毕业论文-几何动艺的研究与开发.pdf

东 莞 理 工 学 院 本 科 毕 业 设 计 （2013 届） 题目：几何动艺的研究与开发 学生姓名：文壮茂 学号：200941410138 院 （系） ：计算机学院 专业班级：09 信息与计算科学 1 班 指导教师：熊辉副教授 起止时间：2013 年 3 月2013 年 6 月 （2013 届） 题目：几何动艺的研究与开发 学生姓名：文壮茂 学号：200941410138 院 （系） ：计算机学院 专业班级：09 信息与计算科学 1 班 指导教师：熊辉副教授 起止时间：2013 年 3 月2013 年 6 月 1 几何动艺的研究与开发几何动艺的研究与开发 摘要：摘要： 几何动艺，源于将抽象的空间几何与动态艺术的相结合，通过几何空间和运 动的构思进行设计制作的艺术作品。针对几何动态艺术的研究，本文首先划分出 不同的几何形态和制作材料，然后分别对纸质几何动艺和木质几何动艺进行研 究。 纸质几何动艺，利用纸张制作简易的特点，选取了经典的纸质应用莫比乌斯 带、折纸艺术、纸质建筑模型进行调研学习，主要探索不同模型的演变过程及背 后的数学原理，以达到艺术欣赏的目的。无论是莫比乌斯带还是手工折纸，都属 于线与面等在数学上的组合模拟，通过制作这些动艺作品，展现出几何动艺的独 特魅力。纸质建筑模型，更是建筑学中常用到的展现方式，本文也对此进行了探 索与制作。 木质几何动艺，利用木制品取材方便的特点，选取了人们所熟知的七巧板， 华容道进行深入研究。通过不同的数学变换，组合出各式各样的几何图形，闲暇 之余以供玩乐。七巧板虽外形简单，但其设计却是独特巧妙，利用区区的七块拼 板便能按照心中所想拼成各式图案。华容道游戏赋予了三国历史典故的内涵， 其 设计同样精彩绝伦，不愧为动艺作品的又一代表作。本文采用 Matlab 进行编码， 实现了华容道游戏。 关键词：关键词：纸质几何动艺；木质几何动艺；华容道 Matlab 编码 2 目录目录 第一章绪论第一章绪论.5 5 1.1 几何动艺的研究背景1.1 几何动艺的研究背景.5 5 1.1.1 数学与艺术. 5 1.1.2 几何动艺的产生. 5 1.2 几何动艺的相关理论1.2 几何动艺的相关理论5 5 1.2.1 几何动艺的设计与制作 5 1.2.2 几何动艺的制约条件. 6 1.3 几何动艺的研究意义1.3 几何动艺的研究意义.6 6 第二章纸质几何动艺第二章纸质几何动艺.7 7 2.1 莫比乌斯带的研究2.1 莫比乌斯带的研究.7 7 2.1.1 莫比乌斯带的定义 7 2.1.2 莫比乌斯带的原理与制作 7 2.1.3 莫比乌斯带的欣赏 9 2.2 折纸艺术的展现2.2 折纸艺术的展现.1010 2.2.1 折纸艺术的特征 10 2.2.2 折纸艺术的要求 10 2.2.3 折纸艺术的欣赏 11 2.3 纸质建筑模型2.3 纸质建筑模型.1313 2.3.1 折纸在建筑模型中的应用 13 2.3.2 纸质建筑模型 13 2.3.3 纸质建筑模型的欣赏 14 第三章木质几何动艺第三章木质几何动艺.1515 3.1 七巧板模型3.1 七巧板模型.1515 3.1.1 七巧板的起源 15 3.1.2 七巧板的制作与原理 15 3.1.3 七巧板拼图 15 3.2 华容道游戏模型3.2 华容道游戏模型.1616 3.2.1 华容道游戏的起源 16 3.2.2 华容道游戏的原理 17 3.2.3 华容道游戏的 Matlab 编码.17 第四章总结第四章总结.18 第五章参考文献 18 第五章参考文献.19 第六章致谢 19 第六章致谢.2020 3 第一章绪论第一章绪论 1.1 几何动艺的研究背景1.1 几何动艺的研究背景 1.1.1 数学与艺术1.1.1 数学与艺术 数学既是一门学科，本身也可展现成一门艺术。数学是一门创造性的学科，主要研究现 实世界中的数量关系与空间形式，通过逻辑的推理渗透到各个知识领域中。艺术欣赏，是为 了满足人的情感需求而衍生出来的一种文化现象。 人们的感官通过感知艺术作品， 从而会获 得精神上的满足和心情愉悦的审美活动。 数学是理性的，而艺术欣赏是感性的，它们之间会有怎样的关系呢？细细品味，会发现 这两大模块蕴含着内在的统一。无论只是一个符号，一条定理，还是一道方程，换一种欣赏 展现方式， 更会发现惊讶地发现原来数学有着这么的一种艺术特性， 而让你会被数学的艺术 美而深深地吸引。从某个层面上来说，数学与艺术是息息相关的，它们之间有着许多的共通 之处。 1.1.2 几何动艺的产生1.1.2 几何动艺的产生 数学上的几何观念与艺术发展的关系非常明显。 纵观几何学从平面几何， 射影几何到非 欧几何，分形几何的发展，无不彰显着数学那耐人寻味的美。而动态艺术是欣赏艺术的又一 分支，艺术家们通过制作、表演等形式，展现出作品高雅而又变幻莫测的艺术。根据郭幕孙 先生的定义， 将动态的艺术欣赏与抽象的空间几何结合在一起， 通过从运动和几何空间的角 度进行计算，设计，模拟，制作动态的艺术作品，也就形成了“几何动艺”。 几何动艺，改变常规的静态几何艺术，通过纸质、木质、金属等其他材质，以动态的设 计、制作、展现等多种形式，体现出不同风格与价值的几何动态艺术。 1.2 几何动艺的相关理论1.2 几何动艺的相关理论 1.2.1 几何动艺的设计与制作1.2.1 几何动艺的设计与制作 几何动艺源于抽象形状在空间的运动， 其设计与制作要形成形状和运动的构思。 几何动 艺作品可选取纸质、木质、金属、塑料，片、条、丝、棒等作为制作材料，形状可由三角形， 正方形，矩形，圆形，立体图形及其变换组合来构成。组件之间一般在形状、尺寸、长度等 方面有一定的关系；各个组件在形状和空间运动上虽无具体限制，但也是相互影响的。将组 件组合后，几何动艺作品需能实现某种特征的运动，达到几何数学，结构力学，艺术美学之 间的平衡。这样通过构思、设计与制作出来的动艺作品，加上数学模拟，更加体现了精细的 手工和卓越的智慧。 4 1.2.2 几何动艺的制约条件1.2.2 几何动艺的制约条件 根据郭幕孙先生在几何动艺中的相关介绍进行总结后，几何动艺的制约条件包括： 1）动艺作品更加强调设计的科学性，各个部件要遵循数学模拟； 2）动艺品的外观形状必须可通过几何形体来进行描述； 3）作品材料最好通过恰当的裁剪，以节约制作材料； 4）动艺作品可选取纸张、木质、塑料、金属等固体材料均可用来作为动艺作品的制作材料； 5）如若作品需要经受长期的悬挂、摇摆、载重等外力作用，一些未经强化的材料则不能作为制 作材料，受空气气流影响较大的材料也不能使用； 6）动艺作品可作为展览陈列等，但不考虑能否承受过大的外界恶劣环境影响。1 1.3 几何动艺的研究意义1.3 几何动艺的研究意义 几何动艺集动态艺术与数学几何于一身，要求设计者有一定的抽象立体的空间思维， 关 于作品的简单的运动设想以及一定程度的艺术美感。 对几何动艺进行研究， 其过程主要是通 过线与面的设计， 运用几何与代数等数学原理， 加以简单的力学分析进行数学模型的搭建设 计、计算及模拟，进而进行模型的制作。 研究几何动艺的原理，主要有两方面的意义。其一是通过制作形式多样又含有不同艺 术体现的动艺作品，达到作品欣赏的目的；其二是作为思维智力的锻炼，促进思维能力的成 长，尝试各种几何造型的设计构思并进行制作。此次研究在这两方面都有涉及，主要也是结 合空间几何和动态艺术，通过动艺品的探索和制作，将艺术和科学原理结合，达到欣赏， 享受乐趣的目的。 5 第二章纸质几何动艺第二章纸质几何动艺 2.1 莫比乌斯带的研究2.1 莫比乌斯带的研究 2.1.1 莫比乌斯带的定义2.1.1 莫比乌斯带的定义 莫比乌斯带属于拓扑学结构的同胚问题，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯（August Ferdinand Mbius）在 1858 年独立发现的。莫比乌斯带只有一个面和一个边界，将一个长 方形纸条 ABCD 的一端 AB 固定，另一端 DC 扭转半周后，把 AB 和 CD 粘合在一起 ，得 到的曲面就是莫比乌斯圈，也称莫比乌斯带。 2.1.2 莫比乌斯带的原理与制作2.1.2 莫比乌斯带的原理与制作 莫比乌斯带也可以用方程式来说明，由方程组 ( , )(1cos)cos , 22 ( , )(1cos)sin , ln( ).sin.cos22 22 ( , )sin, 22 02 , 11. vu x u vu vu y u vu rz vu z u v uv 或 可创造一个边长，半径为 1 的莫比乌斯带，所处位置为 x-y 平面，中心为（0，0，0） 。 参数 u 在 v 从一个边移动到另一边的时候环绕整个带子。 如果用极坐标方程表示的话(r，z)，一个无边界的麦比乌斯带可以表示为： log(r)sin(/2)=zcos(/2)。 如右图，正方形 ABCD，如果想要将其折叠成莫比乌斯带， 那么必须将纸片扭转，使 C 与 B，D 与 A 粘合。由于长度的关系， 如若要粘合，势必会将纸片撑破，也就是说，普通的正方形纸片是 无法做成莫比乌斯带的。 那么，有这样一个问题：最少要怎样的长宽比的图形才能作 成一条莫比乌斯带呢? 如图，长方形纸条ABAB要制成莫比乌斯带，那么势必纸条会有曲面的弯曲。如果 我们能刚好找到一个临界点，让纸条只是通过折叠就能实现翻转后前后两面刚刚好相接， 那 么这个临界点对应的值就是我们要寻找的值。 6 1 2 如上图所示过程， 经过分析研究发现， 如图长方形ABAB， 如果AB： BA刚好等于3， 那么我们可以画两个全等的正三角形，再进行弯摺( 每次向上和向下改变摺的方向)，就能 制得一个墨比乌斯带。23 利用这个结果，我们就能证明只要AB：BA的值大于3，我们就能避免打摺，用让纸 片弯曲来代替摺痕。也就是说，如果纸条的长宽比大于3，那么利用这条纸条就能制作出 一条莫比乌斯带。 莫比乌斯带的制作过程中，我们同样可以发现很多奇妙的现象：4 一、莫比乌斯带只有一个面。莫比乌斯带是通过将正反面其中的一端翻转 180 度与另 一端对接形成的，也就让本来的正反两个面统一成了一个面。 二、 如果沿着莫比乌斯带的中间剪开， 将会形成一个比原来的莫比乌斯带空间大一倍的、 把纸带的端头扭转了四次再结合的环，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。 三、如果再沿着上面所述的环的中间继续剪开，将会形成与上述环空间一样的、具有正 反两个面的环 1 和环 2， 且这两个环是相互套在一起的， 从此以后再沿着环 1 和环 2 以及因 7 沿着环 1 和环 2 中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个环空间一样的、具 有正反两个面的环，且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其 它的环不发生联系而独立存在。 2.1.3 莫比乌斯带的欣赏2.1.3 莫比乌斯带的欣赏 （1）垃圾回收标志，由莫比乌斯带变化而来，体现出不断循环利用的理念。 （2）微处理器厂商 Power Architecture 的商标就是一条麦比乌斯圈，具有循环往复的几何 特征，蕴含着永恒、无限的意义。 （3）过山车：有些过山车的跑道采用的就是麦比乌斯原理。最著名的是美国匹兹堡著名肯 尼森林游乐园里，那一部“加强版”的云霄飞车，轨道就是莫比乌斯带。 （4）磁带：磁带是用特殊材料制作的，磁带上涂了一层石墨增加两层之间的滑动。 （5）建筑物：利用莫比乌斯带原理进行建筑设计，打破传统建筑的造型。莫比乌斯带建筑 通过不同角度的空间扭曲而让原有的空间在不同方向得以延伸，得到更大的面积。 8 ” （6）克莱因瓶：这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个 面。 2.2 折纸艺术的展现2.2 折纸艺术的展现 2.2.1 折纸艺术的特征2.2.1 折纸艺术的特征 折纸又称“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动。由于无确切的文献 资料记载，迄今为止关于折纸的起源也无从考证，但毋庸置疑的是，折纸艺术迅速的发展， 已经应用到了建筑、装饰、服装、橱窗展示、工业造形以及平面设计中。 折纸可以帮助我们加深对数学的理解，从 19 世纪开始，折纸与自然科学走到了一起， 开始成为教学研究的工具。折纸是纸质艺术的一部分，即在二维平面上运用翻、转、拉、挑、 挤、插、折叠等“不剪不粘”、“复合折纸”或“组合折纸”手法创造三维立体形态。折纸和几何的 联系是复杂的，每一种基本的折法都有相应的几何模型，也都是一件艺术作品。 折纸艺术的特征有其自身的特征，简简单单的一张纸，经过各种基本的折叠变换后可 以形成各种各样外形独特的动物，花草等物品。如若辅之剪纸艺术，更能将制作出栩栩如生 的各种细腻作品。折纸艺术表面看似简单，但无论是对技巧，还是对想象力，逻辑分析等能 力都是十分要求的。掌握了基本的折纸方法，要能融会贯通，创新变化，加之对材料的把握 和技巧的掌握，才能制作出逼真的效果，达到作品与实物形神俱备。 2.2.2 折纸艺术的要求2.2.2 折纸艺术的要求 折纸艺术对于纸张的选取也是有要求的。不同的纸张有不同的软硬厚薄之分，制作的材 料的不同也有不同的材质纹理和色彩效果。 对于普通物品的折叠我们可能没那么特殊的要求，而复杂作品对纸张的要求则较高。 选 取不同的纸张进行折叠也会产生不同的视觉和艺术效果，通常选择尽可能薄且材质较硬的 纸，这样经过多次折叠之后不至于太厚，也不容易破损。 9 2.2.3 折纸艺术的欣赏2.2.3 折纸艺术的欣赏 折纸工艺通过选取不同的纸张和各式的折叠方式后制作出来的作品可供不同人群的欣赏， 如果精心加以修饰还会具有相应的艺术气息。下面，我们对几种折纸作品进行欣赏。 1）折纸鹤 2）折大风车 10 3）折方块 11 2.3 纸质建筑模型2.3 纸质建筑模型 2.3.1 折纸在建筑模型中的应用2.3.1 折纸在建筑模型中的应用 纸张种类繁多，虽然只是普普通通的纸，但可作为建筑模型的载体，经过折叠，切割， 黏贴，弯曲等变换技巧，可形象直观地表现出建筑模型。利用纸张在平面与空间之间的快速 变换，也可使建筑师快速地捕捉建筑设计的灵感。作为建筑与空间关系的一种转换和表达， 纸质建筑模型融合现代建筑技术，能直观地展现创作的意图，这对设计师而言，增强了建筑 师由平面进入立体空间的转换能力和立体想象力，对方案的推进极有效果。 纸质建筑模型也经常被使用在课程教学，礼物作品，艺术成品等。 2.3.2 纸质建筑模型2.3.2 纸质建筑模型 如下图所示 ，选取两张木条支撑其一张纸，再在纸张的中间轻轻放上一支笔，可以看 到由于笔的重量超过了纸张的承受能力，会造成纸张的弯曲。 但是如果先把纸张折叠成如下图的 M 形，那么纸张就不再是那么地薄弱了。折叠后的 纸张有一定的高度 H 和一定的厚度 D。只要 H 和 D 的数值越大，越能承受更重一些。这种 情形在建筑上称为梁或屋架的承载力-承受荷载的能力。5 12 因此很多建筑都采用折板屋顶，如下图所示。 此部分涉及较为复杂的建筑力学的内容，因时间所限，未作深入研究。 2.3.3 纸质建筑模型的欣赏2.3.3 纸质建筑模型的欣赏 13 第三章木质几何动艺第三章木质几何动艺 3.1 七巧板模型3.1 七巧板模型 3.1.1 七巧板的起源3.1.1 七巧板的起源 七巧板是一种流传于民间的古老拼板的智力游戏，由七块板组成，取材简单制作方便。 由 这七块板的自由组合可以拼接成各种各样的几何图形，彰显着中华民族博大精深的文化。 19 世纪流传到西方后迅速传播，被称为“东方魔板”。 3.1.2 七巧板的制作与原理3.1.2 七巧板的制作与原理 七巧板的制作其实也并不难，可以按照以下步骤进行： 1.先画一个正方形然后画它的两条对角线相交于点 E。 2.取 AB 的中点 F，取 BC 的中点 G，连接 FG，与 BD 相交于点 H。 3.由 H 点向下作 BC 边的平行线，与 AC 相交于点 J. 4.由点 F 作 BD 边的平行线，与 AC 相交于点 I. 5.沿着下图中的实线剪切就是一幅七巧板. 七巧板之所以单单凭借七块板就能拼成各式各样的图案，归功于其分割设计的巧妙。 仔 细观察研究这七块小板，可以发现其中暗含的原理：6 大三角形的直角边长=中三角形的斜边长， 中三角形的直角边长=小三角形的斜边长=平行四边形的长边长， 小三角形的直角边长=正方形的边长=平行四边形的短边长。 所有组块的角只有 15，90，135 度三种情况。 所有组块中，正方形、平行四边形和中三角形的面积相等，是小三角形面积的 2 倍， 是大三角形面积的 1/2。 这样，一副七巧板也可以看成是由 16 个小三角形组成的，这为它们相互替代、组合创 造了条件。 （引用） 3.1.3 七巧板拼图3.1.3 七巧板拼图 七巧板拼图的应用还是比较多的， 比较有代表性的是第 35 届国际数学奥林匹克竞赛会标。 如图： 14 七巧板常用的游戏拼图也是种类繁多的，下面选取部分进行展示。 3.2 华容道游戏模型3.2 华容道游戏模型 3.2.1 华容道游戏的起源3.2.1 华容道游戏的起源 三国里的华容道的故事家喻户晓， 华容道游戏即取材于此， 以三国时关羽在华容道私放 曹操出走的故事为背景，设置了这种单人玩的滑块类游戏。 15 如上图所示，华容道游戏的棋盘是由 4 5 个小矩形的区域构成的。棋子的类型共有四 种，含义各不相同，分十块拼板组成。其中 2x2 的一大块矩形板代表着曹操，1x2 的四块矩 形板代表着关张赵马黄五虎上将，1x1 的四块小矩形板代表着四个小兵。游戏时，将各个拼 板置于棋盘中， 通过棋子间的交换移动来调整各角色之间的位置关系。 唯一的一个限制条件 是棋子只能在棋盘中进行移动，不能超出棋盘的范围，也不能出现棋子的重叠。 一般棋盘的下方会有一个出口，如果通过不同的布局开始后进行恰当的棋子移动，使 2 x2 拼板的曹操能顺利抵达出口位置处，即象征着曹操顺利脱离敌方的围捕，也就代表着游 戏的胜利。 华容道棋盘虽只有小小的那么 20 小格，棋子也只有区区的十块拼板，但通过这十块拼 板不同位置的摆放，也就能形成许多中不一样的开局。游戏经过这么长时间的积累沉淀后， 许多人已经不是单单关心能否将“曹操”转移到出口位置处，还关心从开局到最后胜利棋子 在棋盘中移动的总次数。当然，移动次数越少，该中移动的解法也就成为了最佳解法，让更 多的人为此津津乐道。 3.2.2 华容道游戏的原理3.2.2 华容道游戏的原理 华容道游戏的开局布阵有“横刀立马” 、 “三军联防” 、 “云遮雾障” 、 “五将逼宫” 、 “兵临 曹营” 、 “四面楚歌”等多种。游戏的魅力至于需要细致的走法和步数的规划，经过步步为营 的预想后，才能直达最后的胜利，将曹操移出华容道。 根据李瑞民在“华容道”游戏解法的研究与实现一文中的研究报告，分析该游戏的特 点，可得出如下结论： ( 1)游戏中棋子的等价关系 游戏中， 四个兵无疑是等价的， 因为无论怎么放置， 当互换他们之间的位置时， 并 不能改变任何难度， 也改变不了到达赢局的步数。同样的方法也可以证明， 所有的横将也 是相互等价的， 所有竖将也是等价的。 ( 2)没有横将的开局无解 没有横将时将有 5 个竖将， 整个棋盘共 5 行 4 列， 易知这 5 个竖将必将同时占据 至少 3 列。而曹操本身占了两列， 因此无论怎么排列， 只要曹操在棋盘的前 3 行( 这是 开局前提) ， 曹操的下面将始终有一个竖将， 该竖将移动到曹操未占据的两列的前提是: 这两列中某个竖将绕到曹操上面而腾出位置给这个竖将， 而此时， 曹操将上下各有两员竖 将， 两竖将加曹操的长度将达到 6 行长度， 这与棋盘只有 5 行矛盾， 因此该竖将无法 被移动到曹操未占据的两列中。同时由于这一竖将的存在， 曹操将始终无法向下移动到最 下两行， 而这又是到达赢局的前提。 由此可知， 五竖将无论怎么排列的开局都是无解的。 3.2.3 华容道游戏的 Matlab 编码3.2.3 华容道游戏的 Matlab 编码 此处研究还对华容道游戏采用 Matlab 编码实现。游戏运行开始后，采用鼠标单击的方 式触发事件，移动棋子进行游戏。具体的 Matlab 代码参见附录。效果图如图所示： 16 第四章总结第四章总结 很早之前我就从师兄师姐那里了解了关于毕业设计的相关内容， 想到要在本科即将毕业 的时候完成一篇学术研究或专业设计类的论文， 当时觉得不知道怎么下手。 一则觉得自己掌 握的知识深度还不够，对很多知识的理解还不深入；二则觉得毕业设计和论文耗时比较长， 工程比较大，完全不知道从哪方面开始做，怎么把理论知识融入到实际应用当中去。 而在大四上学期准备了毕业设计的选题后， 我意识到该下功夫去完成它， 于是便通过向 指导老师请教和自己搜索调研等方式进一步去了解此次毕业设计涉及到的知识点及其数学 原理。 我的课题是几何动艺的研究与开发。 最开始的时候， 面对这个课题我其实也是一阵茫然， 这个比较偏向理论化的课题确实比较难以下手。后来，经过网络上相关文献的检索，我大致 了解了关于几何动艺的相关概念理论， 紧接着我也主动向指导老师熊老师请求指导， 以掌握 大致的研究方向。 经过不断的交流、 调研与学习后， 我对几何动艺的理解才慢慢地深入起来， 知道了其主要的研究内容和研究意义。 通过深入的学习研究以及实际的动手制作，我更加深刻地感知到数学的无处不在与魅 力。无论是看似简单的一条莫比乌斯带，各种各样的折纸艺术，还是灵巧多变的