北京市顺义区2013届高三下学期第二次统练数学(理)试题.doc

北京市顺义区2013届高三下学期第二次统练数学（理）试题一、选择题.共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,则A.B.C.D.2.复数A.B.C.D.3.在极坐标系中,直线的方程为,则点到直线的距离为开始输出s结束否是A.B.C.D.4.执行如图所示的程序框图,输出的值为A.B.C.4D.55.已知数列中,等比数列的公比满足,且,则A.B.C.D.6.设变量满足约束条件则的取值范围是A.B.C.D.7.已知正三角形的边长为1,点是边上的动点,点是边上的动点,且,则的最大值为A.B.C.D.8.设,若直线与轴相交于点,与轴相交于点,且坐标原点到直线的距离为,则的面积的最小值为A.B.2C.3D.4二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上)9.的展开式中含的项的系数为 (用数字作答).10.设的内角的对边分别为,且,则 ,的面积 .11.如图,已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点,且,若与圆相切,且,则 .正(主)视图侧(左)主视图俯视图245h12.一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92m2,则 m.13.已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么该双曲线的焦点坐标为 ,渐近线方程为 .14.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数.当时,;当且时,.则函数在上的零点个数为 .三、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)已知函数.(I)求的值;(II)求函数的最小正周期及单调递减区间.16.(本小题满分14分)如图,在长方体中,为的中点,为的中点.(I)求证:平面;(II)求证:平面;(III)若二面角的大小为,求的长.17.(本小题满分13分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:.(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数;(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为,求的分布列及数学期望.202530354045年龄/岁频率/组距0.070.02x0.040.01O18.(本小题满分13分)已知函数,其中为正实数,.(I)若是的一个极值点,求的值;(II)求的单调区间.19.(本小题满分14分)已知椭圆的两个焦点分别为,且,点在椭圆上,且的周长为6.(I)求椭圆的方程;(II)若点的坐标为,不过原点的直线与椭圆相交于两点,设线段的中点为,点到直线的距离为,且三点共线.求的最大值.20.(本小题满分13分)已知函数,其中为大于零的常数,函数的图像与坐标轴交点处的切线为,函数的图像与直线交点处的切线为,且.(I)若在闭区间上存在使不等式成立,求实数的取值范围;(II)对于函数和公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2.顺义区2013届高三第二次统练数学试卷(理工类)参考答案一、ABBA BCDC二、9.3610.11.12.413.14.6三、15.解:(I).4分(II),得故的定义域为.因为,所以的最小正周期为.因为函数的单调递减区间为,由,得,所以的单调递减区间为. 13分16.(I)证明:在长方体中,因为平面,所以.因为,所以四边形为正方形,因此,又,所以平面.又,且,所以四边形为平行四边形.又在上,所以平面. 4分(II)取的中点为,连接.因为为的中点,所以且,因为为的中点,所以,而,且,所以,且,因此四边形为平行四边形,所以,而平面,所以平面.9分(III)如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,则,故.由(I)可知平面,所以是平面的一个法向量.xyz设平面的一个法向量为,则,所以令,则,所以.设与所成的角为,则.因为二面角的大小为,所以,即,解得,即的长为1.14分17.解:(I)小矩形的面积等于频率,除外的频率和为0.70,.3分500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人).(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,“年龄不低于35岁”的人有8名.故的可能取值为0,1,2,3,故的分布列为0123所以.13分18.解:.(I)因为是函数的一个极值点,所以,因此,解得.经检验，当时，是的一个极值点，故所求的值为.4分(II)令得(i)当,即时,方程两根为.此时与的变化情况如下表:00极大值极小值所以当时,的单调递增区间为,; 的单调递减区间为.(ii)当时,即时,即,此时在上单调递增.所以当时,的单调递增区间为.13分19.解:(I)由已知得且,解得,又,所以椭圆的方程为.3分(II)设.当直线与轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点在轴上,且与点不重合,显然三点不共线,不符合题设条件.故可设直线的方程为.由消去整理得.则,所以点的坐标为.因为三点共线,所以,因为,所以,此时方程为,则,所以,又,所以,故当时,的最大值为.13分20.解:(I)函数的图像与坐标轴的交点为,又,.函数的图像与直线的交点为,又,.由题意可知,又,所以.3分不等式可化为,即.令,则,.又时,故,在上是减函数,即在上是减函数,因此,在闭区间上