高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学业分层测评含解析【新人教版】.docx

2.3 数学归纳法学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1(2016广州高二检测)用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)，第一步验证()An1Bn2Cn3Dn4【解析】由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立【答案】C2已知f(n)，则()Af(n)共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)共有n2n1项，当n2时，f(2)【解析】结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n1，n2的连续自然数共有n2n1个，且f(2).【答案】D3用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN*)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2【解析】当nk时，等式左边12k2，当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2，故选D.【答案】D4设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(5)25成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k8时，均有f(k)k2成立D若f(4)25成立，则当k4时，均为f(k)k2成立【解析】对于A，若f(3)9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k)k2成立，故A错；对于B，若f(5)25成立，则当k5时均有f(k)k2成立，故B错；对于C，应改为“若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)k2成立”【答案】D5已知命题12222n12n1及其证明：(1)当n1时，左边1，右边2111，所以等式成立(2)假设nk(k1，kN*)时等式成立，即12222k12k1成立，则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立判断以上评述()A命题、推理都正确B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确D命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明nk1时，没有用到假设nk的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B.【答案】B二、填空题6若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_. 【解析】f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2，f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2，即f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案】f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)27用数学归纳法证明：.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_【解析】当nk1时，目标不等式为：.【答案】8用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_【解析】当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左边添加的式子为(k1)2k2.【答案】(k1)2k2三、解答题9用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN*)【解】(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时等式成立根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立10用数学归纳法证明：1n(nN*，n1)【证明】(1)当n2时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk时，不等式成立，即1k，则当nk1时，有1kkk1，所以当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立能力提升1用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确【解析】n为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设n2k1(kN*)时正确，再推出n2k1时正确故选B.【答案】B2对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立；(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，所以当nk1时，不等式成立上述证法()A过程全都正确Bn1验证不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确【解析】n1的验证及归纳假设都正确，但从nk到nk1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数学归纳法的证题要求故选D.【答案】D3用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_.【解析】当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.【答案】25(34k252k1)5634k24设函数yf(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN*)的表达式，并用数学归纳法加以证明【解】(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1，f(2)f(11)1124，f(3)f(21)412219，f(4)f(31)9123116.(3