xx届高考数学第一轮反函数专项复习教案

1 / 11 XX 届高考数学第一轮反函数专项复习教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址反函数 知识梳理 1.反函数定义：若函数 y=f（ x）（ xA ）的值域为 c，由这个函数中 x、 y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=（ y） .如果对于 y 在 c 中的任何一个值，通过 x=（ y）， x 在 A 中都有唯一的值和它对应，那么， x=（ y）就表示 y 是自变量， x是自变量 y 的函数 .这样的函数 x=（ y）（ yc ）叫做函数 y=f（ x）（ xA ）的反函数，记作 x=f 1（ y） . 在函数 x=f 1（ y）中， y 表示自变量， x 表示函数 .习惯上，我们一般用 x 表示自变量， y 表示函数，因此我们常常对调函数 x=f 1（ y）中的字母 x、 y，把它改写成 y=f 1（ x） . 2.互为反函数的两个函数 y=f（ x）与 y=f 1（ x）在同一直角坐标系中的图象关于直线 y=x对称 . 3.求反函数的步骤： （ 1）解关于 x 的方程 y=f（ x），得到 x=f 1（ y） . （ 2）把第一步得到的式子中的 x、 y 对换位置，得到 y=f1（ x） . （ 3）求出并说明反函数的定义域即函数 y=f（ x）的值域 . 2 / 11 点击双基 1.（ XX 年北京东城区模拟题）函数 y=（ x 1）的反函数是 = 1（ x0 ） = +1（ x0 ） = x+1（ xR ） = x 1（ xR ） 解析： y=（ x 1） x+1= x= 1 .x、 y 交换位置，得y= 1 . 答案： A 2.函数 y=log2（ x+1） +1（ x 0）的反函数为 =2x 1 1（ x 1） =2x 1+1（ x 1） =2x+1 1（ x 0） =2x+1+1（ x 0） 解析：函数 y=log2（ x+1） +1（ x 0）的值域为 y|y 1，由 y=log2（ x+1） +1，解得 x=2y 1 1. 函数 y=log2（ x+1） +1（ x 0）的反函数为 y=2x 1 1（ x 1） . 答案： A 3.函数 f（ x） =（ x ）的反函数 A.在， + ）上为增函数 B.在， + ）上为减函数 c.在（ ， 0上为增函数 D.在（ ， 0上为减函数 解析：函数 f（ x） =（ x ）的值域为 y|y0 ，而原函数在， + ）上是减函数，所以它的反函数在（ ，0上也是减函数 . 3 / 11 答案： D 4.（ XX年春季上海， 4）函数 f（ x） = x2（ x （ ，2）的反函数 f 1（ x） =_. 解析： y= x2（ x 2）， y 4.x= .x、 y 互换， f 1（ x） =（ x 4） . 答案：（ x 4） 5.若函数 f（ x） =，则 f 1（） =_. 解法一：由 f（ x） =，得 f 1（ x） =.f 1（） =1. 解法二：由 =，解得 x=1.f 1（） =1. 答案： 1 评述：显然解法二更简便 . 典例剖析 【例 1】设函数 f（ x）是函数 g（ x） =的反函数，则 f（ 4 x2）的单调递增区间为 A. 0， + ） B.（ ， 0 c. 0， 2） D.（ 2， 0 解析： f（ 4 x2） = log2（ 4 x2） .x （ 2， 0时， 4 x2单调递增； x 0， 2）时， 4 x2单调递减 . 答案： c 深化拓展 1.若 y=f（ x）是 a， b上的单调函数，则 y=f（ x）一定有反函数，且反函数的单调性与 y=f（ x）一致 . 4 / 11 2.若 y=f（ x）， x a， b（ a b）是偶函数，则 y=f（ x）有反函数吗？（答案：无） 【例 2】求函数 f（ x） =的反函数 . 解：当 x 1 时， y=x2 12 ，且有 x=，此时反函数为y=（ x2 ） . 当 x 1 时， y= x+1 2，且有 x= y+1， 此时反函数为y= x+1（ x 2） . f （ x）的反函数 f 1（ x） = 评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数 . 【例 3】已知函数 f（ x）是函数 y= 1（ xR ）的反函数，函数 g（ x）的图象与函数 y=的图象关于直线 y=x 1 成轴对称图形，记 F（ x） =f（ x） +g（ x） . （ 1）求 F（ x）的解析式及定义域 . （ 2）试问在函数 F（ x）的图象上是否存在这样两个不同点A、 B，使直线 AB 恰好与 y 轴垂直 ?若存在，求出 A、 B 两点坐标；若不存在，说明理由 . 解 ：（ 1）由 y= 1（ xR ），得 10x=， x=lg.f （ x） =lg（1 x 1） . 设 P（ x， y）是 g（ x）图象上的任意一点，则 P 关于直线y=x 1 的对称点 P 的坐标为（ 1+y， x 1） .由题设知点 P（ 1+y， x 1）在函数 y=的图象上， x 1=. 5 / 11 y= ，即 g（ x） =（ x 2） . F （ x） =f（ x） +g（ x） =lg+，其定义域为 x| 1 x 1. （ 2） f （ x） =lg=lg（ 1+）（ 1 x 1）是减函数， g（ x） =（ 1 x 1）也是减函数， F （ x）在（ 1， 1）上是减函数 . 故不存在这样两个不同点 A、 B，使直线 AB恰好与 y 轴垂直 . 评述：本题是一道综合题，解决第（ 2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了 . 深化拓展 若 F（ x）当 x a， b时是单调函数，则 F（ x）图象上任两点 A、 B 连线的斜率都不为零 . 闯关训练 夯实基础 1.（ XX年全国 ）函数 y=+1（ x1 ）的反函数是 =x2 2x+2（ x 1） =x2 2x+2（ x1 ） =x2 2x（ x 1） =x2 2x（ x1 ） 解析： y=+1（ x1 ） y1 ，反解 xx=（ y 1） 2+1x=y2 2y+2（ y1 ）， x、 y 互换 y=x2 2x+2（ x1 ） . 答案： B 2.（文）（ XX年全国 ，文 3）记函数 y=1+3 x 的反函数为y=g（ x），则 g（ 10）等于 1 6 / 11 解析： g（ 10）的值即为 10=1+3 x 中 x 的值 3 x=32， x= 2. 答案： B （理）（ XX 年全国 ，理 2）函数 y=e2x（ xR ）的反函数为 =2lnx（ x 0） =ln（ 2x）（ x 0） =lnx（ x 0） =ln（ 2x）（ x 0） 解析： y=e2x2x=lnyx=lny， x、 y 互换 y=lnx（ x 0） . 答案： c 3.（ XX 年北京， 5）函数 y=x2 2ax 3 在区间 1， 2上存在反函数的充要条件是 （ ， 1 2， + ） 1， 2 （ ， 1 2， + ） 解析：存在反函数的充要条件是函数在 1， 2上是单调函数 .a1 或 a2. 答案： D 4.（ XX 年福建， 7）已知函数 y=log2x 的反函数是 y=f 1（ x），则函数 y=f 1（ 1 x）的图象是 解析： y=log2xx=2yf 1（ x） =2xf 1（ 1 x） =21 x. 答案： c 5.若点（ 2，）既在函数 y 2ax b 的图象上，又在它的反函7 / 11 数的图象上，则 a=_， b=_. 解析： 点（ 2，）在函数 y 2ax b 的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系， 点（， 2）在函数 y 2ax b 的图象上 . 把点（ 2，）与（， 2）分别代入函数 y 2ax b 可得 . 答案： 6.（ XX年全国 ， 15）已知函数 y=f（ x）是奇函数，当 x0时， f（ x） =3x 1，设 f（ x）的反函数是 y=g（ x），则 g（8） =_. 解析：当 x 0 时， x 0， f（ x） =3 x 1.又 f （ x）是奇函数， f （ x） = f（ x），即 f（ x） =3 x 1.f（ x） =1 3 x. f （ x） =f 1（ x） = f 1（ 8） =g（ 8） = log3（ 1+8） = log332= 2. 答案： 2 培养能力 7.已知函数 f（ x） =的图象关于直线 y=x对称，求实数 m. 解： f （ x）的图象关于直线 y=x 对称，又点（ 5， 0）在 f（ x）的图象上， 点（ 0， 5）也在 f（ x）的图象上，即=5，得 m= 1. 8.已知函数 f（ x） =a+bx 1（ b 0， b1 ）的图象 经过点（ 1， 3），函数 f 1（ x+a）（ a 0）的图象经过点（ 4， 2），8 / 11 试求函数 f 1（ x）的表达式 . 解： 函数 f（ x） =a+bx 1（ b 0， b1 ）的图象经过点（ 1， 3）， a+b0=3 ， a=3 b0= 3 1=2.又函数 f 1（ x+a）（ a 0）的图象经过点（ 4， 2），f 1（ 4+a） =2. f （ 2） =4+a=4+2=6，即 2+b2 1=6.b=4. 故 f（ x） =2+4x 1.再求其反函数即得 f 1（ x） =log4（ x 2） +1（ x 2） . 9.已知函数 f（ x） =2（）（ a 0，且 a1 ） . （ 1）求函数 y=f（ x）的反函数 y=f 1（ x）； （ 2）判定 f 1（ x）的奇偶性； （ 3）解不等式 f 1（ x） 1. 解：（ 1）化简，得 f（ x） =.设 y=，则 ax=.x=loga. 所求反函数为 y=f 1（ x） =loga（ 1 x 1） . （ 2） f 1（ x） =loga=loga（） 1= loga= f 1（ x）， f 1（ x）是奇函数 . （ 3） loga 1. 当 a 1 时，原不等式 a 0. x 1. 当 0 a 1 时，原不等式解得 1 x . 综上，当 a 1 时，所求不等式的解集为（， 1）； 当 0 a 1 时，所求不等式的解集为（ 1，） . 探究创新 9 / 11 10.已知函数 f（ x） =（） 2（ x 1） . （ 1）求 f（ x）的反函数 f 1（ x）； （ 2）判定 f 1（ x）在其定义域内的单调性； （ 3）若不等式（ 1） f 1（ x） a（ a）对 x ，恒成立，求实数 a 的取值范围 . 解：（ 1）由 y=（） 2，得 x=. 又 y=（ 1） 2，且 x 1， 0 y 1.f 1（ x） =（ 0 x 1） . （ 2）设 0 x1 x2 1，则 0， 1 0， 1 0. f 1（ x1） f 1（ x2） = 0，即 f 1（ x1） f 1（ x2） . f 1（ x）在（ 0， 1）上是增函数 . （ 3）由题设有（ 1） a（ a） . 1+ a2 a，即（ 1+a） +1 a2 0 对 x ，恒成立 .显然 a 1.令 t=， x ， t ， . 则 g（ t） =（ 1+a） t+1 a2 0 对 t ，恒成立 . 由于 g（ t） =（ 1+a） t+1 a2是关于 t 的一次函数， g （） 0 且 g（） 0，即解得 1 a . 评述：本题（ 3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解 . 思悟小结 1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的10 / 11 值域 . 2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线 y x 对称 . 3.求 y f（ x）的反函数的一般步骤： （ 1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （ 2）由 y f（ x）的解析式求出 x f 1（ y）； （ 3）将 x、 y 对换，得反函数的习惯表达式 y f 1（ x） . 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成 . 教师下载中心 教学点睛 由于本节中的反函数的定 义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识： （ 1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数 . （ 2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域 . （ 3）由反函数定义知： b=f （ a） a=f 1（ b），这两个式子是 a、 b 之间关系的两种不同表示形式 . f f 1（ x） =x（ xc ） . f 1 f（ x） =x（ xA ） . 拓展题例 【例 1】（ XX年上海， 10）若函数 y=f（ x）的图象可由 y=lg11 / 11 （ x+1）的图象绕坐标原点 o 逆时针旋转得到，则 f（ x）等于 x 10 10x 解析：所求函数与 y=lg（ x+1）的反函数的