2016年广安市高一数学下期末试卷(理含答案和解释)

1 / 22 2016 年广安市高一数学下期末试卷 (理含答案和解释 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k XX-2016学年四川省广安市邻水县、岳池县、前锋区联考高一（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：共 12个小题，每小题 5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|x2 4x+3 0， B=x|2 x 4，则 AB=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） c（ 2， 3） D（ 2， 4） 2已知等差数列 an中 ，若 a2=1， a6=13则公差 d=（ ） A 10B 7c 6D 3 3若 b 0 a， d c 0，则下列不等式中必成立的是（ ） A ac bdB c a+c b+dD a c b d 4 ABc 外接圆半径为 R，且 2R（ sin2A sin2c） =（ a b）sinB，则角 c=（ ） A 30B 45c 60D 90 5已知 tan（ x+） =2，则的值为（ ） 2 / 22 A B c D 6不等式 ax2+5x+c 0 解集为，则 a、 c 的值为（ ） A a=6， c=1B a= 6， c= 1c a=1， c=6D a= 1， c= 6 7直线 a， b， c 及平面 ， ， ，下列命题正确的是（ ） A若 a ， b ， ca ， cb 则 cB 若b ， ab 则 a c若 a ， =b 则 abD 若 a ， b 则 ab 8如图，在长方体中， AB=AD=2， cc1=，则二面角 c1 BD c 的大小为（ ） A 90B 60c 45D 30 9已知等比数列 an，且 a4+a8= 2，则 a6（ a2+2a6+a10）的值为（ ） A 6B 4c 8D 9 10一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 c 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， c 两点间的距离是（ ）海里 A 10B 20c 10D 20 11一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为3 / 22 （ ） A 21+B 18+c 21D 18 12已知数列 an满足 an=logn+1（ n+2）（ nN* ），定义：使乘积 a1a2a3ak 为正整数的 k（ kN* ）叫做 “ 期盼数 ” ，则在区间 1， 2016内所有的 “ 期盼数 ”的和为（ ） A 2036B 4076c 4072D 2026 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分请把答案直接填在答题卡对应题中横线上 .（注意：在试题卷上作答无效） 13已知 a=， b=，则 a， b 的等差中项为 14设 x、 y 满足约束条件，则 z=3x+2y的最大值是 15已知正方体的棱长为 a，该正方体的外接球的半径为，则 a= 16用 x表示不超过 x 的最大整数，例如 3=3， =1， = 2已知数列 an满足 a1=1， an+1=an2+an，则 = 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在等差数列 an中， a1=2， S3=9 4 / 22 （ 1）求 an的通项公式 an； （ 2）求 2的前 n 项和 Sn 18已知 =（ sinx， 2）， =（ 2cosx， cos2x）， f（ x） = （ 1）求 f（ x）的解析式及最小正周期 （ 2）求 f（ x）的单调增区间 19如图，四面体 ABcD 中， o、 E 分别为 BD、 Bc 的中点，且 cA=cB=cD=BD=2， AB=AD= （ 1）求证： Ao 平面 BcD； （ 2）求异面直线 AB与 cD所成角的余弦值 20围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元 /m，新墙的造价为 180 元 /m，设利用的旧墙的长度为 x（单位： m），修建此矩形场地围墙的总费用为 y（单位：元） （ ）将 y 表示为 x 的函数： （ ）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 21在锐角三角形 ABc 中， a， b， c 分别是角 A， B， c 的对边，且（ a+b+c）（ a+c b） =（ 2+） ac （ 1）求角 B； 5 / 22 （ 2）求 cosA+sinc 的取值范围 22已知函数 （ ）求 f（ x） +f（ 1 x）， xR 的值； （ ）若数列 an满足 an=f（ 0） +f（） +f（） +f （）+f（ 1）（ nN* ），求数列 an的通项公式； （ ）若数列 bn满足 bn=2n+1an， Sn是数列 bn的前 n 项和，是否存在正实数 k，使不等式 knSn 4bn 对于一切的nN* 恒成立？若存在，请求出 k 的取值范围；若不存在，请说明理由 XX-2016学年四川省广安市邻水县、岳池县、前锋区联考高一（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：共 12个小题，每小题 5 分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=x|x2 4x+3 0， B=x|2 x 4，则 AB=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 4） c（ 2， 3） D（ 2， 4） 【考点】交集及其运算 【分析】根据题目中 A=x|x2 4x+3 0的解集求得 A，再6 / 22 求它们的交集即可 【解答】解：因为 A=x|x2 4x+3 0=x|1 x 3， B=x|2 x 4， 所以 AB=x|2 x 3 故选： c 2已知等差数列 an中，若 a2=1， a6=13则公差 d=（ ） A 10B 7c 6D 3 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由题意和等差数列的通项公式可得 d 的方程，解方程可得 【解答】解： 等差数列 an中 a2=1， a6=13， 1+4d=13 ，解得 d=3， 故选： D 3若 b 0 a， d c 0，则下列不等式中必成立的是（ ） A ac bdB c a+c b+dD a c b d 【考点】不等式的基本性质 【分析】由已知中 b 0 a， d c 0，结合不等式的性质，对题目中的四个答案逐一进行分析，即可得到结论 【解答】解： b 0 a， d c 0， ac 0， bd 0，则 ac bd恒不成立，故 A 不满足要求； 7 / 22 同理，则恒不成立，故 B 不满足要求； 由不等式的同号可 加性可得 a+c b+d 一定成立，故 c 满足要求； 但 a c b d 不一定成立，故 D 不满足要求； 故选 c 4 ABc 外接圆半径为 R，且 2R（ sin2A sin2c） =（ a b）sinB，则角 c=（ ） A 30B 45c 60D 90 【考点】余弦定理 【分析】先根据正弦定理把 2R（ sin2A sin2c） =（ a b）sinB 中的角转换成边可得 a， b 和 c 的关系式，再代入余弦定理求得 cosc的值，进而可得 c 的值 【解答】解： ABc 中，由 2R（ sin2A sin2c） =（ a b）sinB， 根据正弦定理得 a2 c2=（ a b） b=ab b2， cosc= ， 角 c 的大小为 30 ， 故选 A 5已知 tan（ x+） =2，则的值为（ ） A B c D 8 / 22 【考点】三角函数的化简求值；二倍角的正切 【分析】先利用两角和的正切公式求得 tanx 的值，从而求得 tan2x，即可求得 【解答】解： tan （ x+） =2， =2 ， 解得 tanx=； tan2x= = 故选： A 6不等式 ax2+5x+c 0 解集为，则 a、 c 的值为（ ） A a=6， c=1B a= 6， c= 1c a=1， c=6D a= 1， c= 6 【考点】一元二次不等式的解法 【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可得出 【解答】解： 不等式 ax2+5x+c 0 解集为， 方程ax2+5x+c=0 的两个实数根为，且 a 0 ，解得 故选 B 7直线 a， b， c 及平面 ， ， ，下列命题正确的是（ ） A若 a ， b ， ca ， cb 则 cB 若9 / 22 b ， ab 则 a c若 a ， =b 则 abD 若 a ， b 则 ab 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】选项 A，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件 “ 相交直线 ” ，选项 B，根据线面平行的判定定理可知缺少条件“ 平面外一直线 ” ，选项 c，列举出所以可能，选项 D，根据线面垂直的性质定理进行判定 【解答】解：选项 A，若 a ， b ， ca ，cb 则 c ，根据线面垂直的判定定理可知缺少条件 “ 相交直线 ” ，故不正确； 选项 B，若 b ， ab 则 a ，根据线面平行的 判定定理可知缺少条件 “ 平面外一直线 ” ，故不正确； 选项 c，若 a ， =b 则 ab ，也可能异面，故不正确； 选项 D，若 a ， b 则 ab ，该命题就是线面垂直的性质定理； 故选 D 8如图，在长方体中， AB=AD=2， cc1=，则二面角 c1 BD c 的大小为（ ） A 90B 60c 45D 30 10 / 22 【考点】二面角的平面角及求法 【分析】过 c 作 cEBD ，垂足为 E，连结 Ec1，利用三垂线定理证出 c1EBD ，因此 c1Ec 是二面角 c1 BD c 的平面角矩形 ABcD中 算出 cE=，从而得到 Rtc1Ec 中 tanc1Ec= ，可得 c1Ec=30 ，即得二面角 c1 BD c 的大小 【解答】解：过点 c 作 cEBD ，垂足为 E，连结 Ec1 cc1 平面 ABcD，可得 cE是 c1E 在平面 ABcD内的射影 由 cEBD ，得 c1EBD ， 因此， c1Ec 就是二面角 c1 BD c 的平面角 矩形 ABcD中， 四边形 ABcD是正方形，可得 cE= Rtc1Ec 中， c1c= tanc1Ec= ，可得 c1Ec=30 故二面角 c1 BD c 的大小为 30 9已知等比数列 an，且 a4+a8= 2，则 a6（ a2+2a6+a10）的值为（ ） A 6B 4c 8D 9 【考点】等比数列的性质 【分析】将式子 “a6 （ a2+2a6+a10） ” 展开，由等比数列的性质：若 m， n， p， qN* ，且 m+n=p+q，则有 aman=apaq 可11 / 22 得， a6（ a2+2a6+a10） =（ a4+a8） 2，将条件代入得到答案 【解答】解：由题意知： a6（ a2+2a6+a10） =a6a2+2a6a6+a10a6， a4+a8= 2， a6a2+2a6a6+ a10a6=（ a4+a8） 2=4 故选 B 10一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 c 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， c 两点间的距离是（ ）海里 A 10B 20c 10D 20 【考点】解三角形的实际应用 【分析】根据题意画出图象确定 BAc 、 ABc 的值，进而可得到 AcB 的值，根据正弦定理可得到 Bc的值 【解答】解：如图，由已知可得， BAc =30 ， ABc=105 ，AB=20， 从而 AcB=45 在 ABc 中，由正弦定理可得 Bc=sin30=10 故选： A 12 / 22 11一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ） A 21+B 18+c 21D 18 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积 【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为 2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为 1， 几何体的表面积为： S 正方体 2S棱锥侧 +2S棱锥底 =21+ 故选： A 12已知数列 an满足 an=logn+1（ n+2）（ nN* ），定义：使乘积 a1a2a3ak 为正整数的 k（ kN* ）叫做 “ 期盼数 ” ，则在区间 1， 2016内所有的 “ 期盼数 ”的和为（ ） A 2036B 4076c 4072D 2026 【考点】数列的求和；对数的运算性质 【 分 析 】 an=logn+1 （ n+2 ） = ， 可 得 乘 积a1a2a3ak= 当且仅当 k+2=2n（ nN* ）时，13 / 22 满足题意在区 间 1， 2016内所有的 “ 期盼数 ” 为 22 2，23 2， ， 210 2再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解： an=logn+1 （ n+2） =， 则乘积 a1a2a3ak= 当且仅当 k+2=2n（ nN* ）时，满足题意 在区间 1， 2016内所有的 “ 期盼数 ” 为 22 2， 23 2， ，210 2 在区间 1， 2016内所有的 “ 期盼数 ” 的和 = 29=2026 故选： D 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分请把答 案直接填在答题卡对应题中横线上 .（注意：在试题卷上作答无效） 13已知 a=， b=，则 a， b 的等差中项为 【考点】等差数列的通项公式 【分析】由已知直接结合等差中项的概念得答案 【解答】解： a= ， b=， 由等差中项的概念得： a， b 的等差中项为 故答案为： 14设 x、 y 满足约束条件，则 z=3x+2y 的最大值是 5 【考点】简单线性规划的应用 14 / 22 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值， z=3x+2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域内直线在 y 轴 上的截距最大值即可 【解答】解：先根据约束条件画出可行域， 如图，当直线 z=3x+2y 过点 A（ 1， 1）时， 即当 x=y=1时， zmax=5 故填： 5 15已知正方体的棱长为 a，该正方体的外接球的半径为，则 a= 2 【考点】球内接多面体 【分析】正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的直径，利用正方体的外接球的半径为，即可求出 a 【解答】解：正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径， 所以球的直径为： a， 因为正方体的外接球的半径为， 所以 a=2， 所以 a=2 故答案为： 2 15 / 22 16用 x表示不超过 x 的最大整数，例如 3=3， =1， = 2已知数列 an满足 a1=1， an+1=an2+an，则 = 0 【考点】数列递推式 【分析】由已知结合数列递推式可得数列 an是递增数列，且 an 0，进一步得到，可得 1，结合已知定义得答案 【解答】解： a1=1 ， an+1=an2+an 0， 数列 an是递增数列，且 an 0， 则由 an+1=an2+an，得， = =， 又， =0 故答案为 ： 0 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17在等差数列 an中， a1=2， S3=9 （ 1）求 an的通项公式 an； （ 2）求 2的前 n 项和 Sn 【考点】等差数列的前 n 项和；等差数列的通项公式 【分析】（ 1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得16 / 22 出 （ 2）利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解：（ 1）设等差数列 an的公差为 d， a1=2 ， S3=9 32+d=9 ，解得 d=1 an=a1+ （ n 1） d=n+1 （ 2）由（ 1）知， 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列， 18已知 =（ sinx， 2）， =（ 2cosx， cos2x）， f（ x） = （ 1）求 f（ x）的解析式及最小正周期 （ 2）求 f（ x）的单调增区间 【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算 【分析】（ 1）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简 f（ x）的解析式，再利用三角函数的周期性，得出结论 （ 2）根据正弦函数的单调性求得 f（ x）的单调增区间 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） ， f （ x ）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（ 2x+） +1， f （ x）的最小正周期 （ 2）由，求得， ， 17 / 22 所以 f（ x）的单调递增区间（ kZ ） 19如图，四面体 ABcD 中， o、 E 分别为 BD、 Bc 的中点，且 cA=cB=cD=BD=2， AB=AD= （ 1）求证： Ao 平面 BcD； （ 2）求异面直线 AB与 cD所成角的余弦值 【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】（ 1）如图所示，要证 Ao 平面 BcD，只需证 AoBD ，Aoco 即可 ，用运算的方式来证明结论 （ 2）取 Ac 中点 F，连接 oF oE EF，由中位线定理可得EFAB ， oEcD 所以 oEF （或其补角）是异面直线 AB 与cD所成角，然后在 RtAoc 中求解 【解答】解：（ 1）证明： ABD 中 AB=AD= ， o 是 BD中点， BD=2 AoBD 且 =1 BcD 中，连接 ocBc=Dc=2 coBD 且 Aoc 中 Ao=1， co=， Ac=2 Ao2+co2=Ac2 故 Aoco Ao 平面 BcD （ 2）取 Ac中点 F，连接 oF oE EF 18 / 22 AB c 中 E F 分别为 Bc Ac中点 EFAB ，且 BcD 中 o E 分别为 BD Bc中点 oEcD 且 异面直线 AB 与 cD所成角等于 oEF （或其补角） 又 oF是 RtAoc 斜边上的中线 等腰 oEF 中 20围建一个面积为 360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为 45 元 /m，新墙的造价为 180 元 /m，设利用的旧墙的长度为 x（单位： m），修建此矩形场地围墙的 总费用为 y（单位：元） （ ）将 y 表示为 x 的函数： （ ）试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 【考点】函数模型的选择与应用；函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用 19 / 22 【分析】（ I）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元 /m，新墙的造价为 180元 /m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式； （ II）根据（ I）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及 相应的x 值 【解答】解：（ ）设矩形的另一边长为 am， 则 y=45x+180（ x 2） +1802a=225x+360a 360 由已知 ax=360，得， 所以 （ II）因为 x 0，所以， 所以，当且仅当时，等号成立 即当 x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440元 21在锐角三角形 ABc 中， a， b， c 分别是角 A， B， c 的对边，且（ a+b+c）（ a+c b） =（ 2+） ac （ 1）求角 B； （ 2）求 cosA+sinc 的取值范围 【考点 】余弦定理；正弦定理 20 / 22 【分析】（ 1）由条件化简可得 a2+c2 b2=，根据余弦定理可求得： cosB=，结合 B 是锐角，即可求 B 的值 （ 2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得 cosA+sinc=sin（ A+），求出 A 范围，即可得解 【解答】解：（ 1）由条件可得，（ a+c） 2 b2=（ 2+） ac，即a2+c2 b2=， 根据余弦定理得： cosB=， B 是锐角， B= （ 2） B= ， A+c= 即 c=， cosA+sinc=cosA+sin （） =cosA+sincosA cossinA = =sin（ A+） 又 ABc 是锐角三角形， ，即， ， A ， cosA+sinc 22已知函数 （ ）求 f（ x） +f（ 1 x）， xR 的值； （ ）若数列 an满足 an=f（ 0） +f（） +f（） +f （）+f（ 1）（ nN* ），求数列 an的通项公式； （ ）若数列 bn满足 bn=2n+1an， Sn是数列 bn的前 n 项21 / 22 和，是否存在正实数 k，使不等式 knSn 4bn 对于一切的nN* 恒成立？若存在，请求出 k 的取值范围；若不存在，