史上的数学微积分公式三角函数定理.pdf

高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ， ， ， ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg -ctg 360 + sin cos tg ctg 和差角公式：和差角公式： 和差化积公式：和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 倍角公式：倍角公式： 半角公式：半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2 222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率：曲率： 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg . 1 ; 0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式： b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间空间解析几何和向量代数：解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( .sin, cos ,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：重积分及其应用： D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱柱面坐标和球面坐标：面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin),(sin),(),( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： )( )()()()(),(),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( )0 , 0(),(),(2 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分：曲面积分： dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div )coscoscos( ., 0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： 通量与散度：高斯公式的物理意义 斯托克斯公式斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系： dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( 常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1( 321 1 1 1 12 级数审敛法：级数审敛法： 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数：幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式：欧拉公式： 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数：三角级数： 。上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，其中， 0 ,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数：傅立叶级数： 是偶函数 ，余弦级数： 是奇函数 ，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 其中 ，周期 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2 )(0)( ,0)( )()(1 )()( )( nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， sin)(cos)()( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 1 一一. 函数的概念函数的概念 1用变上、下限积分表示的函数用变上、下限积分表示的函数 （1）( )dttfy x = 0 ，其中( )tf连续，则( )xf dx dy = （2）( ) ( ) ( ) dttfy x x = 2 1 ， 其中( )x 1 ，( )x 2 可导，( )tf 连续， 则( )( )( )( )xxfxxf dx dy 1122 = 2两个无穷小的比较两个无穷小的比较 设( )0lim=xf，( )0lim=xg，且 ( ) ( ) l xg xf =lim （1）0=l，称( )xf是比( )xg高阶的无穷小，记以 ( )( )xgxf0=，称( )xg是比( )xf低阶的无穷 小。 （2）0l，称( )xf与( )xg是同阶无穷小。 （3）1=l，称( )xf与( )xg是等价无穷小，记以 ( )( )xgxf 3常见的等价无穷小常见的等价无穷小 当0x时 xx sin，xx tan，xx arcsin，xx arctan 2 2 1 cos1xx，xe x 1，()xx 1ln+， ()xx 11 + 二求极限的方法二求极限的方法 1利用极限的四则运算和幂指数运算法则利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2两个准则两个准则 准则 1单调有界数列极限一定存在 （1）若 nn xx +1 （n为正整数）又mxn（n为正 整数） ，则Axn n = lim存在，且mA （2）若 nn xx +1 （n为正整数）又Mxn（n为正 整数） ，则Axn n = lim存在，且MA 准则 2 （夹逼定理）设( )( )( )xhxfxg 若( )Axg=lim，( )Axh=lim，则( )Axf=lim 3两个重要公式两个重要公式 公式 11 sin lim 0 = x x x 公 式 2 e n n n = + 1 1lim；e u u u = + 1 1lim； ()evv v =+ 1 0 1lim 4用无穷小重要性质和等价无穷小代换用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻） （数学一和 数学二） 当0x时，( ) n n x x n xx xe0 ! 2 1 2 += () () () 12 1253 0 !12 1 ! 5! 3 sin + + + + += n n n x n xxx xx () () () n n n x n xxx x 2 242 0 !2 1 ! 4! 2 1cos+= ()()( ) n n n x n xxx xx01 32 1ln 1 32 +=+ + ()() 12 12 1 53 0 12 1 53 arctan + + + + + += n n n x n xxx xx () ()()() ( ) nn xx n n xxx0 ! 11 ! 2 1 11 2 + + +=+ 6洛必达法则洛必达法则 法则 1 （ 0 0 型）设（1）( )0lim=xf，( )0lim=xg （2）x变化过程中，( )x f ，( )x g 皆存在 （3） ( ) ( ) A xg xf = lim（或） 则 ( ) ( ) A xg xf =lim（或） （注： 如果 ( ) ( )xg xf lim不存在且不是无穷大量情形，则 不能得出 ( ) ( )xg xf lim不存在且不是无穷大量情形） 法则 2 （ 型） 设 （1）( )=xflim，( )=xglim （2）x变化过程中，( )x f ，( )x g 皆存在 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 2 （3） ( ) ( ) A xg xf = lim（或） 则 ( ) ( ) A xg xf =lim（或） 7利用导数定义求极限利用导数定义求极限 基本公式： ()() () 0 00 0 limxf x xfxxf x = + 如果 存在 8利用定积分定义求极限利用定积分定义求极限 基本公式 ( ) = = 1 0 1 1 limdxxf n k f n n k n 如果存在 三函数的间断点的分类三函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点 设 0 x是函数( )xfy =的间断点。如果( )xf在间断点 0 x处的左、右极限都存在，则称 0 x是( )xf的第一类间断 点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断 点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 四闭区间上连续函数的性质四闭区间上连续函数的性质 在闭区间ba,上连续的函数( )xf，有以下几个基本 性质。这些性质以后都要用到。 定理 1 （有界定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上 连续，则( )xf必在ba,上有界。 定理 2 （最大值和最小值定理）如果函数( )xf在闭 区间ba,上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和 最小值m。 其中最大值M和最小值m的定义如下： 定义 设()Mxf= 0 是区间ba,上某点 0 x处的函数 值，如果对于区间ba,上的任一点x，总有( )Mxf， 则称M为函数( )xf在ba,上的最大值。 同样可以定义最 小值m。 定理 3 （介值定理）如果函数( )xf在闭区间ba,上 连续， 且其最大值和最小值分别为M和m， 则对于介于m 和M之间的任何实数c，在ba,上至少存在一个，使 得 ( )cf= 推论：如果函数( )xf在闭区间ba,上连续，且( )af 与( )bf异号，则在()ba,内至少存在一个点，使得 ( )0=f 这个推论也称为零点定理 五导数与微分计算五导数与微分计算 1导数与微分表导数与微分表 ( )0= c ( )0=cd () 1 = xx（实常数）()dxxxd 1 = （实常数） ()xxcossin= xdxxdcossin= ()xxsincos= xdxxdsincos= ()xx 2 sectan= xdxxd 2 sectan= ()xx 2 csccot= xdxxd 2 csccot= ()xxxtansecsec= xdxxxdtansecsec= ()xxxcotcsccsc= xdxxxdcotcsccsc= () ax x a ln 1 log= ()1, 0aa ax dx xd a ln log=()1, 0aa () x x 1 ln= dx x xd 1 ln= ()aaa xx ln= ()1, 0aa adxada xx ln=()1, 0aa 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 3 ( ) xx ee= dxede xx = () 2 1 1 arcsin x x = dx x xd 2 1 1 arcsin = () 2 1 1 arccos x x = dx x xd 2 1 1 arccos = () 2 1 1 arctan x x + = dx x xd 2 1 1 arctan + = () 2 1 1 cot x xarc + = dx x xdarc 2 1 1 cot + = () 22 22 1 ln ax axx + = + ()dx ax axxd 22 22 1 ln + =+ () 22 22 1 ln ax axx = + ()dx ax axxd 22 22 1 ln =+ 2四则运算法则四则运算法则 ( )( )( )( )xgxfxgxf= ( )( )( ) ( )( ) ( )xgxfxgxfxgxf+= ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xg xgxfxgxf xg xf 2 = ( )()0xg 3复合函数运算法则复合函数运算法则 设( )ufy =，( )xu=， 如果( )x在x处可导，( )uf 在对应点u处可导，则复合函数( )xfy=在x处可导， 且有 ( )( )xxf dx du du dy dx dy = 对应地( )( )( )dxxxfduufdy= 由于公式( )duufdy=不管u是自变量或中间变量 都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则由参数方程确定函数的运算法则 设( )tx=，( )ty=确定函数( )xyy =， 其中( )t， ( )t存在，且( )0 t ，则 ( ) ( )t t dx dy = ( )()0 t 二阶导数 ( ) ( )( )( ) ( )3 2 2 1 t tttt dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx yd = = = 5反函数求导法则反函数求导法则 设( )xfy =的反函数( )ygx =，两者皆可导，且 ( )0 x f 则 ( ) ( )( )ygfxf yg = = 11 ( )()0 x f 二阶导数( ) ( )( ) dx dy dx xf d dy ygd yg 1 1 = = ( ) ( ) ( ) ( )3 3 ygf ygf xf xf = = ( )()0 x f 6隐函数运算法则隐函数运算法则 设( )xyy =是由方程()0,=yxF所确定，求 y 的方 法如下： 把()0,=yxF两边的各项对x求导，把y看作中间变 量， 用复合函数求导公式计算， 然后再解出 y 的表达式 （允 许出现y变量） 7对数求导法则对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导 方法得出导数 y 。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关 于 幂 指 函 数( ) ( )xg xfy =常 用 的 一 种 方 法 考研数学知识点-高等数学 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月 4 ( )( )xfxg ey ln =这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 8可微与可导的关系可微与可导的关系 ( )xf在 0 x处可微( )xf在 0 x处可导。 9求求n阶导数（阶导数（2n，正整数），正整数） 先求出,yy 总结出规律性，然后写出 ( )n y，最后 用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的n阶导数公式 （1） x ey = ( )xn ey= （2）()1, 0=aaay x ( ) ()n xn aayln= （3）xysin= ( ) += 2 sin n xy n （4）xycos= ( ) += 2 cos n xy n (5) xyln= ( ) ()() n n n xny =!11 1 两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式 ( ) ( )( ) ( )( )()( ) = = n k knkk n n xvxuCxvxu 0 其 中 ()! ! knk n C k n =， ( )( ) ( )xuxu= 0 ， ( )( )