硕士学位论文-群体决策的理性条件和不完全信息群体多属性决策研究.pdf

分 类 号： O22 UDC： 510 学 号： 40430 密级： 公开 温州大学 硕硕 士士 学学 位位 论论 文文 群体决策的理性条件和不完全信息 群体多属性决策研究 群体决策的理性条件和不完全信息 群体多属性决策研究 作 者 姓 名： 学科、专业 ： 应 用 数 学 应 用 数 学 研 究 方 向： 优化理论与应用 优化理论与应用 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2007 年 3 月2007 年 3 月 温州大学学位委员会 温 州 大 学 学 位 论 文 独 创 性 声 明 温 州 大 学 学 位 论 文 独 创 性 声 明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果， 也不包含为获得温州大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 论文作者签名： 日期： 年 月 日 温 州 大 学 学 位 论 文 使 用 授 权 声 明 温 州 大 学 学 位 论 文 使 用 授 权 声 明 本人完全了解温州大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。 本人授权温州大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。本人在导师指导下完成的论文成果，知识产权归属温州大学。 保密论文在解密后遵守此规定。 论文作者签名： 导师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 群体决策的理性条件和不完全信息 群体多属性决策研究 摘摘 要要 群体决策是运筹学和决策科学中应用广泛的学科分支。群体决策 研究如何集结各决策者偏爱来构造群体偏爱， 并按照问题的属性对供 选方案进行群体偏爱排序或选优。 群体决策理论和方法的研究涉及到 现代逻辑、序数理论、概率统计以及各种最优化理论和方法，它的应 用遍及社会选择、福利经济、政治协商以及文体和军事决策等领域。 本文主要研究成果可归结为： （1）提出了基数型群体偏爱映射新 的理性条件，并且分别证明了群体惩罚评分映射（方法）和群体偏比 映射（方法）满足以上条件； （2）研究了不完全信息的群体多属性决 策问题的各决策者权重信息的集结方法； （3）利用最优化方法研究了 非球对称大气模式的弯曲角二维射线追踪算子，并对四阶 Runge-Kutta 法的积分步长做了测试和调整，使掩星数据变分同化获 得较高的计算效率。 关键词关键词 群体决策，不完全信息，变分同化 I RESEARCH ON RATIONAL CONDITIONS OF GROUP DECISION-MAKING AND INCOMPLETE INFORMATION GROUP DECISION-MAKING ABSTRACT ABSTRACT Group decision-making and multicriteria decision-making are important branches of operational research and decision-making science with broad application. Group decision-making studies aggregating methods from individual preferences to group preference, by which all alternatives of group decision-making problem could be ordered. Its theories and methods involve modern logic theory, ordinal theory, probability and statistics theory, and various methods in optimization theory. The application of group decision-making theory extends to social choice, welfare economics, political bargain, physical game and military decision-making. This thesis presents the following three aspects of results: (1) Some new conditions of rationality for cardinal group decision-making preference mapping are introduced and that group penalty-mark-mapping and group preference-ratio-mapping are proved to satisfy these conditions; (2) The methods of aggregating the weights of decision-makers for group multicriteria decision-making problem with incomplete information are studied, and a new interactive preference-strength method for solving group multicriteria decision-making problems with incomplete information is established; (3) By using optimization methods, a 2-D ray-tracing mapping operator for bending angle in an asymmetric atmosphere is studied, and the step length of 4 rank Runge-Kutta method is tested and adjusted reasonably, so that higher computing efficiency of occultation data variational assimilation may be achieved. Key Words: group decision-making, incomplete information, variational assimilation II 目 录 目 录 摘要摘要I Abstract.II 第一章 绪言第一章 绪言.1 1.1 群体决策研究概况.1 1.2 不完全信息的群体多属性决策综述.3 1.3 最优在掩星数据变分同化技术中的应用.4 第二章 群体决策的若干理性条件第二章 群体决策的若干理性条件.6 2.1 群体惩罚评分映射 6 2.2 群体惩罚评分映射的理性检验 7 2.3 偏比度和群体偏比映射 12 2.4 群体偏比映射新的理性条件 13 第三章 不完全信息的群体多属性决策第三章 不完全信息的群体多属性决策.18 3.1 不完全信息的群体多属性决策问题. 18 3.2 不完全信息的群体多属性决策的相关概念. 19 3.3 专家权重不完全信息的集结. 20 3.4 案例分析. 22 第四章 最优在掩星数据变分同化技术中的应用第四章 最优在掩星数据变分同化技术中的应用 25 4.1 数据变分同化的历史 25 4.2 掩星数据变分同化技术 26 4.3 非对称大气模式下的二维射线追踪算子 27 III 4、 4 二维射线追踪算子与1-D弯曲角Abel积分算子的比较. 29 4、 5 非对称大气的Abel变换误差 30 4、 6 Runge-Kutta法的积分步长测试. 31 参考文献参考文献33 致谢致谢37 攻读学位期间发表的学术论文及参加的课题目录攻读学位期间发表的学术论文及参加的课题目录39 IV 温州大学硕士学位论文 第一章 绪 言 决策是人类的基本活动之一。自从人类有了有意识的活动，就要对各种需要 抉择的问题作出决策， 以谋求好的结果。 决策科学是研究人类抉择的思维和结构， 依据一定的目标，运用科学方法，从多个供选方案中选出在某意义下的“最优” 方案，并组织实施的科学。由于决策中客观因素的复杂性、信息的不充分性、时 间的紧迫性及决策者主观因素的局限性都会直接影响决策的正确性。因此，以提 高决策合理性和有效性为目的的决策理论和方法的研究就显得非常重要。 尽管人类的决策活动已有悠久的历史， 但是决策成为一个专门研究领域只是 近一两个世纪的事情。1966 年，Howard 在第四届国际运筹学大会上正式提出了 “决策分析”的名称之后，决策分析的研究范围日益扩大，从单准则问题扩展为 多准则问题，从单个决策者扩展到多个决策者组成的领导集体，从一次制定扩展 到多次序贯制定决策，从一般决策推广到模糊决策，形成了一个生气勃勃的研究 领域。特别是 20 世纪 80 年代以来，随着计算机技术的发展，产生了决策支持系 统这一新的研究方向，许多大型的决策优化问题在计算机的帮助下得到了解决。 决策科学的理论研究和应用研究都取得了巨大的进展。 本章分三节，第一节和第二节分别综述了群体决策（包括不完全信息群体多 属性决策）的发展概况和前沿研究动态。第三节对掩星数据的变分同化技术以及 观测算子做了简介。 1.1 群体决策研究概况 群体决策研究如何集结决策个体偏爱来构造群体偏爱关系， 并按照问题的属 性对供选方案进行排序或选优。它的理论和方法建立在数学、经济学、社会学、 心理学等众多学科的基础之上，并且在政治、经济、文化、军事等方面具有广泛 的指导意义和应用价值。第二次世界大战后，随着社会的进步和经济的发展，政 治民主化、经济市场化、军事现代化、竞技科学化等进程的步伐加大，促使群体 决策的思想和方法获得更快的发展，形成了群体决策的基本理论框架。 群体决策问题的早期研究， 可以追溯到法国数学家Borda于 1781 年发表的关 于选举制度的探索1 2 、1785 年de Condorcet对投票选举的研究以及 1882 年 Nanson关于投票悖论的讨论3。 群体决策的研究与西方国家中福利经济学的发展 有着密切的关系，1938 年，Bergson引进社会福利函数4，1947 年Samuelson对社 会福利函数进行研究5，使得群体决策的研究更系统化和理论化。尤其是 1951 1 温州大学硕士学位论文 年，Nobel奖获得者Arrow提出了著名的不可能性定理6：在一组看似非常合理的 公理和条件下，并不存在集结社会各成员偏爱的社会福利函数，这一结果为群体 决策的形成奠定了重要的理论基础。 此后， A.K.Sen等许多学者对Arrow不可能性 定理进行了探讨7-9，并提出各种变化形式，使群体偏爱理论的研究进入一个更 深的层次。 当许多学者尤其是经济学家们为完善和发展社会选择理论而探索时， Keeney于 1976 年10，Dyer和Surlin于 1979 年11率先意识到Arrow不可能性定理 成立的原因在于，该社会选择理论忽视了决策个体偏爱强度, 从而建立了偏爱强 度的概念，开始把偏爱从序数意义推广到基数意义。将群体决策结合应用于解决 多目标问题，使群体决策的研究不再囿于投票选举，也使群体决策研究的对象不 仅仅是有限个供选方案，并可以是无限个供选方案的更一般情形。这标志着群体 决策的理论研究开始突破社会选择理论的框架，向更深、更广的方向发展。 群体偏爱分析是群体决策研究的理论基础， 它主要研究个体偏爱集结为群体 偏爱对应的映射所满足的条件，即群体决策的公理体系，以及这种映射的存在性 问题。关于群体偏爱分析，值得提出的是，Sen发展了Arrow的理论，特别是引 入了选择函数，将Arrow社会福利函数存在性的不可能性结果发展为社会决定函 数存在的可能性结果，使集体选择和社会福利的研究取得了突破性的进展12。 在决策者提供各方案的偏爱强度时，对有限个供选方案的条件下，Sen给出存在 偏爱映射满足相应公理系的结果。 20 世纪 90 年代以来，胡毓达等开拓了基数型群体决策的研究，提出了偏差 度、偏比度和惩罚评分等一系列基数型群体决策的概念和方法，构建了相应的公 理体系，给出了群体偏爱排序的方法13,14。胡毓达等人的公理体系包含了用序数 偏爱关系描述的Arrow公理体系，但与Arrow不可能性定理的结果不同之处是， 在引入基数型偏爱泛函的情况下， 用基数偏爱精细刻画出决策个体和决策群体关 于供选方案对之间的偏爱差异， 证明了满足所有相应偏爱公理的群体偏爱映射是 存在的。这些工作是传统社会选择理论向现代群体决策理论发展的重要成果。 本文在第二章中推广了K.O.May和A.K.Sen的序数型的理性条件12,15，给出 基数型的匿名性、中立性、正响应性、非负响应性、强Pareto原则以及局部非独 裁性等条件，并且证明了群体惩罚评分映射和群体偏比映射满足上述条件。 1.2 不完全信息群体多属性决策综述 决策分析研究决策者根据供选方案的信息， 采用各种决策方法对供选方案进 行排序与择优。决策分析的大多数方法要求决策者预先提供决策参数（如属性权 重、状态概率）的准确值，虽然有一些方法可以帮助决策者估计这些参数，但在 一些实际问题中，要获得决策参数的真值通常是不可能的；例如应用主观期望效 2 温州大学硕士学位论文 用理论进行决策时，决策者必须事先精确估计状态的概率分布，而且还要构造出 效用函数；这些要求在实际问题中往往是不容易达到的。一般来说，由于决策者 时间紧张、知识或数据缺乏，或者许多方案的属性有时难以确定和量化，或者在 群体决策的背景下， 并不是所有的决策者对于问题都有相同的经验、 知识和偏好， 因此在确定参数值时，意见难以统一，经常只能提供决策参数的不完全信息。通 常， 把这样一类参数信息不能完全确定的决策问题称为不完全信息下的多属性决 策问题。 自从著名的经济学家、 诺贝尔奖金获得者 Fishburn 首次开始这一问题的 研究后，经过多年的探索，该领域取得了大量的理论和应用成果。事实表明：不 完全信息群体多属性决策理论与方法的研究是一项在理论上和实际上都有意义 的工作。 关于不完全信息下的多属性决策问题， 根据属性的层次结构以及参加决策的 人数，可将决策方法划分为单人单层次、群体单层次、群体多层次等类型。20 世纪 80 到 90 年代，许多学者对单人单层次类型进行了比较全面系统的研究、总 结和评述。随着科学技术和生产的发展，社会、经济和生活中的许多决策问题变 得越来越复杂，单个决策者很难考虑问题的所有相关方面。为减少决策的失误， 很多企业和组织都要雇佣专家团体来共同研究决定。 单个决策者背景向群体决策 者背景的转变，使决策分析变得更加复杂，所以关于不完全信息的群体多属性决 策的研究也日益得到重视。Salo于 1995 年提出了一个集结群体成员偏爱信息的 交互决策方法17，它将决策者提供的偏爱信息转化为边际效用的约束，提出了 强、弱两种优势关系，而且在弱优势的情况下，将结果反馈给群体成员，要求他 们提供更多的偏爱信息，用于进一步分析。Kim和Ahn分别于 1997 年和 1999 年 提出了一个基于偏好强度的群体决策模型17,18。在这个模型中，决策者不能提供 属性权重、方案的边际效用和决策者的重要权重的准确值，只能以线性不等式形 式给出它们的不完全信息，这些不完全给定的信息构成了线性约束的可行域，使 得检验方案之间的优势关系转化为求解多个线性规划。文1718提出了两种方 法：利用每个决策者的优化结果，得到群体的一致意见。 Kim等人于 1999 年提 出了一个交互式决策过程19,20，它的主要特点为： （1）每位决策者可以给出参数 的不完全信息； （2）用区间形式表示效用信息。效用区间是通过求解线性规划得 来的，这种表示方法便于对决策者之间的效用信息进行比较和效用信息的集成； （3）它可以帮助每个决策者修改他的效用信息； （4）建立了检验成对优势关系 的理论模型。特别指出的是：Kim和Han提出了一个交互式决策过程，来集结每 个决策者给出的不完全信息21。当效用、属性权重和决策者重要性权重不完全 给定时，通过求解一系列的线性规划问题，建立方案之间的严格优势关系。在决 策者不能提供更多的信息时，使用弱优势作为最后的决策工具，为了帮助每个决 策者表达对方案的偏爱信息，Kim和Han21提出了一个能反映方案之间偏爱程度 的概率测度。 在国内，多属性决策问题研究领域也取得了一定的成果，关于不完全信息下 3 温州大学硕士学位论文 群体决策的研究近年来取得了一定的进展22-25。徐泽水于 2002 年提出了一种部 分权重信息下对方案有偏好的多属性决策方法22；廖貅武和唐焕文于 2002 年提 出了基于不完全信息的一种群决策方法23。洪振杰和毛传挺研究在各决策者给 出属性权重信息有冲突的情况下个体属性权重信息的集结问题， 提出了一种群体 多属性决策的属性权重不完全信息的集结方法24。徐徐等在不完全信息下，通 过构造属性值区间和规范化矩阵,将问题归结为求解相应的线性规划问题，从而 求出方案优值25。 本文第三章研究了在不完全信息的群体多属性决策中， 各决策者权重信息的 集结问题， 即在专家权重不完全确定的假设下， 根据专家提供的各种不完全信息， 用系统聚类分析原理集结专家权重系数。 1.3 最优在掩星数据变分同化技术中的应用 最优化理论是一个重要的数学分支，也是一门实用性很强的学科，它不仅在 科学、国防、工程、交通、管理、经济、金融和计算机等领域的决策问题中有广 泛的应用，并且在科学研究的估计理论中起重要作用。变分同化方法在气象、大 气、空间环境等学科的成功应用就是最好的例子之一。 本文讨论的掩星数据同化研究：如何把气象数值模式（如 ECMWF 或 CEP） 引入到 GPS（Global Positioning System，全球定位系统）/LEO（Low Earth Orbit， 低地球轨道卫星）的掩星观测数据中，反演最优的气象参数廓线（profile）的一 种估计技术。这种掩星观测数据同化技术也是一种最优估计问题。变分同化通常 指的是把最优估计问题转化为泛函极值问题， 再通过最优化算法近似求解泛函极 值。当前，变分法已成为数据同化方法的主流之一。 随着卫星观测进入气象、海洋的研究领域，各种非常规观测类型数据的迅速 增加，大气数值模式也在不断发展，如何把各种类型的观测数据用于大气数值模 式中是一个气象学和气候分析中不容回避的问题。 因此大气数据同化技术在大气 科学中受到更大的关注，成为一个重要的研究课题：三维变分同化和四维变分同 化技术。本文并不涉及气象学和大气科学中的三维变分同化和四维变分同化，仅 为三维变分同化和四维变分同化技术提供 GPS/LEO 掩星观测算子。 目前， GPS/LEO掩星观测数据一维变分同化反演技术已成为国际上GPS气象 学上一个新的研究热点。GPS无线电信号在穿透大气过程中会产生延迟。装载在 LEO卫星上的GPS信号接收机，能接收穿透地球大气后（掩星状态）的GPS卫星 的无线电信号，同时进行精确的载波相位和振幅测量。用掩星观测资料，加上 GPS和LEO卫星的精密星历，就能够反演高精度、高分辨率的折射角和折射率廓 线；然后进一步获得温度、压强、湿度等大气参数廓线26。GPS/LEO掩星是一 4 温州大学硕士学位论文 种与常规大气探测手段，如探空气球、气象雷达等，完全不相同的观测技术。把 它与传统的大气层遥感和地球表面大气观测量相结合， 是气象部门的一个具有潜 在价值的技术革命。在技术上，GPS/LEO掩星观测具有全球覆盖、准实时、全天 候、高精度、高垂直分辨率、低成本、自校正，而且具有长期稳定性、人类不用 登上观测点等优点， 对长周期、 高精度大气和电离层的探测更具广阔的应用前景， 在气象服务、气候变化、大气科学、空间环境、灾害天气监测等领域具有广泛的 应用价值。 在GPS/LEO掩星观测反演地球大气的标准算法中27，存在温度和湿度廓线 的模糊度问题。利用全球或局部大气预报模型（如ECMWF或CEP） ，通过一维同 化反演技术，可以同时获得大气温度和湿度廓线的最优估计。 在大气球对称假设下，可以从弯曲角观测资料通过 Abel 积分变换反演得到 折射率廓线，而由于低层大气的折射率水平不均匀性，导致 Abel 反演在近地面 的误差可能达到 10。避免该误差的一种有效方法就是不采用 Abel 反演，直接 将弯曲角同化到数值天气预报模式中。 本文第四章研究了一种非球对称大气模式 的弯曲角二维射线追踪算子， 通过模拟计算检验了折射率水平不均匀性所产生的 误差，并对四阶 Runge-Kutta 法的积分步长做了测试。结果表明：在误差允许的 范围内， 合理调整积分步长可以使计算机机时比步长调整之前减少大约一个数量 级，从而获得较高的计算效率。 5 温州大学硕士学位论文 第二章 群体决策的若干理性条件 本章讨论了基数型群体决策的一些新的理性条件和它们的检验问题。分别具 体给出了群体惩罚评分映射和群体偏比映射的匿名性、中立性、正响应性、非负 响应性、强Pareto原则以及局部非独裁性等 6 个理性条件，并且分别证明了它们 满足所有这些条件28,29。 2.1 群体惩罚评分映射 10 对于群体决策中的Arrow不可能性定理，R.L.Keeney 以及J.S.Dyer和 R.K.Surlin11认为其成立的主要原因是忽略了对偏爱强度的考虑。于是，先后建 立了群体效用公理，引进了偏爱强度的概念，并将序数意义下的偏爱推广到基数 意义下的偏爱。然而，在许多实际的群体决策中，由于常常要求各决策者对供选 方案进行直接评分，而不仅仅是提供对两两方案间偏爱强度的判断。对此，为了 防止和纠正各决策者在决策评分中的不公正现象，胡毓达于 2002 年提出了惩罚 评分数，惩罚评分泛函以及惩罚评分映射等概念，并在研究了惩罚评分映射的基 本性质的基础上13，构造了一类群体惩罚评分方法。本节介绍该惩罚评分映射。 s xxX, 1 L，=()2s设有供选方案集，)2, 1(=llrDMrL是第 个决策个 体，是决策群体。又设、和依次是在 r X, 1l DMDMGL= r R r P r I r DM上的偏 爱、严格偏爱和淡漠,并且由() rr IP，R PI r R rrr IPR=； ,生成，记作和依次 是G在由()IP，XRIPR=。 上的偏爱、严格偏爱和淡漠，并且生成，记作 ( )dxar, 0()lr, 1L=定义 2-113 设，Xx0 dD是关于 r DMx的 评分数，并且。若( )Dxa s i i r = =1 是d, 0( )()xar上的有界不恒为零的非负实值函 数，满足对任意的有 Xxx ji ， ( )() ( )( )() ( ) j r ij r j r i r i r xPxxaxaxaxa1）， 6 温州大学硕士学位论文 ( )() ( )( )() ( ) j r ij r j r i r i r xIxxaxaxaxa=2）， 则称是的惩罚评分因子，( )()xar( )xar( )()xar( )xar是关于 r DMx的个体惩罚 评分数，并且称 ( )( )() ( = = l r rr xaxa l xA 1 1 ) 是G关于x的群体惩罚评分数。 定义2-213 设，( )()xar( )xar()lr, 1L=Xx是关于 r DMx的个体惩罚评 分数，是G关于( )xAx的群体惩罚评分数。 ( )() ( )xaxaxRX rrr a，：X1）映射称为是在 r DM上的个体惩罚评分 泛函。 ( )xAxRXAa，：X2）映射称为是在G上的群体惩罚评分泛函。 称到的映射为G在AX l , 1 L上的群体惩罚评分映射。 定义2-313 设是在()X上的个体惩罚评分泛函，A是G在lr, 1L= r DM r X上的群体惩罚评分泛函。对任意的定 Xxx ji ，规 ( )( ) jiji PxxxAxA1）， ( )( ) jiji IxxxAxA=， 2） IPR=是由确定的。 A则称 2.2 群体惩罚评分映射的理性检验 文13中曾提出与群体惩罚评分方法相对应的群体惩罚评分映射满足5个理 性条件。本节进一步给出与K.O.May和A.K.Sen关于序数型的匿名性、中立性、 正响应性、非负响应性、强Pareto原则以及局部非独裁性等条件12,15相应的6个 基数型理性条件，并且证明了惩罚评分映射满足所有的这些条件28。 ( )()xar( )xar()lr, 1L=AX定理2-1（匿名性） 设到的映射为在G上的 群体惩罚评分映射是关于 r DMXx的个体惩罚评分数，是的任一 l rr, 1 Ll , 1L 7 温州大学硕士学位论文 排列， 和( )xAxRXAa，：，：RXA( )( ) ()( ) 1 1 kk l rr k xA xaxax l = = a是 在 R PIAX上的群体惩罚评分泛函，R=IPAG=确定，则 和分别由和 jiji xRxRxxXxx ji ， 。 ( )()( )()( )()()() 11 11 kkkk ll ijiij rrrr kk A xA xaxaxaxax ll = = j 证明 因为 ( )()( )()()() 1 1 kkkk l iij rrrr k axaxaxax l = = j () () ()() () () 1 1 l iijj rrrr r axaxaxax l = = ( )( ) ji xAxA= ， ( )( )( )( )00 jiji xAxAxAxA。 于是， 由定义2-3得。 jiji xRxRxx所以 这一定理表明，群体惩罚评分映射对决策者是无偏见的, 即满足匿名性条 件。 ( )() ( )xaxa rr ( )() ( )xaxa rr 定理2-2（中立性） 设和是关于 的两次个体惩罚评分数， ()lr, 1L= r DM ( )() ( = l r rr xaxa l 1 1 )( )=xAxRXAa，：Xx和 ，：RXA( )( )()( ) 1 1 l rr r xA xaxax l = = aX是G在上的两个群体惩罚评分泛 函，R = R P I A IP和=分别由和A确定。又设，若对任 意的有 Xxxxx qpji , lr,1L， ()()()()( )() ( )( )() ( ) j r j r i r i r q r q r p r p r xaxaxaxaxaxaxaxa= ， 则 qpji xRxRxx， 。 pqij xRxRxx ()()()()()() = = l r q r q r p r p r qp xaxaxaxa l xAxA 1 1 证明 因为 ( )() ( )( )() ( )( )( ) ji l r j r j r i r i r xAxAxaxaxaxa l = =1 1 ， 8 温州大学硕士学位论文 ()()( )( )00 jiqp xAxAxAxA。 于 是 ， 由 定 义2-3， 得 。同理可以得到。 所 以 jiqp RxxxRx ijpq RxxxRx i x j x上述定理说明，若每个决策者对一次评分中方案和的关系与另一次评 分中方案 p x q x i x j x p x q x和的关系相同， 则群体在两次评分中对和的关系与对和 的关系也完全相同, 即惩罚评分映射满足中立性条件。 ( )() ( )xaxa rr ( )() ( )xaxa rr 定理2-3（正响应性） 设和是关 于的两次个体惩罚评分数， ()lr, 1L= r DM ( )() ( = l r rr xaxa l 1 1 )( )=xAxRXAa，：Xx和 ，：RXA( )( )()( ) 1 1 l rr r xA xaxax l = = aX是G在上的两个群体惩罚评分泛 函，1,rlL，IPR=PAIPR=A有 和分别由和确定。若对任意的 ( )( )( )( )( )() ( )( )() ( ) j r j r i r i r j r j r i r i r xaxaxaxaxaxaxaxa ，并且 其中至少有一个是严格不等式，则 jiji xPxRxxXxx ji ， 。 ( )( )( )( )( )( ) = = l r j r j r i r i r ji xaxaxaxa l xAxA 1 1 证明 因为 ( )() ( )( )() ( )( )( ) ji l r j r j r i r i r xAxAxaxaxaxa l = =1 1 ， ()()()() 0 ijij A xA xA xA x所以0。由定义2-3，即得 。 jiji xPxRxx 这一定理表明，对于任意两供选方案来说，当它们前后两次个体惩罚评分数 之间的差距增大时，它们之间的群体偏爱关系将得到加强, 即惩罚评分映射满足 正响应性条件。 ( )() ( )xaxa rr ( )() ( )xaxa rr ()lr, 1L= r DM定理2-4（非负响应性） 设和是 关于的两次个体惩罚评分数，( )() ( = l r rr xaxa l 1 1 )( )=xAxRXAa，：Xx和 ，：RXA( )( )()( ) 1 1 l rr r xA xaxax l = = aX是G在上的两个群体惩罚评分泛 9 温州大学硕士学位论文 1,rlL，IPR = A IPR=函，和分别由和A有 确定。若对任意的 ( )( )( )( )( )() ( )( )() ( j r j r i r i r j r j r i r i r xaxaxaxaxaxaxaxa) ， 则 ， jiji xPxPxx jiji xRxIxxXxx ji ， 。 ( )( )( )( )( )( ) = = l r j r j r i r i r ji xaxaxaxa l xAxA 1 1 证明 因为 ( )() ( )( )() ( )( )( ) ji l r j r j r i r i r xAxAxaxaxaxa l = =1 1 ( )( )( )( )00 jiji xAxAxAxA所以，由定义2-3得 。同理 有 jiji xPxPxx ( )( )( )( )00= jiji xAxAxAxA ，故得 。 jiji xRxIxx 此定理表明对于任意两供选方案来说， 当它们前后两次个体惩罚分数之间的 差距没有减少时，它们之间的群体偏爱关系将不会减弱, 即惩罚评分映射满足非 负响应性条件。 ( )() ( )xaxa rr ()lr, 1L=定理2-5（强Pareto原则） 设是 r DM关于的 个体惩罚评分数， Xx ( )xAxRXAa，：X是在G上的群体惩罚评分泛函， IPR=A确定。若 由 ( )() ( )( )() ( ) j r j r i r i r xaxaxaxalr,1=, ， 并且其中至少有一个是严格不等式， jiPx xXxx ji ，则 。 ( )() ( )( )() ( ) j r j r i r i r xaxaxaxa=lr,1, =若 , 则 jiIx xXxx ji ， 。 证明 由定义2-1和已知条件得： ( )( )() ( )( )() ( )( jj r l r j r i r l r i r i xAxaxa l xaxa l xA= =11 11 ) , ( )( )() ( )( )() ( )( jj r l r j r i r l r i r i xAxaxa l xaxa l xA= =11 11 ) 。 于是，由定义2-3即得。 10 温州大学硕士学位论文 这一定理表明， 对于任意两供选方案， 如果每个人都认为对方案与方案 的评分至少一样高，而至少有一决策者认为对的评分高于，则群体认为方 案严格偏爱于。若每一决策者都认为两个方案的评分数相同，则群体对它 们的评价也相同，即惩罚评分映射满足强Pareto原则。 i x j x i x j x i x j x ( )() ( )xaxa rr ()lr, 1L= r DM 定理2-6（局部非独裁性）设 是关于的个 体惩罚评分数， Xx ( )xAxRXAa，：X是在G上的群体惩罚评分泛函， IPR=由确定，则不存在A12,tL， ， l，使得存在 , ij x x X，有 ( )() ( )( )() ( ) jij t j t i t i t Pxxxaxaxaxa 。 证明 选取 ( ) ()()() ( )() jj tt i r i r axax ax ax = () ( )()( ) ()() ii tt j r j r axax ax ax = 1,2,rl，r。 t= ， ， 由已知条件，有 ( )( )( )() ( )( )() ( = = l r j r j r i r i r ji xaxaxaxa l xAxA 1 1 ) ( )() ( )( )() ( ) j t j t i t i t xaxaxaxa l = 1 ( )() ()()() ( )() ()() ( )()( ) ()() 1 jjii tttt ij rr ij r t rr axaxaxax axax l axax + ( )() ( )( )() ( ) j t j t i t i t xaxaxaxa l = 1 ( )() ( )( )() ( ) i t i t j t j t xaxaxaxa l l + 1 ( )() ( )( )() ( ) j t j t i t i t xaxaxaxa l l = 2 。 ( )( ) ji xAxA据此，由于 ，得 2l ，按定义2-3即 不成立。 jiPx x 这一定理表明，对于某两供选方案而言，不存在这样的决策者，只要他认为 某一方案的个体惩罚评分数高于另一方案的评分数， 群体就确定这一方案严格偏 爱于另一方案，即在惩罚评分映射的规则下，群体中不存在局部独裁者。 11 温州大学硕士学位论文 2.3 偏比度和群体偏比映射 在决策者提供各方案偏爱强度的条件下，对于有限个供选方案的情况， A.K.Sen曾给出存在偏爱映射满足相应公理系的结果12。由于在实际决策中，有 时决策者更方便提供对两两方案偏爱强度之比的信息， 为此胡毓达等引进了群体 决策偏比映射并研究了带权积偏比映射满足五个基本的理性条件14。本节介绍 该偏比度和偏比映射。 本节的符号与第一节的相同。 ()lrRr，L1=定义2-414 设，Xyx，X是在 r DM上的偏爱关系。若由 确定的实数()0yx r ， r DM满足 （1）()，yxRyx rr 1 （2）()()，1=xyyx rr （3）()()()()，Xzzxzyyx rrr = 则称()yx r ，()yx，是关于方案对 r DM的个体偏比度。 ()yx r ，()yx，定义2-514 设 Xyx，是关于方案对 r DM的个体偏比度， 则称映射()()()yxyxXX rr ，：a+0XX是在 r DM上的个体偏 比度泛函，并称对应的由泛函 rrr IPR=确定。 r 定义2-614 设，Xyx，RX是G在上的偏爱关系。 （1）若由G中各()(1;2 r DMrl l=L， ，关于)yx， ) 的偏比度组成的实数 (yx，()，满足，xxRyy1则称()yx，()yx，是关于方案对G的群体偏比 度。 ()()()yxyxXX，：a+0XX 称为是G在（2）映射上的偏比 度泛函，并称对应的R由泛函确定。 ()定义2-714 Xlr r ,1L，=设和分别是和G在 r DM上的偏比度泛函， 则称 映射 l L，： 1 是群体在GX上的偏比映射，记作() l ，L 1 = ，并称 12 温州大学硕士学位论文 上的偏比度截面，记作 1, , l X LX是G在。 一组 1, , l L ()lr r ，L1= 定 义2-814 X设是在 r DM上 的 偏 比 度 泛 函 ， 。定义泛函() = = r l r r 1 110，()()(yxyxXX，： )a+0，其中 ，则称映射()() rl r r yxyx = = 1 ， l L，： 1 X是G在上的带权积偏比 映射，并且记由 IPR=。 确定的群体偏爱关系为 对于决策者提供两两方案间偏比度的群体决策问题，文14建立了对应于 Arrow公理的五个理性公理，即许可性公理、一致性公理、独立性公理、非强加 性公理和非独裁性公理。并且，证明了带权积偏比映射满足上述五个公理，说明 在决策个体提供偏比度的情形，群体决策不会出现如Arrow的不可能性定理的结 果。 2.4 群体偏比映射新的理性条件 除了在14中指出的带权积偏比映射满足许可性等五个理性条件之外，本节 进一步给出了群体偏比映射的匿名性、中立性、正响应性、非负响应性，以及强 Pareto原则和局部非独裁性等理性条件。并且，就带权积偏比映射对这些理性条 件进行了检验29。 1,l =L，。 以下记 定理2-7（匿名性）设Xyx，()yx r ，()rXX 是在 r DM上的个体 偏 比 度 泛 函 ，是的 任 一 排 列 ， () 1 1, r wr l =Ll , 1L l rr, 1 Ll。 记 ()ayx,: ()() l l i r yxyx 1 1 = =，()ayx,: ()() l l i r yxyx i 1 1 = = ，, 和 分别由 R R 和 确定，则 ,xR yxR yx yX 。 证 明 显 然 有()()()(yxyxyxyx l l r r l l i ri ， = = 1 1 1 1 ) ， 即 13 温州大学硕士学位论文 xR yxR y 。 (