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信号与系统第三章习题部分参考答案信号与系统第三章习题部分参考答案 3-2 已知连续时间周期信号( ) + += 3 5 sin4 3 2 cos2 tt tf 。将其表示成 复指数傅立叶级数形式，求 n F，并画出双边幅度谱和相位谱。 解：由于( )tf为连续的时间周期信号。 由于题易知 T=6 1 = 3 又 ( ) + += 3 5 sin4 3 2 cos2 tt tf 即有 2 0 =a 1 2 =a 4 5 =b 2 00 = aF () 2 1 2 1 222 =jbaF ()2 2 1 555 jjbaF= 431 FFF= 故 ( ) 5 3 3 2 2 2 1 2 t j t j jeetf += 又 nn FF = 其双边幅 度谱如图 3-2-1 所示 易知 43210 = 2 5 = 2 5 = 其相位谱如图 3-2-2 所示 1 5w 1 2w 0 1 2w 1 5w w n F 0 F 2 1 5 F 2 F 2 F 5 F 图 3-2-1 1 5w 0 1 5w w n 2 2 图 3-2-2 相位谱 3-4 如题图 3-4 所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。 ( )tf1 E E T2/T 题图34 t ( )tf2 1 T t ( )tf3 1 TT0 0 0 T T2 4 T 4 T t ( )tf6 1 T T 0 4 T 4 T 2 T 2 T ( )tf5 ( )tf4 A TT2T A TT 4 T 4 T 0 0 ( )a ( )b ( )c( )d ( )e( )f t t t 解： （a） 由于)( 1 tf为奇函数故有 0 0 =a )sin()sin( 2 2 0 0 2 += T T n dtnwtdtnwt T E b = 1)cos( 2 n n E 0 n=2k Nk n E4 n=2k+1 Nk ) 12sin( 12 1 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 1 + + + +=wtk k wtwtwt E tf =)sin( 1)cos( 12 1 nwtn n E n = 1)cos()( 2 1 = n n E jjbaF nnn jnwtjnwt n en n E jeFtf1)cos( 1 )( 1 = + + 3-8：设( )( )Ftf，试用( )F表示下列各信号的频谱。 （1）( )( )tftf+ 2 ； （2）( )ttfm 0 cos1+ （3）()tf36； （4）() ( )tft2+； （5）( )tft3； （6） ( ) dt tdf e tj 0 （7）() ()tft11； （8）( )()3tftf； （9）( )df t （10）( )df t + 5 （11）( )df t 2/1 （12） ( ) () t j etf dt tdf +23； （13）( )( )tSatf2 （14）( ) ( )tutf （15） () dt tdf t 1 （16）() ( ) ()32 2 tj etft 解： （1）)()(*( 2 1 )()().()()( 2 wFwFwFtftftftftf+=+ （2）)(cos()()cos()cos()(1 000 twtmftwtwtmf+=+ )()( 2 )()( 0000 wwjFwwjF m wwww+ （3） wj ejwFtftf 2 ) 3 1 ( 3 1 )2(3)36( = （4）)(2)()(2)()()2(wFwFjtfttftft+=+ （5）) 3 ( 3 1 )3( w Ftf ) 3 ( 3 1 )3( w Fjttf （6）)( )( wjwF dt tdf )()( )( 00 0 wwFwwj dt tdf e tjw + （7） dw ewFd jewFttftftft jw jw )( )()1 ()1 ()1 ()1 ( = jw ewFj =)( （8） wj ewFtf 3 )()3( wjwj ewFewFwFtftf 323 )()().()3(*)( = （9）)( 1 )()0()(wF jw wFdf t + （10）)( 1 )()0()( 5 5 jwF jw wFedf t wj + + （11）) 2 ( 2 1 )()0(2)1(22)( 2/1 jw F wj wFedfdf tt jw += （12）)( )( wjwF dt tdf 3/ )1(2 ) 3 1 ( 3 1 )()23( )( + + + wjjt e w FwjwFetf dt tdf （13）2/ )()( 4 wGtsa )()( 2 )(*)( 4 wGwFtsatf （14）)( 1 *)( 2 1 )()(w jw jwFtutf + （15） jw ewjwF dt tdf )( )1 ( jwjwjw ewFwewFewjwF dt tdf t )()()( )1 ( （16）)2(2)2()()2( 6)3(2 wFwFeetft jtj 3-10 利用三种方法求题图 3-10 所示信号的频谱。 题图310 f1(t) t 1 -1 0 - f2(t) t 0 ( )a( )b T 2 2 T 解 ：(a) 方法一 利用定义 = 0 / )( tt tf )()cos( 2 )( wsaw w j dte t wF jwt = 方法二 利用时域微分性质 对 f(t)求一阶导数得到 )()()( 1 )( 2 +=tttGtf )cos(2)(2)( 1 wwsawF= 0)0( 1 =F )()cos( 2 )()0( )( )( 1 1 wsaw w jwF jw wF wF=+= 方法三 利用频域微分性质 )()()()( 2 tG t tutu t tf =+= )(2)( 2 wsatG )()cos( 2)(2 )( wsaw w j dw wsadj wF= 3.18 用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱 （1） () ()1 12sin t t （2） () 2 sin t t ； （3） 0, 2 22 + a ta a ； （4） t ja + 1 ； 解： （1） ( )() 2 w G ttSa 0 0 0 ()2() 2 w w t w SaGw 令 0 4w= 有 4 sin2 42() 2 t Gw t 4 sin2 (1) () (1) jw t Gw e t （2） 三角形脉冲 2 (1)() 2 tw Sa t (+)() 2 0 000 0 ()2 (1) ()() 2 ww w Sawwww w + 令 0 2w=有 2 sin 2 ()2 (1) (2 )(2 ) 2 tw ww t + 即 2 sin ()(1)(2 ) 2 tw w t (+2 ) （3）双边指数信号 22 2 () a t a et aw cct tf （3） ( )( )tftf 21 （4） ( )( )tftf 21 （5） ( )( )tftf 21 32+ （6） ( )tf 2 1 （7） ( )( )tftf 2 2 1 （8） ()()212 21 tftf 解： (2) 1 1 1 2 1 2 1 = s s f T，带宽为 (3) 21 21 21 2 1 2 1+ = + =+ s s f T，带宽为 (4) 2 2 2 2 1 2 1 = s s f T，带宽为 (5) 1 1 1 2 1 2 1 = s s f T，带宽为 (6) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2= s s f T，带宽为 (7) 2 2 2 2 1 2 1 = s s f T，带宽为 (8) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 + = + = + =+ s s f T，带宽为 326 确定下列信号的奈奎斯特频率和奈奎斯特间隔 （1）()tSa 50 （2）()()tSatSa80100 2 + （3）()() 2 2 40100tSatSa+ 2 326 (1)(50 ) (50)(50) 50 50, ,. 5050 (2)(100 ) (100)(100) 100 100, ,. 100100 (3)(80 )(1),160. 80160 1 m m m Satu wu w w Satu wu w w w Satww + = + = | |160,= = 即信号的最大频率 最低抽样率=奈奎斯特间隔 即信号的最大频率 最低抽样率=奈奎斯特间隔 即信号的最大频率 所以最低抽样率. 60160 ,. 160160 = = ,奈奎斯特间隔 所以信号的最大频率为160. 即最低抽样率奈奎斯特间隔 3.42 知电路如题图 3-42 所示， 求该系统的频率响应( ) ( ) ( ) I V H=， 欲使系统无失真传 输信号，确定 21, R R。传输过程有无时间延迟？ 解：此电路的系统函数为 ( ) ( ) ( ) () () + + = CJ RLJR CJ RLJR I V H 1 1 21 21 代入 L 和 C 的数值，其幅频特 性为：( ) ()() ()()2 21 2 2 2 21 2 2 21 1 1 RR RRRR H + + = 要求无失真传输，即为( )KH