如何证明极限不存在(精选多篇).doc

如何证明极限不存在(精选多篇) 证明极限不存在 二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)(0,0)x4y2x6+y6=limx0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k0)(x,y)(0,0)趋近于(0,0),则有l. 2 是因为定义域d=(x,y)|x不等于y吗，从哪儿入手呢，请高手指点 沿着两条直线y=2x y=-2x趋于(0,0)时 极限分别为-3和-1/3不相等 极限存在的定义要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等 所以极限不存在 3 lim(x和y)趋向于无穷大(x2-5y2)/(x2+3y2) 证明该极限不存在 lim(x2-5y2)/(x2+3y2) =lim(x2+3y2)/(x2+3y2)-8y2/(x2+3y2) =1-lim8/ 因为不知道x、y的大校 所以lim(x和y)趋向于无穷大(x2-5y2)/(x2+3y2) 极限不存在 4 如图用定义证明极限不存在谢谢! 反证法 若存在实数l，使limsin(1/x)=l， 取=1/2， 在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n， 记x1(n)=1/(2n+/2)x，有sin=1， 记x2(n)=1/(2n-/2)x，有sin=-1， 使|sin-l|1/3， 和|sin-l|1/3， 同时成立。 即|1-l|1/2，|-1-l|1/2，同时成立。 这与|1-l|+|-1-l|(1-l)-(-1-l)|=2发生矛盾。 所以，使limsin(1/x)=l成立的实数l不存在。 如何证明极限不存在 反证法 若存在实数l，使limsin(1/x)=l， 取=1/2， 在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n， 记x1(n)=1/(2n+/2)x，有sin=1， 记x2(n)=1/(2n-/2)x，有sin=-1， 使|sin-l|1/3， 和|sin-l|1/3， 同时成立。 即|1-l|1/2，|-1-l|0x-0x+y x-y+x2+y2 limlim=1 x-0y-0x+y 当沿斜率不同的直线y=mx,(x,y)-(0,0)时，易证极限不同，所以它的二重极限不存在。 不如何证明极限不存在 一、归结原则 原理:设f在u0(x0;?)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于 x?x0 u(x0;?)且以x0为极限的数列?xn?极限limf(xn)都存在且相等。 n? 例如：证明极限limsin x?0 1x 不存在 12n? 证：设xn? 1n? ?,xn? ? 2 (n?1,2,?)，则显然有 xn?0,xn?0(n?)，si由归结原则即得结论。 ? ?0?0,si?1?1(n?)?xnxn 二、左右极限法 原理：判断当x?x0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?arctan(因为limarctan( x?0 ? 1x ) 当x ?0 时的极限不存在。 1x)? 1x )? ? 2 x=0，limarctan( x?0 ? ? 2 ，limarctan( x?0 ? 1x )?lim?arctan( x?0 1x )， 所以当x?0时，arctan( 1x )的极限不存在。 三、证明x?时的极限不存在 原理：判断当x? ? 时的极限，只要考察x?与x?时的极限，如果两者 相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)?ex在x? x? ? 时的极限不存在 x? x? xxxx 因为lime?0，lime?；因此，lime?lime x? 所以当x? 四、柯西准则 ? 时，ex的极限不存在。 0 原理：设f在u(x0;?)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：任给? x?x0 ?0 ，存 在正数?(?)，使得对任何x?,x?u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x?)?0。例如：在方法一的例题中，取?0?1，对任何?0，设正数n? x?1 n?,x?1 n?1?，令? 2即证。 五、定义法 原理：设函数f(x)在一个形如(a,?)的区间中有定义，对任何a?r，如果存在 ?0?0，使对任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a?0,则f(x)在x? x?时没有极限。例如：证明limcosx不存在 设函数f(x)?cosx，f(x)在(0,?)中有定义，对任何a?r，不妨设a?取?0?120,，于是对任何?0，取?0?0反证法（利用极限定义）数学归纳法 极限证明 1.设f(x)在(?,?)上无穷次可微，且f(x)?(xn)(n?)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0x? 2.设f(x)?0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和x f(n)(x)?0?xn?3.设f(x)在(?,?)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，? ?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0 sin(f(x)?1求证limf(x)存在4.设f(x)在(a,?)上连续，且xlim?x? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn?xn存在并求极限值。 6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n?xn?n 7.用肯定语气叙述：limx?f?x?. 8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x?a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时， 为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。 10.设limn?an?a,证明：lima1?2a2?nana?.n?2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。 12.证明：若? af?x?dx收敛且limx?f?x?，则?0. 11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c?n，其中c是与n无关的常数，limn?n?0. 15.设f?x?在a,?)上可微且有界。证明存在一个数列?xn?a,?),使得limn?xn?且limn?f?xn?0. 16.设f?u?具有连续的导函数，且limu?f?u?a?0,d?x,y?|x2?y2?r2,x,y?0 ? ?r?0?. i ?1?证明：limu?f?u?;?2?求ir?f?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r? d r 17.设f?x?于a,?)可导，且f?x?c?0?c为常数?,证明： ?1?limx?f?x?;?2?f?x?于a,?)必有最小值。 18.设limn?an?a,limn?bn?b,其中b?0,用?n语言证明lim ana?. n?bbn ?sn?x?19.设函数列?sn?x?的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间， 在u?x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn?sn?x0?,证明：lims?x?. x?x0 20.叙述并证明limx?f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理? ?a 23.设? f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,?上一致连续，? 24.设a10，an?1an，证明1nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与m?h?分别表示f?x?在 ?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明： 1）limn?m?hn?与limn?m?hn?都存在； 2)limn?0m?h?limn?m?hn?,limn?0m?h?limn?m?hn?; 3)f?x?在x?a处连续的充要条件是llimn?m?hn?imn?m?hn?26设?xn?满足：|xn?1?xn|?|qn|xn?xn?1|,|qn|?r?1|,证明?xn?收敛。 27.设an?a,用定义证明:limn?an?a 28.设x1?0，xn?1? 31?xn ,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。 n?3?xn ? 29.用“?语言”证明lim30.设f(x)? (x?2)(x?1) ?0 x?1x?3 x?2 ，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1 n? 1，2，?)，求证：limxn?2。 31.设fn(x)?cosx?cos2x?cosnx，求证： （a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在0,?/3)内有且仅有一个正根； （b）设xn?0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn?/3。 n? 32.设函数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b)使 limf(xn)?a(n?)及limf(yn)?b(n?)，则对a，b之间的任意数?， 可找到数列xn?a，使得limf(zn)? 33.设函数f在a,b上连续，且 f?0,记fvn?f(a?v?n),?n? ?exp b?a ，试证明：n 1b lnf(x)dx(n?)并利用上述等式证明下?ab?a 式 2? ? 2? ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1) f(b)?f(a) ?k b?a 34.设f(0)?k,试证明lim a?0?b?0? 35.设f(x)连续，?(x)?0f(xt)dt，且lim x?0 论?(x)在x?0处的连续性。 f(x) ，求?(x)，并讨?a（常数） x 36给出riemann积分?af(x)dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛 i1 lim?()s。n?ni?0n ?x322 ,x?y?0?2 37.定义函数f?x?x?y2.证明f?x?在?0,0?处连续但不可微。 ?0,x?y?0? n?1 b 38.设f是?0,?上有界连续函数，并设r1,r2,?是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?,使得：limn?f?xn?rn?f?xn?0. 39.设函数f?x?在x?0连续，且limx?0 f?2x?f?x?a,求证：f?0?存在且等于a. x 1n 40.无穷数列?an?,bn?满足limn?an?a,limn?bn?b,证明:lim?aibn?1-i?ab. n?ni?1 41.设f是?0,?上具有二阶连续导数的正函数，且f?x?0,f有界，则limt?f?t?0 42.用?分析定义证明limt?1 x?31 ?x2?92 43.证明下列各题 ?1?设an?0,1?，n?1,2,?,试证明级数?2nann?1?an?n收敛； n?1 ? ?2?设?an?为单调递减的正项数列，级数?nxxan收敛，试证明limnxxan?0; n? n?1 ? ?3?设f?x?在x?0附近有定义，试证明权限limx?0f?x?存在的充要条件是：对任何趋于0的数列?xn?,yn?都有limn?f?xn?f?yn?0. ?1?44.设?an?为单调递减数列的正项数列，级数?anln?1?an?0?收敛，试证明limn?n?n?1? a?1。45.设an?0，n=1,2，an?a?0,(n?),证l