xx届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案

1 / 13 XX 届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址不等式的证明（一） 知识梳理 1.均值定理： a+b2 ； ab （） 2（ a、 bR+ ）， 当且仅当 a=b时取等号 . 2.比较法： a b 0a b， a b 0a b. 3.作商法： a 0， b 0， 1a b. 特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法 .作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式 . 2.比商法要注意使用条件，若 1 不能推出 a b.这里要注意 a、 b 两数的符号 . 点击双基 1.若 a、 b 是正数，则、这四个数的大小顺序是 A.B. c.D. 解析：可设 a=1， b=2，则 =， =， 2 / 13 =， =. 答案： c 2.设 0 x 1，则 a=x， b=1+x， c=中最大的一个是 不能确定 解析： 0 x 1， 1+x 2= . 只需比较 1+x与的大小 . 1+x = 0， 1+x . 答案： c 3.（ XX 年春季上海， 15）若 a、 b、 c 是常数，则 “a 0 且b2 4ac 0” 是 “ 对任意 xR ，有 ax2+bx+c 0” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 c.充要条件必要条件 解析：当 a 0， b2 4ac 0 时， ax2+bx+c 0. 反之， ax2+bx+c 0 对 xR 成立不能推出 a 0， b2 4ac 0. 反例： a=b=0， c=2.故选 A. 答案： A 4.（理）已知 |a+b| c（ a、 b、 cR ），给出下列不等式： a b c； a b+c； a b c； |a| |b| c；|a| |b| c. 其中一定成立的不等式是 _.（把成立的 不等式的序号都填上） 解析： |a+b| c， c a+b c. b+c a b3 / 13 c.故 成立， 不成立 . |a+b| c， |a+b|a| |b|， |a| |b| c.|a| |b| c. 故 成立， 不成立 . 答案： （文）若 a、 bR ，有下列不等式： a2+3 2a； a2+b22（ a b 1）； a5+b5 a3b2+a2b3； a+2. 其中一定成立的是 _. 解析： a2+3 2a=（ a 1） 2+2 0， a2+3 2a； a2+b2 2a+2b+2=（ a 1） 2+（ b+1） 20 ， a2+b22（ a b 1）； a5+b5 a3b2 a2b3=a3（ a2 b2） +b3（ b2 a2） =（ a2 b2）（ a3 b3） =（ a+b）（ a b） 2（ a2+ab+b2） . （ a b） 20 ， a2+ab+b20 ，但 a+b符号不确定， a5+b5 a3b2+a2b3 不正确； aR 时， a+2 不正确 . 答案： 5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度 v1和在静水中的速度 v2的大小关系为 _. 解 析：设甲地至乙地的距离为 s，船在静水中的速度为 v2，水流速度为 v（ v2 v 0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间 t=+=， 4 / 13 平均速度 v1=. v1 v2= v2= 0， v1 v2. 答案： v1 v2 典例剖析 【例 1】设 a 0， b 0，求证：（）（） a+b. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明 . 证法一：左边右边（） 0. 原不等式成立 . 证法二：左边 0，右边 0， 1. 原不等式成立 . 评述：用比较 法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤 .变形的主要手段是通分、因式分解或配方 .在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二 .下面的例 3 则是公式法与配方法的综合应用 . 【例 2】已知 a、 b、 x、 yR+ 且， x y. 求证： . 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合 . 证法一：（作差比较法） 5 / 13 =， 又且 a、 bR+ ， b a 0.又 x y 0， bx ay. 0，即 . 证法二：（分析法） x 、 y、 a、 bR+ ， 要证， 只需证明 x（ y+b） y（ x+a），即证 xb ya. 而由 0， b a 0.又 x y 0， 知 xb ya显然成立 .故原不等式成立 . 思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数 ? 解法一：令 f（ x） =，易证 f（ x）在（ 0， + ）上为增函数，从而 . 再令 g（ x） =，易证 g（ x）在（ 0， + ）上单调递减 . ， a、 bR+.a b. g （ a） g（ b），即，命题得证 . 解法二：原不等式即为， 为此构造函数 f（ x） =， x （ 0， + ） . 易证 f（ x）在（ 0， + ）上为单调增函数，而， ，即 . 【例 3】某食品厂定期购买面粉 .已知该厂每天需用面粉 6t，每吨面粉的价格为 1800 元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天 3 元，购面粉每次需支付运费 900元 . 6 / 13 （ 1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 ? （ 2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于 210t时，其价格可享受 9 折优惠（即原价的 90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件 ?请说明理由 . 解：（ 1）设该厂应每隔 x 天购买一次面粉，其购买量为 6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为 3 6x+6（ x 1）+62+61 =9x（ x+1） . 设平均每天所支付的总费用为 y1 元，则 y1= 9x（ x+1） +900+61800 =+9x+108092+10809=10989. 当且仅当 9x=，即 x=10时取等号， 即该厂应每隔 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少 . （ 2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔 35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为 y2元，则 y2= 9x（ x+1） +900 +61800=+9x+9729 （ x35 ） . 令 f（ x） =x+（ x35 ）， x2 x135 ，则 f（ x1） f（ x2） =（ x1+）（ x2+） = x2 x135 ， x2 x1 0， x1x2 0， 100 x1x2 0. f （ x1） f（ x2） 0， f（ x1） f（ x2）， 7 / 13 即 f（ x） =x+，当 x35 时为增函数 . 当 x=35时， f（ x）有最小值，此时 y2 10989. 该厂应该接受此优惠条件 . 闯关训练 夯实基础 1.设 x 0， y 0，且 xy（ x+y） =1，则 +y2+y2+2 +y （ +1） +y （ +1） 2 解析： x 0， y 0， xy （） 2. 由 xy（ x+y） =1得（） 2（ x+y） 1. x+y2+2. 答案： B 2.已知 x、 yR ， m=x2+y2+1， N=x+y+xy，则 m 与 N 的大小关系是 =ND. 不能确定 解析： m N=x2+y2+1（ x+y+xy） =（ x2+y2 2xy） +（ x2 2x+1） +（ y2 2y+1） =（ x y） 2+（ x 1） 2+（ y 1） 2 0. 答案： A 3.设 a 0， b 0， a2+=1，则 a 的最大值是 _. 解析： a2+=1a2+=. a=a• ;=. 8 / 13 答案： 4.若记号 “” 表示求两个实数 a 和 b 的算术平均数的运算，即 ab= ，则两边均含有运算符号 “” 和 “+” ，且对于任意 3 个实数 a、 b、 c 都能成立的一个等式可以是_. 解析： ab= ， ba= ， ab+c=ba+c. 答案： ab+c=ba+c. 思考：对于运算 “” 分配律成立吗 ? 即 a （ b+c） =ab+ac. 答案：不成立 5.当 m n 时，求证： m3 m2n 3mn2 2m2n 6mn2 n3 证明： （ m3 m2n 3mn2）（ 2m2n 6mn2 n3） m33m2n 3mn2 n3（ m n） 3， 又 m n， m n 0. （ m n） 3 0， 即（ m3 m2n 3mn2）（ 2m2n 6mn2 n3） 0. 故 m3 m2n 3mn2 2m2n 6mn2 n3 6.已知 a 1， 0，求证： loga（ a+ ） loga+ （ a+2 ） . 证明： loga（ a+ ） log（ a+ ）（ a+2 ） = = a 1， 0， lga 0， lg（ a+2 ） 0，且 lgalg9 / 13 （ a+2 ） . lgalg （ a+2 ）（） 2 = 2 2=lg2（ a+ ） . 0. loga （ a+ ） log（ a+ ）（ a+2 ） . 培养能力 7.已知 x 0， y 0，若不等式 +m 恒成立，求实数 m 的最小值 . 分析： +m 恒成立， m 恒成立 . m 的最小值就是的最大值 . 解： +m 恒成立， m 恒成立 . x 0， y 0， =. =. m 的最小值为 . 评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段 . 8.有点难度哟！ 求证：在非 RtABc 中，若 a b， ha、 hb分别表示 a、 b 边上的高，则必有 a+ha b+hb. 证明：设 S 表示 ABc 的面积，则 S=aha=bhb=absinc. ha=bsinc ， hb=asinc. （ a+ha）（ b+hb） =a+bsinc b asinc 10 / 13 =（ a b）（ 1 sinc） . c ， 1 sinc 0. （ a b）（ 1 sinc） 0. a+ha b+hb. 探究创新 9.设二次函数 f（ x） =ax2+bx+c（ a 0），方程 f（ x） x=0的两根 x1、 x2满足 1 x1 x2 . （ 1）当 x （ 0， x1）时，证明 x f（ x） x1； （ 2）设函数 f（ x）的图象关于直线 x=x0对称，求证 x0 . 证明：（ 1）令 F（ x） =f（ x） x， x1 、 x2 是方程 f（ x） x=0 的根， F （ x） =a（ x x1）（ x x2） . 当 x （ 0， x1）时，由于 x1 x2， （ x x1）（ x x2）0. 又 a 0，得 F（ x） =a（ x x1）（ x x2） 0，即 x f（ x） . 又 x1 f（ x） =x1 x+F（ x） =x1 x+a（ x1 x）（ x x2）=（ x1 x） 1+a（ x x2）， 0 x x1 x2， x1 x 0， 1+a（ x x2） =1+ax ax2 1 ax2 0， x1 f（ x） 0，即 f（ x） x1. 综上，可知 x f（ x） x1. （ 2）由题意知 x0= . 11 / 13 x1 、 x2是方程 f（ x） x=0的根，即 x1、 x2是方程 ax2+（ b 1） x+c=0的根， x1+x2= .x0= =. 又 ax2 1， x0 =. 思悟小结 1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商 .用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法 .它的依据是不等式的基本性质 . 2.步骤是：作差（商） 变形 判断 .变形的目的是为了判断 .若是作差，就判断与 0 的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式 .若是作商，两边为正，就判断与 1 的大小关系 . 3.有时要先对不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用 . 4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是 “ 一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ”. 若忽略了某个条件，就会出现错误 . 教师下载中心 教学点睛 1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一 种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握 . 12 / 13 2.对于公式 a+b2 ， ab （） 2 要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab和 a+b的转化关系 . 拓展题例 【例 1】设 a、 bR ，关于 x 的方程 x2 ax b 0 的实根为 、 . 若 a b 1，求证： 1， 1. 证法一： a， b， a b 1. 1，（ 1）（ 1） 0. 1.同理， 1. 证法二：设 f（ x） =x2 ax b，则有 f（ 1） 1 a b 1（ a b） 1 1 0， f（ 1） 1 a b 1（ a b） 0. 0 a 1， 1 a 1. . 方程 f（ x） 0 的两实根在（ 1， 1）内，即 1， 1. 评述：证法一先利用韦达定理，再用绝