理论力学第7章答案.pdf

7.1直杆AB搁置如图ab所示试分别以A端沿水平轴x向右运动时的速度和加速度表示杆AB的角速度和角加速度解杆作平面运动由于受两处约束1=f取为广义坐标a将=ctgAhx对时间求导得=2Acschx因此有hxsin2A=hhxx)2sin(sin2AA2=b将=sinArx对时间求导得=2Asincosrx因此有rxtgsinA=rxxx)secsinsintgsin(A2AA+=rrxxsin)sec1(tgsin2AA+=7.2试证明直杆AB搁置如图ab所示杆AB运动时杆上点C的速度沿杆AB其大小等于cosAv解基点CAACvvv+=ax0sinsinACAAxC=+=CAxvvvy=cosAyCvv证毕bx0sinsinACAAxC=+=+=CAxvvvy=cosAyCvv证毕7.3滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示曲柄OA长r连杆AB长l滚子半径为R若曲柄以匀角速度绕固定轴O转动试求任意时刻=AOB连杆AB和滚子的角速度解本机构自由度14233=f除外取多余坐标两者间有约束方程=sinsinlr1矢量法基点BAABvvv+=)(Arv=)sin()sin()sin(B2A2BA+=vvv=coscosABAvv=coscosBAABlrlv+=cos)sin(ABvv+=cos)sin(BBRrRv分析法将式1对时间求导得=coscoscoscoslrlr对+=coscosBlrx对时间求导得+=cos)sin(sinsinBrlrx因此+=cos)sin(BBRrRx7.4一放大机构中ABCD为一平行四边形B为OC的中点D为CE的中点设图示位置点A的速度如图示求点E的速度解平行四边形机构在任意时有BCADABCD因此1ADBC=2CDAB=A基点ABBAvvv+=+=基点ECCEvvv+=+=QOBOC2=BACE2=B11C22vv=OBOCAB22EC22vv=BACE可导出AE2vv=7.5一自动卸货大卡车的升降机构如图示图中BFBE=lAC=在此瞬时活塞在处于水平的液压缸中的速度为v求车厢转动的角速度解利用速度投影定理杆vv=o60cosFvv2F=vvv2FE=杆vvv=o60cosED因此lvADv2D=7.6画出图示机构中作平面运动的杆件在图示位置的速度瞬心7.7图示拱桥上受到1F和2F两力作用若给出的三拱桥的支座C若突然坍塌试求此瞬时GBJ和ICJ两部分的速度瞬心解GBI构件瞬心为ICJ构件瞬心在无穷远7.8杆AB可在作定轴转动的套筒O内滑动如图示其A端与曲柄OA铰接已知rOOOA=求杆的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹解AB杆作平面运动杆上与O相重合之点速度Ov沿杆方向Av垂直于OA杆因此瞬心为C不难看出C点相对AB杆和定系的位置可分别以)2(r和)2(r表示则动定瞬心迹线分别是半径为r2和r的圆7.9图示反平行四边形机构中aCDAB2=cBDAC2=ca求杆BD的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹解BD杆的瞬心为AB与CD的交点P容易证明三角形APC和DPB全等因此瞬心P点相对BD杆和定系的位置均可用)(表示在三角形APC中有DPAP=0sin)2(sin=aca2cos)2(cos=+上二式中消去得222)2()cos2()sin(=+ac可导出如下椭圆方程cos)(1)(22=acaca因此动定瞬心迹线均为椭圆7.11三根连杆ABBC和CD用铰链相连组成一四连杆机构AD可视作固定不动的连杆已知aBCAB=aCD2=杆AD以匀角速度转动求图示两位置杆CD的角速度和角加速度解a杆作瞬时平动0BC=BCvv=22CCD=av基点+=+CBnBnCCaaaa0C=a0CD=b杆速度瞬心在点0=Cv=avBBC0CD=基点nCBCBnBCaaaa+=xnCBnBccosaaa=Q47sincos=aa2nB=aa2nCB=782Caa=77422CCD=aa7.12平面机构如图示已知CDEGB为杆DG的中点OABCDEG均为铰链cm20=EGCDcm50=DGcm40=OA在图示位置杆CD铅垂OACDcms20A=v水平向左B的加速度沿水平方向的分量2Bxcms10=a3.0tan=试用平面运动基点法求此瞬时1杆CD和杆OA的角速度2B的加速度沿铅垂方向的分量3杆OA的角加速度解杆做瞬时平动0AB=BAvv=rads5.0AOA=OAv22OAnAcms10=OAa某点+=+ABByBxAnAaaaaax=sincoscossinByBxAnAaaaa2BynABxAcms1tg)(=+=aaaa2AOArads)401(=OAa7.13滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示曲柄OA长r连杆AB长l滚子半径为R若曲柄以匀角速度绕固定轴O转动计算连杆AB和滚子的角加速度解矢量法基点nBABAnABaaaa+=y+=sincossin0nBABAnAaaa=tg)(cos)sinsin(2222BAlrlaxnBAnAB)cos(cosaaa+=+=cos)cos(22Blra=tg)(22BAABla+=cos)cos(22BBRlrRa分析法=+=tg)(cossincoscossin2222ABlrlr+=2BBcossin)sin(cos)(cos(RrRr+=cos)cos(22Rlr7.14半径为r的圆盘在水平面上作直线纯滚子如图示其中心O的速度Ov常量杆AB长l其B端用铰链与圆盘边缘相连接求在水平面上运动的A端的速度和加速度以转角表示之解本机构自由度1=f和有约束方程)cos1(sin=rl)1(矢量法圆盘的瞬心为点杆的瞬心为点因此)2sin(2)(OOB=vBPrvv=cos)2cos()2sin(2OlvCBvBAB=cossinOlv2cos)2sin()cossin(O+=llvCAvABA)2sin()2sin(2)cos(O+=vcos)cos(1O+=v基点nBOBOOBaaaa+=0O=aBOa基点nABABBAaaaa+=xnABBA)2cos(cosaaa+=+=3222Acossincos)sin(lvrvaOO分析法将式1对时间求导得=cossinOlv因为=cossinOAlrxx对时间求导得)cossin(sincosOOOAA+=lvlvvxvcos)cos(1O+=v+=2OAAcossin)cos(cos)(sin(vva+=322O2Ocossincos)sin(lvrv7.15半径为10cm的轮B由曲柄OA和连杆AB带动在半径为40cm的固定轮上作纯滚动设OA长10cmAB长40cmOA匀角速转动角速度rads10=求在图示位置轮B滚动的角速度和角加速度解矢量法杆作瞬时平动0AB=rvvABrads10BB=rvcmr10=基点+=+BAnAnBBaaaax=sinsincosnAnBBaaa75154tg)5(2222B=rrrra2rads7.20751542BB=ra分析法设的坐标分别为AxAyBxBy此瞬时0A=xry=Arx15B=0B=y则有22AB2AB)4()()(ryyxx=+将上式求导得0)()(ABABABAB=+yyyyxxxx0)()()()(ABAB2ABABAB2AB=+yyyyyyxxxxxx将0BA=yy2A=ryrxy52BB=及0A=x等代入上二式得=rxxBA751542B=rx因此导出rads10BB=rx2BBrads7.20=rx7.16半径为r的两轮用长l杆AO2相连如图示前轮1O匀速滚动轮心的速度为v求在图示位置后轮2O滚动的角加速度解矢量法1O轮纯滚动vvv221OA=AO2杆瞬时平动vvv2AO2=0AO2=2O轮纯滚动rvrv222OO=基点1OnAOAOOA1aaaa+=01O=a0AO=a2O基点nAOAOAO221aaaa+=x=sincosAO2aarvatg2O2=222OO22rlrvra=分析法AO2杆长l故22OA2OA)()(22lyyxx=+则有0)()(2222OAOAOAOA=+yyyyxxxx0)()()()(222222OAOA2OAOAOA2OA=+yyyyyyxxxxxx将0BA=yyrvy2A=02O=y0A=x代入上二式得vxx2AO2=222O2rlvx=于是导出rvrx222OO=222OO22rlrvrx=7.17圆柱体C在固定的半圆柱D上纯滚动一杆AB一端与圆柱体中心铰接另一端与滑块A铰接在图示瞬时滑块A的速度ms3=v加速度2ms2=a求此瞬时圆柱体C的角速度和角加速度解B基点ABAABvvv+=ooo105sin15sin60sinABABvvv=ms70.2B=vms80.0BA=vrads8.15.1BC=vrads1.08BAAB=vnBABAAnBBaaaaa+=+5.42Bv82ABxnBAAnBB30cos15sin15cosaaaa+=ooo2Bms31.2=a2BCrads54.15.1=a7.18一杆AB一端与小齿轮中心A铰接另一端与圆盘D的边缘B点铰接如图示若圆盘D以匀角速度转动杆AB长m5.0求此瞬时小齿轮在齿圈上滚动的角速度和角加速度解杆的速度瞬心即齿圈的圆心因此=)34()25.3(BABv=)316(4BAv=3.51AAv基点nABABnBnAAaaaaa+=+42Av22ABABxnABnBnAA45coscossinaaaa+=+o在三角形中AB)45sin(5.1sin445sin+=oo解得o377.15=)m10(92.41=AB于是有2A45.12=a2A45.121=aA7.19直杆CD在C点处与齿轮B铰接在图示瞬时杆CD的速度为0=v加速度2mms600=a求此瞬时齿条A的加速度解(1)令齿轮轮心O以C为基点有OCCOaaa+=0Ox=a0Oy=a所以0O=a(2)POPaa=2CPms8.0=OPOCaa齿条加速度)(8.02Psmaa=7.20上题中若速度改为mms75=v加速度不变求齿条A的加速度解轮心O为速度瞬心rads1C=OCvnOCOCCOaaaa+=2Crads875600=OCanPOPOOPaaaa+=2OPOPxms725.0075.08.0=aaa所以2PxAms725.0=aa7.21图示动齿轮O由曲柄OO带动在定齿轮O上滚动已知曲柄的角速度为计算齿轮相对曲柄的角速度解方法一=)(21Orrv=)1(212Orrrva齿轮O动系OO杆era+=)()(21arrr方法二齿轮O瞬心位于O连线外侧因此因此r必与=e反向由er=OCCO得=)(21rrr7.22图示行星齿轮系中轮I固定轮II由曲柄AB带动轮III又由轮II带动已知曲柄的角速度为角加速度为零求轮III相对曲柄AB的角速度和角加速度设轮II轮III半径相同解设轮半径为r则rAB2=rvB2=2B2rv=rrv422P=4P3rv轮动系杆era+=34r03=rr7.23图示传速器由以下齿轮组成半径cm401=r的定齿轮半径各为cm202=r和cm303=r的相连的行星齿轮以及半径cm904=r的内啮合齿轮主动轴转速minr18001=n带动行星齿轮在定齿轮上滚动并通过内啮合齿轮使从动轴转动试求从动轴每分钟的转速2n解A点作圆周运动a21A)(nrrv+=齿轮2在定齿轮1上纯滚动rvA2=齿轮3与齿轮2有相同角速度23=基点BAABvvv+=b4nr33ra232133AB)1)(nrrrrrvv+=+=rpm3000)1)(4a23214b=+=rnrrrrrvnBrpm转数分7.25图示杆OA以匀角速度=e逆时针转动圆盘B以=4r的匀角速度相对杆OA作顺时针纯滚动圆盘半径为r3r=OP求圆盘中心B的速度解方法一因r与e反向圆盘的瞬心在连线外侧由er=CPCO可得rCP=圆盘动系杆era+=+=3a=rrv232aB方法二基点BPPBvvv+=Q=rrv33eP=rrv3aBP=+=rvvv23)(212BP2PB方法三动系杆eravvv+=Q=rrv4rr=rrv1010ee=+=rvvvvv23)cos2(21er2e2ra7.26图示杆OA以匀角速度=e逆时针转动圆盘B以=4r的匀角速度相对杆OA作顺时针纯滚动圆盘半径为r3r=OP试求圆盘与杆OA的接触点P的加速度解圆盘上动系杆krneePaaaaa+=er323er2rrQ0=rvx2nexP3=raay222reyP13)4(3=+=+=rrraaa7.27图中直杆AB表示齿条圆轮O表示齿轮当齿条的一端运动时带动半径为cm5的齿轮绕轴O转动今设A端以cms30的速度向右匀速运动求图示位置齿条AB及齿轮O的角速度和角加速度解AB杆瞬心为点rads3AB=PAvAABC=PCvrads3ABCO=COv矢量法圆盘动系杆ABrO+=rads6r=ABrO+=ABOr+=圆盘上动系杆kerOaaaa+=杆上O基点nOAOAAeaaaa+=由于0O=a0A=a由以上二式得0knOAOAr=+aaaarrABOA2ABOArAB2vrr=rvx060cos30cosknOAOA=+aaaoo2ABrads39=y060sin30sinnOAOA=ooaaar2Orads39=分析法设为广义坐标)2(ctg=rxA将上式求导得2)2(csc2=rvA可导出rads3|)2(sin2602A=orv260Arads39|sin=orv因为为杆瞬心=cosAACvPAPCvv则有rads3|cos60ACO=orvrv260AOrads39|sin=orv7.28一机构在图示位置时OBOA点C位于AB的中点已知rOA=rAB4=求当杆OA以匀角速度转动时杆CD的速度和加速度解杆瞬时平动ACvv=0AB=基点nBABAnABaaaa+=0nBA=ay+=cos0BAnAaa1542BAAB=ra杆上动系杆eravvv+=15CDrv=keraaaaa+=0k=a杆上C基点nCACAnAeaaaa+=0nCA=a导出+=CAnAraaaaaxCAnAaaa=coscosCD15ABrrra22CD7cos2=7.29套筒C上装有一销轴可在半径为1m的圆槽内滑动当滑块A以匀速ms5.0=v向右上方运动而杆DA以匀角速度2rads=转动时求图示瞬时套筒C在杆AD上滑动的速度和加速度图示位置o90=解动系杆eravvv+=1kernaaaaaaa+=+2杆C点基点CAAevvv+=3nCACAaeaaaa+=4由13得CAAravvvv+=ACCAvms8=avms4r=v由24得knCArnaaaaaaa+=+12av2ACr2vyooo30sin30cos30cosknCArnaaaaa=ms6.5330tg30cosknCAnr=ooaaaaa7.30图示一机构在某瞬时的位置此时=OA0OA=lvCD0CD=a求杆AB的角速度和角加速度解动系杆eravvv+=1keraaaaa+=0a=a2杆上P点基点APAevvv+=3nPAPAnaeaaaa+=4由13得PAeravvvv+=CDvOAlAB2lxPAAa45cos45cosvvv+=oo=+=lvllv2)(2CDOAPAAByoo45cos45cosAravvv=lv2r由24得0knPAPAnAr=+aaaaa2OAlAB2l2AB2lrAB2vx045coskPAnA=+aaao222PAAB5.2222=lllla7.31两个半径为cm20=r中心距离保持不变的圆盘在地面作纯滚动在其边缘BD处铰接的连杆BD上安装一滑块C杆AC一端与滑块铰接另一端与一圆盘的中心A铰接若A以cms60A=v匀速水平向左运动求图示位置杆AC的角速度和滑块C相对BD的速度以及杆AC的角加速度解矢量法圆盘rads3AA=rv0AA=ra基点BAABvvv+=1nBABAABaaaa+=0A=a0BA=a2C基点CAACvvv+=3nCACAACaaaa+=0A=a4C动系BDerCvvv+=Bevv=5erCaaa+=Beaa=6由135得CAABAArvvvvv+=+yoo30cos30sinCABAvv=rads13CAAC=rvxoo30sin30cosCABArvv-v=cms320r=v由246得nCACAnBAraaaa+=+yooo30sin30cos30cosnCACABAaaan=2CAACrads3383=ra分析法取为坐标存在约束方程=cossin3rr高丽营对上式连续求导得=sincos3=