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函数与极限函数与极限习题与解析习题与解析（同济大学第六版高等数学）（同济大学第六版高等数学）一、填空题一、填空题1、设xxxflglg2)(，其定义域为。2、设)1ln()(xxf，其定义域为。3、设)3arcsin()(xxf，其定义域为。4、设)(xf的定义域是0，1，则)(sinxf的定义域为。5、设)(xfy的定义域是0，2，则)(2xfy的定义域为。6、432lim23xkxxx，则k=。7、函数xxysin有间断点，其中为其可去间断点。8、若当0x时，xxxf2sin)(，且0)(xxf在处连续，则)0(f。9、)21(lim222nnnnnnnn。10、函数)(xf在0 x处连续是)(xf在0 x连续的条件。11、352352)23)(1(limxxxxxx。12、3)21(limenknn，则k=。13、函数23122xxxy的间断点是。14、当x时，x1是比13xx的无穷小。15、当0x时，无穷小x11与x相比较是无穷小。16、函数xey1在x=0处是第类间断点。17、设113xxy，则x=1为y的间断点。18、已知33f，则当a为时，函数xxaxf3sin31sin)(在3x处连续。19、设0)1(02sin)(1xaxxxxxfx若)(lim0 xfx存在，则a=。20、曲线2sin2xxxy水平渐近线方程是。21、114)(22xxxf的连续区间为。22、设0cos0)(xxxaxxf在0x连续，则常数a=。二、计算题二、计算题1、求下列函数定义域（1）211xy；（2）xysin；（3）xey1；2、函数)(xf和)(xg是否相同？为什么？（1）xxgxxfln2)(ln)(2；（2）2)()(xxgxxf；（3）xxxgxf22tansec)(1)(；3、判定函数的奇偶性（1）)1(22xxy；（2）323xxy；（3）)1)(1(xxxy；4、求由所给函数构成的复合函数（1）22sinxvvuuy；（2）21xuuy；（3）xveuuyvsin2；5、计算下列极限（1）)2141211(limnn；（2）2)1(321limnnn；（3）35lim22xxx；（4）112lim221xxxx；（5）)12)(11(lim2xxx；（6）2232)2(2limxxxx；（7）xxx1sinlim20；（8）xxxx131lim21；（9）)1(lim2xxxx；6、计算下列极限（1）xwxxsinlim0；（2）xxx5sin2sinlim0；（3）xxxcotlim0；（4）xxxx)1(lim；（5）1)11(limxxxx；（6）xxx10)1(lim；7、比较无穷小的阶（1）32220 xxxxx与，时；（2）)1(21112xxx与，时；8、利用等价无穷小性质求极限（1）30sinsintanlimxxxx；（2）)()(sin)sin(lim0是正整数mnxxmnx；9、讨论函数的连续性。在11311)(xxxxxxf10、利用函数的连续性求极限（1）)2cos2ln(lim6xx；（2）)(lim22xxxxx；（3）xxxsinlnlim0；（4）xxx2)11(lim；（5）)11(lim)1(lim)(1tfnxxftnn求设；（6）)11ln(limxxxx；11、设函数00)(xxaxexfx应当怎样选择a，使得)()(，成为在xf内的连续函数。12、证明方程135xx至少有一个根介于1和2之间。（B）1、设)(xf的定义域是0，1，求下列函数定义域（1）)(xefy（2）)(lnxfy2、设000)(00)(2xxxxgxxoxxf求)()()()(xfgxgfxggxff3、利用极限准则证明：（1）111limnn（2）11lim0xxx；（3）数列222222的极限存在；4、试比较当0x时，无穷小232xx与x的阶。5、求极限（1）)1(lim2xxxx；（2）1)1232(limxxxx；（3）30sintanlimxxxx；（4）)000()3(lim10cbacbaxxxxx；6、设001sin)(2xxaxxxxf要使)()(在xf内连续，应当怎样选择数a？7、设01)1ln(0)(11xxxexfx求)(xf的间断点，并说明间断点类型。（C）1、已知xxfexfx1)()(2，且0)(x，求)(x并写出它的定义域。2、求下列极限：（1）、lncos)1ln(coslimxxx；（2）、xxxxxcossin1lim0；（3）、求xxxx2sin3553lim2；（4）、已知9)(limxxaxax，求常数a。（5）、设)(xf在闭区间ba上连续，且bbfaaf)()(，证明：在开区间)(ba内至少存在一点，使)(f。第一章函数与极限习题解析（A）一、填空题一、填空题（1）21(（2）)1(（3）2，4（4）zkkxkx)12(2（5）22（6）-3（7）0xzkkx（8）2（9）1（10）充分（11）21（12）23（13）x=1x=2（14）高阶（15）同阶（16）二（17）可去（18）2（19）-ln2（20）y=-2（21）21(12（22）1二、计算题二、计算题1、（1）)1()11()1(（2）)0（3）)0()0(2、（1）不同，定义域不同（2）不同，定义域、函数关系不同（3）不同，定义域、函数关系不同3、（1）偶函数（2）非奇非偶函数（3）奇函数4、（1）22)(sinxy（2）12xy（3）sin2xey5、（1）2（2）21（3）-9（4）0（5）2（6）（7）0（8）22（9）216、（1）w（2）52（3）1（4）1e（5）2e（6）1e7、（1）的低阶无穷小是3222xxxx（2）是同阶无穷小8、（1）21（2）nmnmnm109、不连续10、（1）0（2）1（3）0（4）2e（5）0（6）-211、a=1（B）1、（1）提示：由10xe解得：0(x（2）提示：由1ln0x解得：1ex2、提示：分成ox和0x两段求。)()(xfxff，0)(xgg，0)(xgf)()(xgxfg4、（1）提示：nn11111（2）提示：xxxxxx11)11(（3）提示：用数学归纳法证明：222na5、提示：xxxxxxx1312232令tx12（同阶）6、（1）提示：乘以xx12；21（2）提示：除以x2；e（3）提示：用等阶无穷小代换；21（4）提示：xxxxcba1)3(xcbacbaxxxxxxxxxcba3111111313111（3abc）7、提示：)0()(lim)(lim00fxfxfxx（0a）8、1x是第二类间断点，0x是第一类间断点（C）1、解：因为xexfx1)(2，故)1ln()(xx，再由0)1ln(x，得：11x，即0x。所以：)1ln()(xx，0x。2、解：原式=)cossin1(cossin1lim20 xxxxxxxx=xxxxx20sinsin21lim=)sin(sinlim210 xxxxx=03、解：因为当x时，xx22sin，则xxxx2sin3553lim2=xxxx23553lim2=xxxx35106