xx届高考数学第一轮数列的应用专项复习教案

1 / 13 XX 届高考数学第一轮数列的应用专项复习教案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 数列的应用 知识梳理 1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决 . 2.理解 “ 复利 ” 的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同 . 3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题 . 点击双基 1.已知 an是递增的数列，且对于任意 nN* ，都有an=n2+n 成立，则实数 的取值范围是 A. 0B. 0c.=0D. 3 解析：由题意知 an an+1恒成立，即 2n+1+ 0 恒成立，得 3. 答案： D 2.设 a1， a2， ， a50是从 1， 0， 1 这三个整数中取值的数列，若 a1+a2+a50=9 ，且（ a1+1） 2+（ a2+1） 2+ （ a50+1）2=107，则 a1， a2， ， a50中有 0 的个数为 2 / 13 解析：将已知的等式展开整理得 a12+a22+a32+a502=39 ，故此 50个数中有 11个数为 0. 答案： B 3.如下图， 它满足：（ 1）第 n 行首尾两数均为 n；（ 2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第 n 行（ n2 ）第 2 个数是_. 解析：设第 n 行的第 2 个数为 an，不难得出规律，则an+1=an+n，累加得 an=a1+1+2+3+ （ n 1） =. 答案： 4.已知 an=logn+1（ n+2）（ nN* ），观察下列运算a1a2=log23log34=2， a1a2a3a4a5a6=log23log34log67log78=3. 定义使 a1a2a3ak 为整数的 k （ kN* ）叫做企盼数 . 试确定当a1a2a3ak=XX 时，企盼数k=_. 解 析 ： 由3 / 13 a1a2ak=R 26;=log2 （ k+2） =XX，解之得 k=2XX 2. 答案： 2XX 2 典例剖析 【例 1】（ XX年春季上海， 20）某市 XX年底有住房面积 1200万平方米，计划从 XX年起，每年拆除 20万平方米的旧住房 .假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%. （ 1）分别求 XX年底和 XX年底的住房面积； （ 2）求 2024 年底的住房面积 .（计算结果以万平方米为单位，且精确到） 剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题 . 解 :（ 1） XX年底的住房面积为 1200（ 1+5%） 20=1240（万平方米）， XX年底的住房面积为 1200（ 1+5%） 2 20（ 1+5%） 20=1282（万平方米）， XX 年底的住房面积为 1240万平方米， XX年底的住房面积为 1282万平方米 . （ 2） 2024年底的住房面积为 1200（ 1+5%） 20 20（ 1+5%） 19 20（ 1+5%） 18 20（ 1+5%） 20 =1200（ 1+5%） 20 20 （万平方米）， 4 / 13 2024 年底的住房面积约为万平方米 . 评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给 出答案 . 【例 2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生 60100万难民，联合国难民署计划从 4月 1日起为伊难民运送食品 .第一天运送 1000t，第二天运送 1100t，以后每天都比前一天多运送 100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减 100t，连续运送 15天，总共运送 21300t，求在第几天达到运送食品的最大量 . 剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题 . 解：设在第 n 天达到运送食品的最大量 . 则前 n 天每天运送的食品量是首项为 1000，公差为 100 的等差数列 . an=1000+（ n 1） 100=100n+900. 其余每天运送的食品量是首项为 100n+800，公差为 100的等差数列 . 依题意，得 1000n+100+ （ 100n+800）（ 15 n） + （ 100） =21300（ 1n15 ） . 整理化简得 n2 31n+198=0.解得 n=9 或 22（不合题意，舍去） . 答：在第 9 天达到运送食品的最大量 . 5 / 13 评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题 . 【例 3】 2002年底某县的绿化面积占全县总面积的 40%，从XX 年开始，计划每年将非绿化面积的 8%绿 化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的 2%被非绿化 . （ 1）设该县的总面积为 1， 2002 年底绿化面积为 a1=，经过 n 年后绿化的面积为 an+1，试用 an表示 an+1； （ 2）求数列 an的第 n+1项 an+1； （ 3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过 60%.（ lg2=，lg3=） 剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积 . 解：（ 1）设现有非绿化面积为 b1，经过 n 年后非绿化面积为 bn+1. 于是 a1+b1=1， an+bn=1. 依题意， an+1 是由两部分组成，一部分是 原有的绿化面积an减去被非绿化部分 an后剩余的面积 an，另一部分是新绿化的面积 bn，于是 an+1=an+bn=an+（ 1 an） =an+. （ 2） an+1=an+， an+1 =（ an） . 数列 an 是公比为，首项 a1 = =的等比数列 . an+1=+ （）（） n. （ 3） an+1 60%， +（）（） n，（） n， n（ lg9 1）6 / 13 lg2， n 至少需要 7 年，绿化率才能超过 60%. 思考讨论 你知道他是怎么想出 an 中的来的吗？ 闯关训练 夯实基础 1.某林厂年 初有森林木材存量 Sm3，木材以每年 25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量 xm3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加 50%，则 x 的值是 解析：一次砍伐后木材的存量为 S（ 1+25%） x； 二次砍伐后木材存量为 S（ 1+25%） x（ 1+25%） x. 由题意知（） 2S x x=S（ 1+50%）， 解得 x=. 答案： c 2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第 n 层与第 n+1层花盆总数分别为 f（ n）和 f（ n+1），则 f（ n）与 f（ n+1）的关 系为 （ n+1） f（ n） =n+（ n+1） f（ n） =n （ n+1） =f（ n） +（ n+1） f（ n） =1 答案： A 3.从 2002 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元7 / 13 定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 XX 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为 _万元 . 解析：存款从后向前考虑 （ 1+p） +（ 1+p） 2+ （ 1+p） 5 =（ 1+p） 7（ 1+p） . 注： XX年不再存款 . 答案：（ 1+p） 7 （ 1+p） 4.某工厂去年产值为 a，计划在今后 5 年内每年比上年产值增加 10%，则从今年起到第 5 年，这个厂的总产值为_. 解析：每年的总产值构成以 a（ 1+10%） =为首项，公比为的等比数列， S5=11 （ 1） a. 答案： 11 （ 1） a 5.从盛满 aL（ a 1）纯酒精容器里倒出 1L，然后再用水填满，再倒出 1L 混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精 . 解：每次用水填满后酒精浓度依次为，（） 2，（） 3， ， 故每次倒出的纯酒精为 1，（） 2， ，（） n 1， . 第九、十两次共倒出的纯酒精为 8 / 13 （） 8（） 9（） 8（ 1） . 培养能力 6.已知直线 l 上有一列点 P1（ x1， y1）， P2（ x2， y2）， ，Pn（ xn， yn）， ，其中 nN* ， x1=1， x2=2，点 Pn+2 分有向线段所成的比为 （ 1） . （ 1）写出 xn+2与 xn+1， xn之间的关系式； （ 2）设 an=xn+1 xn，求数列 an的通项公式 . 解：（ 1）由定比分点坐标公式得 xn+2=. （ 2） a1=x2 x1=1， an+1=xn+2 xn+1= xn+1=（ xn+1 xn） = an， = ，即 an是以 a1=1为首项，为公比的等比数列 . an= （） n 1. 7.（ 2002年春季北京， 21）已知点的序列 An（ xn， 0）， n *，其中 xl 0， x2 a（ a 0）， A3是线段 AlA2的中点，A4是线段 A2A3的中点， ， An是线段 An 2An 1的中点， . （ 1）写出 xn 与 xn 1、 xn 2 之间的关系式（ n ）； （ 2）设 an xn 1 xn，计算 al， a2， a3，由此推测数列 an的通项公式，并加以证明 . 解：（ 1）当 n3 时， xn=. （ 2） a1=x2 x1=a， a2=x3 x2= x2=（ x2 x1） = a， a3=x4 x3= x3=（ x3 x2） =（ a） =a， 9 / 13 由此推测： an=（） n 1a（ nN* ） . 证明如下：因为 a1=a 0，且 an=xn+1 xn= xn=（ xn xn 1） = an 1（ n2 ），所以 an=（） n 1a. 探究创新 8.（ XX年春季北京， 20）下表给出一个 “ 等差数阵 ” ： 47（）（）（） a1j 712（）（）（） a2j （）（）（）（）（） a3j （）（）（）（）（） a4j ai1ai2ai3ai4ai5aij 其中每行、每列都是等差数列， aij表示位于第 i 行第 j 列的数 . （ 1）写出 a45 的值； （ 2）写出 aij 的计算公式； （ 3）证明：正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1可以分解成两个不是 1 的正整数之积 . （ 1）解： a45=49. （ 2）解：该等差数阵的第一行是首项为 4，公差为 3 的等差数列： a1j=4+3（ j 1）， 第二行是首项为 7，公差为 5 的等差数列： a2j=7+5（ j 1）， 10 / 13 第 i 行是首项为 4+3（ i 1），公差为 2i+1的等差数列， 因此 aij=4+3（ i 1） +（ 2i+1）（ j 1） =2ij+i+j=i（ 2j+1）+j. （ 3）证明：必要性：若 N 在该等差数阵中，则存在正整数i、 j 使得 N=i（ 2j+1） +j， 从而 2N+1=2i（ 2j+1） +2j+1=（ 2i+1）（ 2j+1）， 即正整数 2N+1可以分解成两个不是 1 的正整数之积 . 充分性：若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积，由于 2N+1 是奇数，则它必为两个不是 1 的奇数之积，即存在正整数 k、 l，使得 2N+1=（ 2k+1）（ 2l+1）， 从而 N=k（ 2l+1） +l=akl， 可见 N 在该等差数阵中 . 综上所述，正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积 . 思悟小结 1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题 . 2.将实际问题转化为数列问题时应注意： （ 1）分清是等差数列还是等比数列； （ 2）分清是求 an还是求 Sn，特别要准确地确定项数 n. 11 / 13 3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式 等知识相互联系和渗透 . 教师下载中心 教学点睛 1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养学生的转化意识 . 2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样 . 3.“ 等额还款方式 ” 采用 “ 双向储蓄 ” 的方法比较简便 . 4.强化转化思想、方程思想的应用 . 拓展题例 【例 1】杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入 98万元引进世界先进设备奔腾 6 号，并马上投入生产 .第一年需要的各种费用是 12 万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加 4 万元，而每年因引入该设备 可获得的年利润为 50万元 . 请你根据以上数据，解决下列问题： （ 1）引进该设备多少年后，开始盈利？ （ 2）引进该设备若干年后，有两种处理方案： 第一种：年平均盈利达到最大值时，以 26万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时，以 8 万元的价格卖出 . 问哪种方案较为合算？并说明理由 . 12 / 13 解：（ 1）设引进设备 n 年后开始盈利，盈利为 y 万元，则y=50n（ 12n+4 ） 98= 2n2+40n 98，由 y 0，得 10 n 10+. nN* ， 3n17 ， 即 3 年后开始盈利 . （ 2）方案 一：年平均盈利为， = 2n +40 2+40=12， 当且仅当 2n=，即 n=7 时，年平均利润最大，共盈利127+26=110 万元 . 方案二：盈利总额 y= 2（ n 10） 2+102， n=10时， y 取最大值 102， 即经过 10年盈利总额最大， 共计盈利 102+8=110 万元 . 两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算 . 【例 2】据某城市 2002 年末所作的统计资料显示，到 2002年末，该城市堆积的垃圾已达 50 万吨，侵占了大量的土