 2x+4 在点（ 1， 3）处的切线方程 xy+2=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】先求导函数，然后将点的坐标代入，求出切线斜率，即可求得曲线 y=x3 2x+4在点（ 1， 3）处的切线方程 【解答】解 ： y=x3 2x+4的导数为： y=3x2 2， 将点（ 1， 3）的坐标代入，即可得斜率为： k=1， 曲线 y=x3 2x+4在点（ 1， 3）处的切线方程为 y 3=x1， 即 x y+2=0 故答案为： x y+2=0 15如图，将正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 20 行从左向右的第 2 个数为 14 / 21 192 【考点】归纳推理 【分析】先找到数的分布规律，求出第 n 1 行结束的时候一共出现的数的个数，再求第 n 行从左向右的第 2 个数即可得出第 20行从左向右的第 2 个数 【解答 】解：由排列的规律可得，第 n 1 行结束的时候排了 1+2+3+n 1=n（ n 1）个数 所以第 n 行从左向右的第 2 个数 n（ n 1） +2， 所以第 20行从左向右的第 2 个数为 =192， 故答案为： 192 三 .解答题： 5 题 40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 16设直线 l： y= x+，圆 o： x2+y2 4x 2y+1=0，求直线l 被圆 o 所截得的弦长 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】求出圆心 o（ 2， 1）到直线 l 的距离和圆 o 的半径，由此利用勾股定理能求出直线 l 被圆 o 所截得 的弦长 【解答】解： 直线 l： y= x+， 直线 l 的一般形式为： 3x+4y 5=0， 圆 o 的标准方程为（ x 2） 2+（ y 1） 2=4， 则圆心 o（ 2， 1）到直线 l 的距离： d=1， 15 / 21 圆 o 的半径 r=2，故半弦长为 =， 直线 l 被圆 o 所截得的弦长为 2 17已知从某批产品中随机抽取 1 件是二等品的概率为 （ 1）若从该产品中有放回地抽取产品 2 次，每次抽取 1 件，设事件 A： “ 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 ” ，求P（ A）； （ 2）若该批产品共有 20件，从中任意抽取 2 件， X 表示取出的 2 件 产品中二等品的件数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 【分析】（ 1）记 A0 表示事件 “ 取出的 2 件产品中没有二等品 ” ， A1表示事件 “ 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 ” ，则 A1 与 A0 互斥，且 A=A0+A1，由此能求出事件 A： “ 取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品 ” 的概率 （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】解：（ 1）记 A0 表示事件 “ 取出的 2 件产品中没有二等品 ” ， A1表示事件 “ 取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品 ” ， 则 A1与 A0互斥，且 A=A0+A1， 16 / 21 P （ A） =P（ A0） +P（ A1） =（ 1） 2+c （ 1） = （ 2）随机变量 X 的所有可能取值为 0， 1， 2， 该产品共有二等品 20=4 （件）， P（ X=0） =， P（ X=1） =， P（ X=2） =， X 的分布列为： X012 P E（ X） += 18如图，在四棱锥 P ABcD 中， PD 底面 ABcD，且底面ABcD为正方形， PD=Dc=2， E、 F、 G 分别是 AB、 PB、 cD的中点 （ 1）求证： EFDc ； （ 2）求证： GF 平面 PAD； （ 3）求点 G 到平面 PAB的距离 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定 【分析】（ 1）要证： EFcD ，先证 DcAP ，再证 EFAP 即17 / 21 可证明 EFcD （ 2）以 D 为原点， DA， Dc， DP所在直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系， =（ 0， 2， 0）为平面 PAD的一个法向量，=（ 1， 0， 1），证明即可证明 GF 平面 PAD； （ 3）证明 GF 平面 PAB，即可求点 G 到平面 PAB 的距离 【解答】（ 1）证明： PDDc ， DcAD ， ADPD=D ， Dc 平面 PAD， AP 平面 ABcD， DcAP ， E 、 F 分别是 PB和 AB的中点， EF是三角形 PAB的中位线，EFAP ， EFcD （ 2）证明：如图，以 D 为原点， DA， Dc， DP所在直线为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系，则 D（ 0， 0， 0）， A（ 2， 0， 0），B（ 2， 2， 0）， c（ 0， 2， 0）， P（ 0， 0， 2）， E（ 2， 1， 0），F（ 1， 1， 1）， G（ 0， 1， 0）， = （ 0， 2， 0）为平面 PAD的一个法向量， =（ 1， 0， 1）， =10+02+10=0 ， GF 平面 PAD， GF 平面 PAD （ 3）解： = （ 1， 0， 1）， =（ 0， 2， 0）， =（ 2， 0， 2）， =0 ， =0，即 GFAB ， GFPA ， 18 / 21 ABPA=A ， GF 平面 PAB，垂足为 F 点， |= 点 G 到平面 PAB 的距离为 19已知椭圆 c： +=1（ a b 0）经过点 A（ 2， 3），且右焦点为 F（ 2， 0） （ 1）求椭圆 c 的方程； （ 2）设坐标原点为 o，平行于 oA的直线 l 与椭圆 c 有公共点，且 oA 与 l 的距离等于，求直线 l 的方程 【考点】椭圆的简单性质 【分析】（ 1）依题意设椭圆 c 的方程为 +=1（ a b 0）由已知得 c=2， 2a=|AF|+|AF|=8 ，由此能求出椭圆 c 的方程 （ 2）平行于 oA的直线 l 的方程为 y=x+t，联立直线与椭圆方程，得 3x2+3bx+t2 12=0，由此利用根的判别式，结合oA与 l 的距离等于，即可求直线 l 的方程 【解答】解：（ 1）依题意设椭圆 c 的方程为 +=1（ a b 0） 且可知左焦点为 F （ 2， 0）， |AF|=3， |AF|= =5， 从而有 c=2， 2a=|AF|+|AF|=8