xx届高考数学函数的单调性与最值知识归纳复习教案

1 / 8 XX 届高考数学函数的单调性与最值知识归纳复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 3.函数的单调性与最值 一、知识梳理： 1、函数的单调性 （ 1）函数的单调区间必须在定义域内。分别在两个区间上单调用 “ 和 ” 连接而不能用并 . 如：求函数的单调区间。 （ 2）定义：设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上 是增函数（减函数）； （ 3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法 ,导数法。 定义法：对任意的，判断的符号，两法因式分解和配方法，以说明之 （ 4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等函数的单调区间。具体说明。 （ 5）设是定义在 m 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，2 / 8 则在 m 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则在 m上是增函数。 如求函数的单调递增区间为，单调递减区间为。 （ 6）简单性质： 奇函数在其对称区间上的单调性相同 ； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 2、函数的最值 （ 1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足： 对于任意的 xI ，都有 f(x)m ； 存在 x0I ，使得 f(x0)=m。那么，称 m 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足： 对于任意的 xI ，都有 f(x)m ； 存在 x0I ，使得 f(x0)=m。那么，称 m 是函数 y=f(x)的最大值。 其意义 2 点： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I ，使得 f(x0)=m； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI ，都有 f(x)m （ f(x)m ）。 3 / 8 （ 2）求最值方法：函数单调性法（包括导数法）、基本不等式法； 二、典例讨论： 1、基本初等复合函数的单调区间 例 1.求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性 . 解：（ 1）图象法 :递增区间：和，递减区间：和 （ 2）初等复合 函数法 :递增区间：，递减区间： （ 3）递增区间：，递减区间： 例 2、已知讨论函数的单调性。 解：的定义域为，且，为奇函数。 所以只需讨论在上的单调性，任取且， 则 因为， 因为为增函数，所以即， 所以在上递减，因为为奇函数，所以在上也递减 点评：对数函数的单调性讨论的处理。 讨论练习 1：判断函数 (0) 在区间 ( 1， 1)上的单调性。 4 / 8 解：设 ,则 , ,0, 当时 ,函数在 ( 1,1)上为减函数， 当时 ,函数在 ( 1,1)上为增函数 . 方法 二、导数法： 当时 ,函数在 ( 1,1)上为减函数， 当时 ,函数在 ( 1,1)上为增函数 . 点评：解单调性大题时只有两种合法方法：定义法和导数法。 例 3、函数的图象如图所示：则的单调减区间是（） 解：令，则在和上为递增，所以在和由复合函数的单调性规则知，为递减，故选 c 例 4、（ 1）已知是 R 上的减函数，那么的取值范围是（） 解：在递减，时。故选 c （ 2）函数在上的最大值与最小值的和为，则 . 解：无论和，与同增减，所以最大值与最小值的和一定是 4、单调性的应用 例 5、已知函数是定义在 R 上的偶函数，且在上是增函数，令，则（） 5 / 8 解： ， 所以，故选 A 5、综合问题 例 6、定义在 R 上的函数 y=f（ x）， f（ 0） 0 ，当 x 0 时，f（ x） 1，且对任意的 a、 bR ，有 f（ a+b） =f（ a） f（ b） . （ 1）求证： f（ 0） =1； （ 2）求证：对任意的 xR ，恒有 f（ x） 0； （ 3）求证： f（ x）是 R 上的增函数； （ 4）若 f（ x） f（ 2x x2） 1，求 x 的取值范围 . 解：（ 1）证明：令 a=b=0，则 f（ 0） =f2（ 0） .又 f（ 0） 0 ，f （ 0） =1. （ 2）证明：当 x 0 时， x 0， f （ 0） =f（ x） f（ x） =1. f （ x） = 0.又 x0 时 f（ x） 1 0， xR 时，恒有 f（ x） 0. （ 3）证明：设 x1 x2，则 x2 x1 0.f （ x2） =f（ x2x1+x1） =f（ x2 x1） f（ x1） . x2 x1 0， f （ x2 x1） 1.又 f（ x1） 0， f （ x2 x1） f（ x1） f（ x1） . f （ x2） f（ x1） .f （ x）是 R 上的增函数 . 6 / 8 （ 4）解：由 f（ x） f（ 2x x2） 1， f（ 0） =1 得f（ 3x x2） f（ 0） .又 f（ x）是 R 上的增函数， 3x x2 0.0 x 3. 评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（ 3）中“f （ x2） =f（ x2 x1） +x1 ” 是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略 . 三、课堂小结： 四、课后作业： 1.讨论函数 f（ x） =x+（ a 0）的单调性 . 解方法一显然 f（ x）为奇函数，所以先讨论函数 f（ x）在（ 0， + ）上的单调性，设 x1 x2 0,则 f(x1)-f(x2)=（ x1+） -（ x2+） =(x1-x2)（ 1-） . 当 0 x2 x1 时， 1, 则 f（ x1） -f（ x2） 0，即 f(x1) f(x2),故 f（ x）在（ 0，上是减函数 . 当 x1 x2 时， 0 1，则 f（ x1） -f（ x2） 0,即 f(x1) f(x2), 故 f（ x）在， + ）上是增函数 .f （ x）是奇函数， f（ x）分别在（ - ， -、， + ）上为增函数； f（ x）分别在 -， 0）、（ 0，上为减函数 . 7 / 8 方法二由 f （ x） =1-=0可得 x= 当 x时或 x -时， f(x) 0， f （ x）分别在（， + ）、（ - ， -上是增函数 . 同理 0 x或 - x 0 时， f （ x） 0 即 f（ x）分别在（ 0，、 -， 0）上是减函数 . 2.求函数 y=（ 4x-x2）的单调区间 . 解由 4x-x2 0，得函数的定义域是（ 0， 4） .令 t=4x-x2，则 y=t. t=4x-x2=-（ x-2） 2+4， t=4x -x2的单调减区间是 2，4），增区间是（ 0， 2 . 又 y=t在（ 0， + ）上是减函数， 函数 y=（ 4x-x2）的单调减区间是（ 0， 2，单调增区间是 2， 4). 3.定义在 R 上的函数 y=f（