2017高三数学理科一轮复习数列专题突破训练

1 / 18 2017高三数学理科一轮复习数列专题突破训练 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址文 章来源 m 北京市 2017届高三数学理一轮复习专题突破训练 数 列 一、选择、填空题 1、（ 2016年北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，则 _. 2、（ XX年北京高考）设是等差数列 .下列结论中正确的是 A.若，则 B.若，则 c.若，则 D.若，则 3、（ XX年北京高考）若等差数列满足，则当 _时，的前项和最大 . 4、（朝阳区 2016届高三二 模）为了响应政府推进 “ 菜篮子 ”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地 .第一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元 .每年销售蔬菜的收入为 26 万元 .设表示前年的纯利润（ =前年的总收入前年的总费用支出投资额），则（用表示）；从第年开始盈利 . 5、（东城区 2016 届高三二模）成等差数列的三个正数的和2 / 18 等于，并且这三个数分别加上、后成为等比数列中的、，则数列的通项公式为 6、（丰台区 2016 届高三一模）若数列满足，且与的等差中项是 5，则等于 （ A）（ B）（ c）（ D） 7、（海淀区 2016届高三二模）在数列中，且，则的值为 8、（昌平区 2016届高三上学期期末）已知函数 f(x)的部分对应值如表所示 .数列满足且对任意，点都在函数的图象上，则的值为 1234 3124 9、（朝阳区 2016 届高三上学期期中）已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于（ ） 10、（海淀区 2016届高三上学期期中）数列的前 n 项和为，则的值为 A 1 B 3 c 5 D 6 3 / 18 11、（石景山区 2016届高三上学期期末）已知数列是等差数列， 则前项和 中最大的是（） 或 c.或 D. 12、（东城区 2016届高三上学期期中） 在数列中， 13、（丰台区 2016届高三上学期期末）设等差数列的前项和为，若 ,则 =. 二、解答题 1、（ 2016 年北京高考）设数列 A：， ,(). 如果对小于 ()的每个正整数都有，则称是数列 A 的一个 “G 时刻 ”. 记 “ 是数列 A 的所有 “G 时刻 ” 组成的集合 . （ 1）对数列 A： -2， 2， -1， 1， 3，写出的所有元素； （ 2）证明：若数列 A 中存在使得 ，则； （ 3）证明：若数列 A 满足 -1 （ n=2,3,N ） ,则的元素个数不小于 -. 2、（ XX年北京高考） 已知数列满足：，且 记集合 （ ）若，写出集合的所有元素； 4 / 18 （ ）若集合存在一个元素是 3 的倍数，证明：的所有元素都是 3 的倍数； （ ）求集合的元素个数的最大值 3、（ XX年北京高考）对于数对序列，记， ，其中 表示和两个数中最大的数， （ 1）对于数对序列，求的值 . （ 2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小 . （ 3）在由 5 个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值 .（只需写出结论） . 4、（朝阳区 2016 届高三二模）已知集合，且若存在非空集合，使得，且，并，都有，则称集合具有性质，（）称为集合的子集 （ ）当时，试说明集合具有性质，并写出相应的子集； （ ）若集合具有性质，集合是集合的一个子集，设， 求证：，都有； （ ）求证：对任意正整数，集合具有性质 5、（东城区 2016届高三二模）数列中，定义：， . （ ）若，求； () 若，求证此数列满足； （ ）若，且数列的周期为 4，即，写出所有符合条件的 . 5 / 18 6、（丰台区 2016 届高三一模）已知数列是无穷数列，（是正整数）， . （ ）若，写出的值； （ ）已知数列中，求证：数列中有无穷项为 1； （ ）已知数列中任何一项都不等于 1，记为较大者） .求证：数列是单调递减数列 . 7、（海淀区 2016届高三二模）已知集合 ,其中 . ,称为的第个坐标分量 .若，且满足如下两条性质： 中元素个数不少于 4 个； ，存在，使得的第个坐标分量都是 1； 则称为的一个好子集 . （ ）若为的一个好子集，且，写出； （ ）若为的一个好子集，求证：中元 素个数不超过； （ ）若为的一个好子集且中恰好有个元素时，求证：一定存在唯一一个 ，使得中所有元素的第个坐标分量都是 1. 8、（石景山区 2016 届高三一模）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是 “ 回归数列 ” （ ） 前项和为的数列是否是 “ 回归数列 ” ？并请说明理由； 通项公式为的数列是否是 “ 回归数列 ” ？并请说明理由； 6 / 18 （ ）设是等差数列，首项，公差，若是 “ 回归数列 ” ，求的值； （ ）是否对任意的等差数列，总存在两个 “ 回归数列 ” 和，使得成立，请给出你的结论 ，并说明理由 9、（西城区 2016 届高三二模）已知任意的正整数都可唯一表示为，其中， 对于，数列满足：当中有偶数个 1 时，；否则如数 5 可以唯一表示为，则 （ ）写出数列的前 8 项； （ ）求证：数列中连续为 1 的项不超过 2 项； （ ）记数列的前项和为，求满足的所有的值（结论不要求证明） 10、（朝阳区 2016届高三上学期期末）已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件： ； （ ）若，求出这个数列； （ ）若，求的所有取值的集合； （ ）若是偶数，求的最大值（用 表示） 11、（朝阳区 2016届高三上学期期中）已知等差数列的首项，公差，前项和为，且 . 7 / 18 （ ）求数列的通项公式； （ ）求证： . 12、（东城区 2016届高三上学期期末）设是一个公比为等比数列，成等差数列 ,且它的前 4 项和 . （ ）求数列的通项公式； （ ）令 ,求数列的前项和 . 参考答案 一、选择、填空题 1、【答案】 6 【解析】 试题分析： 是等差数列， ， ，故填： 6 2、 c 解析： 3、 由等差数列的性 质，于是有，故故，为的前项和中的最大值 4、 , 5、 A 6、 B 8 / 18 7、 B 8、 B 9、 A 10、 c 11、 B 12、 13、 18 二、解答题 1、【答案】（ 1）的元素为和；（ 2）详见解析；（ 3）详见解析 . 如果，取，则对任何 . 从而且 . 又因为是中的最大元素，所以 . 2、解析 :（ ）， （ ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数 由可归纳证明对任意，是的倍数 如果，则的所有元素都是的倍数 如果，因为或 ，所以是的倍数，于是是的倍数类似可得，都是的倍数从而对任意，是的倍数因此集合的所有元素都是的倍数 综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数 （ ）由，可归纳证明 因为是正整数，所以是的倍数 9 / 18 从而当时，是的倍数 如果是的倍数，由（ ）知对所有正整数，是的倍数 因此当时，这时的元素的个数不超过 如果不是的倍数，由（ ）知对所有正整数，不是的倍数 因此当时，这时的元素的个数不超过 当时，共个元素综上可知，集合元素个数的最大值为 3、 ,; 当时： ，； ，； 因为是中最小的数，所以，从而； 当时， ，； ，； 因为是中最小的数，所以，从而。 综上，这两种情况下都有。 数列序列，的的值最小； ， . 4、证明：（ ）当时，令， , 则 ,且对，都有， 所以具有性质相应的子集为， 3 分 （ ） 若 ,由已知 , 10 / 18 又 ,所以所以 若 ,可设， ,且， 此时 所以，且所以 若 ,， 则 , 所以 又因为，所以所以 所以 综上，对于，都有 8 分 （ ）用数学归纳法证明 （ 1）由（ ）可知当时，命题成立，即集合具有性质 （ 2）假设 ()时，命题成立即， 且，都有 那么当时，记 ,， 并构造如下个集合： ,， ， 显然 又因为，所以 下面证明中任意两个元素之差不等于中的任一元素 若两个元素 , 则 , 11 / 18 所以 若两个元素都属于 , 由（ ）可知，中任意两个元素之差不等于中的任一数 从而，时命题成立 综 上 所 述 ， 对 任 意 正 整 数 ， 集 合 具 有 性质 13 分 5、（ ）由以及可得： 所以从 第 二 项起为等 比数 列 . 经过验证 为等比数列 .-2 分 () 由于所以有 . 令则有叠加得： 所以有，叠加可得：， 所以最小值为-5.-6 分 （ ）由于， 若可得，若可得 同理，若可得或，若可得或 具体如下表所示 12 / 18 所以可以为 或 此时相应的为 或 -13分 6 、 解 ： （ ）；-2 分 （ ），假设 当时，依题意有 当时，依题意有， 当时，依题意有， 由以上过程可知：若，在无穷数列中，第项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列中有无穷项为1.-6 分 （ ）证明：由条件可知， 因为中任何一项不等于 1，所以 . 若，则 . 因为，所以 . 13 / 18 若，则，于是； 若，则，于是； 若，则，于题意不符； 所以，即 . 若，则 . 因为，所以； 因为，所以； 所以，即 . 综上所述，对于一切正整数，总有，所以数列是单调递减数列 . -13 分 7、解：（ ） 2 分 （ ）对于，考虑元素， 显然，对于任意的，不可能都为 1， 可得不可能都在好 子集中 4 分 又因为取定，则一定存在且唯一，而且， 且由的定义知道， 6 分 这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半， 而 集 合 中 元 素 个 数 为 ， 所 以 中 元 素 个 数 不 超过； 8 分 14 / 18 （ ）， 定义元素的乘积为：，显然 . 我们证明 : “ 对任意的，都有 .” 假设存在 ,使得， 则由（ ）知， 此时，对于任意的，不可能同时为 ,矛盾， 所以 . 因为中只有个元素，我们记为中所有元素的乘积， 根据上面的结论，我们知道， 显然这个元素的坐标分量不能 都为，不妨设 , 根据的定义，可以知道中所有元素的坐标分量都为 11 分 下面再证明的唯一性： 若还有 ,即中所有元素的坐标分量都为 , 所以此时集合中元素个数至多为个，矛盾 . 所以结论成立 13 分 8、解 :（ ） ，作差法可得， 当时，； 当时，存在，使得 数列是 “ 回归数列 ” 2 分 ， 前项和，根据题意 15 / 18 一定是偶数， 存在，使得 数列是 “ 回归数列 ” 4 分 （ ），根据题意，存在正整数，使得成立 即， ，即 8 分 （ ）设 等差数列 总存在两个回归数列， 使得 9 分 证明如下： 数列前项和， 时，；时，； 时，为正整数，当时， . 存在正整数，使得， 是 “ 回归数列 ”11 分 数列前项和存在正整数，使得， 是 “ 回归数列 ” ，所以结论成立 13 分 9、（ ）解： 1， 1， 0， 1， 0， 0， 1， 1.3 分 （ ）证明：设数列中某段连续为 1 的项从开始，则 由题意，令，则中有奇数个 1 （ 1）当中无 0 时， 因为， 所以， 16 / 18 所以，此时连续 2 项为 1 5 分 （ 2）当中 有 0 时， 若，即， 则， 因为中有奇数个 1， 所以，此时连续 1 项为 1 7 分 若，即， 则， ，（其中） 如果为奇数，那么，此时连续 2 项为 1 如果为偶数，那么，此时仅有 1 项 综上所述，连续为 1 的项不超过 2 项 10 分 （ ）解：或 .13 分 10、解：（ ）因为，由 知； 由 知，整理得，解得，或 当时，不满足，舍去； 所 以 ， 这 个 数 列为 3 分 （ ）若，由 知 因为，所以 所以或 17 / 18 如果由计算没有用到或者恰用了 2 次，显然不满足条件； 所以由计算只能恰好 1次或者 3次用到，共有下面 4种情况： （ 1）若，则，解得； （ 2）若，