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1 / 4 XX 届高考数学第二轮备考复习：含参数不等式的恒成立问题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 题型十 含参数不等式的恒成立问题 (推荐时间： 30 分钟 ) 1已知函数 f(x) x3 3ax2 9a2x a3. (1)设 a 1，求函数 f(x)的极值； (2)若 a14，且当 x1,4a 时， |f(x)|12a 恒成立，试确定 a 的取值范围 2 (XX湖北 )设函数 f(x) x3 2ax2 bx a， g(x) x2 3x 2，其中 xR ， a、 b 为常数，已知 曲线 y f(x)与 y g(x)在点 (2,0)处有相同的切线 l. (1)求 a、 b 的值，并写出切线 l 的方程； (2)若方程 f(x) g(x) mx 有三个互不相同的实根 0、 x1、x2，其中 x1x2，且对任意的 xx1 ， x2， f(x)g(x)m(x 1)恒成立，求实数 m 的取值范围 答案 1解 (1)当 a 1 时，对函数 f(x)求导数，得 f(x) 3x2 6x 9. 令 f(x) 0，解得 x1 1， x2 3. 列表讨论 f(x)、 f(x) 的变化情况： 2 / 4 x( ， 1) 1( 1， 3)3(3， ) f(x) 0 0 f(x) 极大值 6 极小值 26 所以 f(x)的极大值是 f( 1) 6，极小值是 f(3)26. (2)f(x) 3x2 6ax 9a2 的图象是一条开口向上的抛物线，关于直线 x a 对称 若 141，则 |f(a)| 12a212a，故当 x1,4a 时|f(x)|12a 不恒成立 所以使 |f(x)|12a(x1,4a) 恒成立的 a 的取值范围3 / 4 是 14， 45. 2解 (1)f(x) 3x2 4ax b， g(x) 2x 3. 由于曲线 y f(x)与 y g(x)在点 (2,0)处有相同的切线， 故有 f(2) g(2) 0， f(2) g(2) 1， 由此得 8 8a 2b a 0， 12 8a b 1， 解得 a 2，b 5. 所以切线 l 的方程为 x y 2 0. (2)由 (1)得 f(x) x3 4x2 5x 2， 所以 f(x) g(x) x3 3x2 2x. 依题意，方程 x(x2 3x 2 m) 0 有三个互不相同的实根0、 x1、 x2，故 x1、 x2 是方程 x2 3x 2 m 0 的两相异的实根，所以 9 4(2 m)0，即 m 14. 又对任意的 xx1 ， x2， f(x) g(x)m(x 1)恒成立， 特别地，取 x x1 时， f(x1) g(x1) mx1 m 恒成立，得 m0， x1x2 2 m0.故 0x10， 所以 f(x) g(x) mx x(x x1)(x x2)0. 又 f(x1) g(x1) mx1 0， 所以函数 f(x) g(x) mx 在 xx1 ， x2上的最大值为 0. 于是当 m
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