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+-展开法及其非线性演化方程的孤立波解目 录摘要IIAbstractII第1章 绪论21.1 非线性偏微分方程21.1.1 非线性科学概述21.1.2 非线性偏微分方程的解法综述21.1.3 数学机械化与符号计算21.2基本概念21.2.1 孤立子及尖峰孤立子21.2.2 孤立子分类2第2章 方法介绍22.1 齐次平衡原则22.2 -展开法22.2.1 -展开法简介22.2.2 扩展的-展开法23 研究实例23.1第一类-展开法的方程求解23.1.1修正的常系数Kawachara方程23.1.2 常系数的KDV方程23.2第二类-展开法的方程求解23.3第三类-展开法的方程求解23.4第四类-展开法的方程求解2结语2参考文献2I+-展开法及其非线性演化方程的孤立波解摘要物理学的进展在很大程度上依赖于非线性数学及求解非线性方程的方法的进展因此，如何求解非线性数学物理方程在现代科学研究中具有重要的理论和实践价值 本文在第一章中简要介绍了非线性偏微分方程的发展及孤立子的基本概念。在第二章中介绍了王明亮、李志斌教授的齐次平衡原则和展开法，重点是对展开法的拟解形式做出了三种改进和拓展。经典拟解和拓展拟解形式为是： 、和。在第三章中运用第一种经典拟解形式求解了修正的常系数Kawachara方程和常系数KDV方程，得到了多种形式的孤立波解；运用第一种改进的拟解形式求解了常系数BBM方程，也得到了各种形式的孤立波解；运用第二种改进的拟解形式求解了常系数色散耗散方程，得到了各种形式的孤立波解；运用第三种改进的拟解形式求解了变系数Burgers方程，也得到了相应的三角函数和指数形式的孤立波解。 关键词：-展开法；齐次平衡原则；非线性偏微分方程；孤立波解-expansion method and solitary wave solutions of onlinear evolution equationsAbstractThe progress in physics depends heavily on nonlinear mathematics and the progress of solving nonlinear equation method. Therefore, how to solve the nonlinear equations of mathematical physics has important value of theory and practice in modern scientific research. In the first chapter ,This article briefly introduced the development of nonlinear partial differential equations and the basic concepts of soliton. In the second chapter, this article briefly introduced homogeneous balance principle proposed by Wang Mingliang and Professor Li Zhibin and the expansion method. It is important to make the three forms of the Improved quasi-solution of the expansion method. the forms of the classic quasi-solution and Improved quasi-solution are：、and. In the third chapter ,this article solves a amendment constant coefficients Kawachara equation and the constant coefficients KDV equation by the classical form of the expansion quasi-solution,and obtains Various forms of solitary wave solutions. this article solves the BBM equation with constant coefficients by the first improved form of the expansion quasi-solution, and obtains Various forms of solitary wave solutions.this article solves the dispersive - dissipative equation with constant coefficients by the second improved form of the expansion quasi-solution, and obtains Various forms of solitary wave solutions.this article solves the Burgers equation with variable coefficients by the third improved form of the expansion quasi-solution, and obtains the trigonometric and exponential forms of solitary wave solutions. Keywords: the-expansion; homogeneous balance principle; nonlinear partial differential equations; Solitary wave solutionsIV第1章 绪论1.1 非线性偏微分方程1.1.1 非线性科学概述自然科学中的许多现象如现代物理学、力学、光学中的激光、超导、晶格、位错、等离子物理、凝聚态物理、大气物理、流体力学等都是借助于非线性数学物理方程来描述的同时非线性偏微分方程研究作为数学模型出现在化学、信息科学、生命科学、空间科学、地理科学和环境科学等领域中,因此非线性偏微分方程的解法以及解的性质等问题也是非线性科学的重要组成部分1.1.2 非线性偏微分方程的解法综述在物理学、力学、大气动力学、生命科学等许多自然科学领域中存在许多非线性问题，而这些非线性问题大都可归结为非线性微分方程,特别是非线性偏微分方程, 一般称为非线性发展方程.其精确解有着重大的理论和应用研究价值，精确解本身是与某些物理现象相对应的，可以用于预测和解释某些重要的物理现象随着现代科学技术的快速发展，人们为了更准确地理解这些现象的内在本质，就需要寻求对应方程的精确解因此，非线性偏微分方程的精确求解及其解法研究成为非线性科学中的前沿研究课题和热点问题，极具挑战性多年来，许多数学家和物理学家为此作了大量的工作就目前而言，非线性数学物理研究领域颇具特色的新成就之一就是创造了求非线性数学物理方程的解特别是孤波解的各种精巧方法如早已闻名的齐次平衡法、双曲函数法、以及Jacobi椭圆函数展开法、试探函数法、辅助方程法、以及新近文献提出的-展开法等，应用这些方法得到了很多非线性发展方程精确的孤立波解或周期解2008年,我国学者王明亮教授等人提出了-展开法,该文发表在Physics Letters A上.基于-展开法,张盛等人提出了一种广义的-展开法,并将其应用到变系数的非线性方程和高维的非线性方程.最近,张盛又将-展开法成功地应用到了差分方程.张辉群将-展开法应用到了一些平衡数为非正整数的方程，如Eckhaus方程、修正的Burgers方程等.但由于非线性发展方程的复杂性，已有的大量的重要方程无法求出精确解.即使能够求得方程的精确解，也只是少数的一些解，无法求出其全部解.并且对不同类型的方程，用的方法可能也不一样，至今还没有任何一种方法可以囊括四海，包罗万象值得庆幸的是，经过数学家和物理学家们的不断努力，许多新的方法被发现，不但过去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物理意义的解不断被发现和应用但继续寻找一些有效可行的求解方法依然是一项十分重要和极有价值的工作1.1.3 数学机械化与符号计算数学机械化是近20年发展起来新兴的数学，计算机及人工智能的交叉学科，是数学学科的前沿和焦点，由于精确描述物理现象的非线性理论是科学发展的必然趋势，其中将不可避免经常涉及到人力难于胜任的十分复杂且精确的代数与微分等的非数值运算，所以借助计算机的大容量、高速度的特点，用精确的符号计算，机械化地来实现数学功能十分必要，其中关键是建立适合于所考虑问题的构造性的代数算法，从而在计算机上实现20世纪70年代末，著名数学家吴文俊院士提出吴方法之后，数学机械化有了突破性进展求解微分方程是古老而在理论和实际上又很重要的研究课题.显式解，特别是行波解可以很好的描述各种物理现象，如振动、传播波等但由于非线性方程的复杂性，至今仍有大量的重要方程无法求出精确解应符号计算发展的需要，计算机科学与数学机械化思想相结合产生了一门新的科学分支计算机代数，它致力于数学求解问题中准确计算的自动化，研究对象是抽象的数学符号和概念，如整数、有理数、多项式等随着计算机的发展和符号计算如Maple或Mathematical的出现，使复杂、冗长的代数运算可以在计算机上完成，完成了人力所不能及的复杂计算，得到了更多方程更多的精确解，使得我们能够更加准确地理解一些物理现象的内在本质和性质1.2基本概念1.2.1 孤立子及尖峰孤立子孤立子理论是非线性科学的一个重要方向,它既反映一类非常稳定的自然现象例如江河中的某一类水波、光纤中的光信号传播等等,又提供了求非线性偏微分方程显式解的方法,因而受到数学界和物理学界的充分重视.目前，对孤立子有多种定义方式，但还没有一个确切的定义.李政道认为：在一个场论系统中，如果有一个经典的解，它在任何时间内都束缚于一个有限区域内，那么这样的解就叫做经典孤立子解.通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性演化方程局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度（或许相位发生变化）.在物理领域，孤立子被理解为：经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波.或者被理解为：非线性演化方程能量有限的解.即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域中去.本文采用下述定义，即：定义1.2.1.1 孤立子是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及与之相应的物理现象.它满足以下三点：(1)孤立子（孤波）是波动问题中的一种能量有限局域解；(2)能在空间给定区域稳定存在；(3)相互作用不改变各自的特性.从以上定义可知，孤立子能量集中在一个较狭小的区域，两个孤立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到原状（或许相位有一些改变）.因此，孤立子具备了粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性.近年来，人们也从更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如说，把能量集中在一个较狭小的区域的静态解有时也称为孤立子.定义1.2.1.2若孤立子解在波峰处有一个不连续的一阶导数，则称此孤立子解为尖峰孤立子解，如下图图1-1尖峰孤立子解1.2.2 孤立子分类通常所说的孤波，是指非线性演化方程局域行波解.所谓“局域”，指的是非线性演化方程的解在空间的无穷远处趋于0或趋于确定常数的情况.目前己经有一系列非线性演化方程存在孤波解，除KdV方程外，比较重要的还有非线性Schrodinger方程、sine-Gopdon方程、Hirota非线性晶格方程、铁磁链方程、布森内斯克方程、波恩-英菲尔德方程.归纳起来，孤波的典型类型不外乎图1-2中的四种:(a)波包型(钟型)；(b)凹陷型(反钟型) ；(c)扭结型；(d)反扭结型.(a) (b)(c) (d)图1-2孤波的典型类型值得说明的是，尽管孤波原本指一类可积非线性演化方程的局域行波解但现在，至少在物理上，孤波概念已经被推广到相对稳定的孤波解.即使原来方程并非可积的例如光孤子理论中，尽管有阻尼项的NLS方程是不可积的，而且实际光纤中的光孤子也不可能不衰减，但在阻尼很小的情况下，相对稳定的孤波仍被称为光孤子在其他一些情况下，对孤波的理解常常也因为实际问题而有所推广第2章 方法介绍2.1 齐次平衡原则齐次平衡方法是王明亮、李志斌教授在1994年提出来的，也称为齐次平衡原则，是求解非线性方程的一种指导性原则，依据该原则，可事先简单的判定某些非线性方程是否可能具有一种特定的形式的精确解存在，如果存在，则可按确定的步骤求出方程的精确解齐次平衡方法是类似于Cole-Hopf变换12的一类非线性变换在一般意义下的讨论齐次平衡原则的主要特点是，从非线性偏微分方程(组)的结构出发，分析其非线性特点、色散和耗散的阶数等因素，按照它们的最高阶数可以部分平衡的原则，确定含有某些待定函数的非线性偏微分方程解的一般形式，然后将这种形式解代回到原目标方程中，合并待定函数及其偏导数的各项的齐次部分，使其平衡，得到待定函数的超定偏微分方程组，再通过特定的假设将超定的偏微分方程(组)化成非线性代数方程组，求解这些代数方程组，就得到原来非线性偏微分方程的解下面对该方法的关键做一下简单的介绍:考虑给定两变元的非线性偏微分方程 (2.1.1) 这里一般具有多项式形式，其中应包含非线性项和线性最高阶偏导数项.引入函数称为方程(2.1.1)的拟解，如果存在函数使得方程(2.1.1)的解可以表示为各阶偏导数的线性组合，即 (2.1.2)其中是低于阶偏导数的线性组合项. 或将( 2.1.2)表示为 (2.1.3) 其中是低于阶偏导数的线性组合项整数函数，待定，于是，齐次平衡法求解非线性方程包含下述四个步骤:1. 确定(2.1.2)或(2.1.3)式中的和是否存在目的是确定(2.1.2)中的最高阶偏导数形式2. 确定(2.1.2)或(2.1.3)式中的函数是否存在3. 确定拟解和(2.1.2)中的组合系数，选择合适的系数使拟解存在4. 如果上述步骤中解存在，将相应结果代(2.1.2)或(2.1.3)，经过一些计算即可得到非线性偏微分方程的精确解实际中，许多非线性数学物理方程和方程组，通过上述方法，大都能够确定所需要的量，因此，其次平衡方法在求解非线性偏微分方程时具有一定的普适性2.2 -展开法2008年，我国学者王明亮等人提出的一种新的寻找非线性发展方程行波解的方法，-展开法.通过使用该方法，大量非线性方程已被成功求解. -展开法在计算物理学中，对于求解非线性偏微分方程问题，尤其是高维的非线性偏微分方程，使用广泛，简明扼要，具有深远的研究价值.2.2.1 -展开法简介对于给定的含有独立变量非线性偏微分方程 (2.2.1.1)其中是待求函数，是及的关于各阶偏导数的多项式.使用-展开法求解方程(2.2.1.1)的主要步骤如下：步骤1 通过行波变换将变量转化为行波变量，设 (2.2.1.2) (2.2.1.3)于是，方程(2.2.1.1)可以转化为只含有行波变量的ODE， (2.2.1.4)其中，是及的关于各阶偏导数的多项式.步骤2 假设方程(1.4.1.4)的解可以用表示成的线性组合多项式形式，即 (2.2.1.5)并且满足如下二阶线性常微分方程(LODE) (2.2.1.6)中的由齐次平衡法确定，为待求常系数，.步骤3 将(2.2.1.5)代入到方程(2.2.1.4)中，运用常微分方程(2.2.1.6)来合并相同幂次项，方程(1.4.1.4)的左端变成一个关于的多项式，并置各幂次项的系数为0，得到一个关于的方程组.步骤4 求解步骤3 中建立的含有的代数方程，并且二阶线性常微分(2.2.1.6)的通解是可求的.将(2.2.1.6)式的通解和代入到(2.2.1.5)式，即可得到方程(2.2.1.1)的多个精确行波解.注I：当时，当时，当时， 其中为任意常数.2.2.2 扩展的-展开法(1) 对于给定的含有独立变量非线性偏微分方程 (2.2.2.1)其中是待求函数，是及的关于各阶偏导数的多项式.使用第一类扩展的-展开法求解方程(1.4.2.1)的主要步骤如下：步骤1 通过行波变换将变量转化为行波变量，设 (2.2.2.2) (2.2.2.3)于是，方程(1.4.2.1)可以转化为只含有行波变量的ODE， (2.2.2.4)其中，是及的关于各阶偏导数的多项式.步骤2 假设方程(2.2.2.4)的解的表示形式可以改进成这样的线性组合多项式形式，即 (2.2.2.5)并且满足如下二阶线性常微分方程(LODE) (2.2.2.6)中的由齐次平衡法确定，为待求常系数，.步骤3 将(2.2.2.5)代入到方程(2.2.2.4)中，合并的相同幂次项，方程(2.2.2.4)的左端变成一个关于的多项式.令各幂次项的系数等于零，得到一个关于的方程组.步骤4 求解步骤3中建立的含有的代数方程，并且辅助方程(2.2.2.6)的通解是可求的.将(2.2.2.6)式的通解和，代入到(2.2.2.5)式，即可得到方程(2.2.2.1)的多个孤立波解。注II： 当时，当时， 其中为任意常数. (2) 在求解非线性发展方程的过程中，在上述解法（1）的基础上作进一步扩展， 把非线性方程解的表示形式进一步改进成这样的线性组合多项式形式，即 (2.2.2.7)步骤1与(i)相同.步骤2 假设方程(1.4.2.4)的解可以用表示成的线性组合多项式形式，即 (2.2.2.8)并且满足如下二阶线性常微分方程(LODE) (2.2.2.9)中的由齐次平衡法确定，为待求常系数，.步骤3 将(2.2.2.8)代入到方程(2.2.2.4)中,合并的相同幂次项，方程(2.2.2.4)的左端变成一个关于的多项式.令各幂次项的系数等于零，得到一个关于的方程组.步骤4 求解步骤3中建立的含有的代数方程，并且辅助方程(2.2.2.9)的通解是可求的.将(2.2.2.8)式的通解和，代入到(2.2.2.9)即可得到方程(2.2.2.1)的各种孤立波解。(iii) 求解非线性发展方程的过程中，在上述解法（1）的基础上作进一步扩展， 把非线性方程解的表示形式进一步改进成这样的线性组合多项式形式，即 (2.2.2.10)步骤1与(i)相同.步骤2 假设方程(1.4.2.4)的解可以用表示成的线性组合多项式形式，即 (2.2.2.11)并且满足如下二阶线性常微分方程(LODE) (2.2.2.12)其中(1.4.2.13)中的由齐次平衡法确定，为待求常系数，为的函数，.步骤3 将(2.2.2.12)代入到方程(2.2.2.4)中，合并的相同幂次项，方程(2.2.2.4)的左端变成一个关于的多项式.令各幂次项的系数等于零，得到一个关于的方程组.步骤4 求解步骤3中建立的含有的偏微分方程组在方系数满足一定条件时的值，并代入(1.4.2.13)，即可得到方程(2.2.2.4)的孤立波解。. 3 研究实例非线性偏微分方程可以描述自然界的许多现象，如流体力学、光纤通信、等离子体、大气环流等.研究这些方程解的性质及结构，可以帮助人们更好的理解这些现象的物理本质.在齐次平衡原则思想下，利用扩展的展开法，研究以下具体实例，验证其良好的可操作性3.1第一类-展开法的方程求解3.1.1修正的常系数Kawachara方程作为实例，首先用经典的-展开法研究了修正的Kawachara方程 (3.1.1.1)这里，是非零常数.引入一个行波变量 (3.1.1.2)其中表示待定的波速度.于是就可以得到关于的一个常微分方程 (3.1.1.3)根据王明亮、李志斌等教授提出的齐次平衡原则，考虑方程(2.1.3)中的最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡，可以确定. 则可设方程(3.1.1.4)具有如下形式的拟解： (3.1.1.4)并且满足如下二阶线性常微分方程(LODE) (3.1.1.5)其中与分别表示、.将(3.1.1.4)与(3.1.1.5)代入方程(3.1.1.3)中，合并的相同幂次项，令其各项系数为零，得到关于的代数方程组： (3.1.1.7)利用求解上述方程组得： (3.1.1.8) 将上述方程组的解代入到(3.1.1.4)式得： (3.1.1.9) 当时， (3.1.1.10)将(3.1.1.10)代入(3.1.1.9)式，可得到修正的Kawachara方程的双曲函数解 (3.1.1.11)其中为任意常数.特别地，当,时, (3.1.1.12)将(3.1.1.812代入(3.1.1.9)式，可得到修正的Kawachara方程的孤波解 (3.1.1.13)其中，. 当时， (3.1.1.14)将(3.1.1.14)代入(3.1.1.9)式，可得到修正的Kawachara方程的有理函数解 (3.1.1.15)其中 当时， (3.1.1.16)将(3.1.1.16)代入(3.1.1.9)式，可得到修正的Kawachara方程的三角函数解 (3.1.1.17)其中，为任意常数.3.1.2 常系数的KDV方程接下来，运用经典的-展开法讨论常系数的KDV方程 (3.1.2.1)引入一个行波变量 (3.1.2.2)其中表示待定的波速度.于是就可以得到关于的一个常微分方程 (3.1.2.3)对(2.2.3)等式左边的多项式,进行积分并取积分常数为零，则得到 (3.1.2.4)由齐次平衡原则知，方程(3.1.2.4)中的最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡，可以确定. 则可设方程(3.1.2.1)具有如下形式的拟解 (3.1.2.5)并且满足如下二阶常微分方程(LODE) (3.1.2.6)其中与分别表示、，为待定常数.将(3.1.2.5)与(3.1.2.6)代入方程(3.1.2.4)中，合并的相同幂次项，令其各项系数为零，得到关于的代数方程组： (3.1.2.7)利用求解上述方程组得： (3.1.2.8)将上述方程组的解代入到(3.1.2.5)式得： (3.1.2.9) 当时， (3.1.2.10)将(3.1.2.10)代入(3.1.2.9)式，可得到KDV方程的双曲函数解(3.1.2.11)其中，为任意常数.特别地，当,时, (3.1.2.12)将(3.1.2.12)代入(3.1.2.9)式，可得到KDV方程的孤波解(3.1.2.13)其中，. 当时， (3.1.2.14)将(3.1.2.14)代入(3.1.2.9)式，可得到KDV方程的有理函数解 (3.1.2.15) 其中 当时， (3.1.2.16)将(3.1.2.16)代入(3.1.2.9)式，可得到KDV方程的三角函数解(3.1.2.17)其中，为任意常数. (3.1.2.17)将上述方程组的解代入到(3.1.2.5)式得： (3.1.2.18) 当时， (3.1.2.19)将(3.1.2.19)代入(3.1.2.18)式，可得到KDV方程的双曲函数解(3.1.2.20)其中，为任意常数.特别地，当,时, (3.1.2.21)将(3.1.2.21)代入(3.1.2.18)式，可得到KDV方程的孤波解(3.1.2.22)其中，. 当时， (3.1.2.23)将(3.1.2.23)代入(3.1.2.18)式，可得到KDV方程的有理函数解 (3.1.2.24) 其中 当时， (3.1.2.25)将(3.1.2.25)代入(3.1.2.18)式，可得到KDV方程的三角函数解(3.1.2.26)其中，为任意常数3.2第二类-展开法的方程求解现在，运用第一种扩展的-展开法讨论常系数BBM方程 (3.2.1)引入一个行波变量 (3.2.2)其中表示待定的波速度.于是就可以得到关于的一个常微分方程 (3.2.3)对(3.2.3)等式左边的多项式,进行积分并取积分常数为零，则得到 (3.2.4)由齐次平衡原则知，方程(3.2.4)中的最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡，可以确定. 则可设方程(3.2.4)具有如下形式的拟解 (3.2.5)并且满足如下二阶常微分方程(LODE) (3.2.6)其中与分别表示、，为待定常数.将(3.2.5)与(3.2.6)代入方程(3.2.4)中，合并的相同幂次项，令其各项系数为零，得到关于的代数方程组： (3.2.7)利用求解上述方程组得： (3.2.8)将上述方程组的解代入到(3.2.5)式得： (3.2.9) 当时， (3.2.10)将(3.2.10)代入(3.2.9)式，可得到BBM方程的双曲函数解(3.2.11)其中，为任意常数.特别地，当,时, (3.2.12)将(3.2.12)代入(3.2.9)式，可得到BBM方程的孤波解 (3.2.13)其中，. 当时， (3.2.14)将(3.2.14)代入(3.2.9)式，可得到BBM方程的有理函数解 (3.2.15)其中 当时， (3.2.16)将(3.2.16)代入(3.2.9)式，可得到BBM方程的三角函数解 (3.2.17)其中，为任意常数. (3.2.18)将上述方程组的解代入到(3.2.5)式得： (3.2.19) 当时， (3.2.20)将(3.2.20)代入(3.2.19)式，可得到BBM方程的双曲函数解(3.2.21)其中为任意常数.特别地，当,时, (3.2.22)将(3.2.22)代入(3.2.19)式，可得到BBM方程的孤波解(3.2.23)其中，. 当时， (3.2.24)将(3.2.24)代入(3.2.19)式，可得到BBM方程的有理函数解 (3.2.25) 其中 当时， (3.2.26)将(3.2.26)代入(3.2.19)式，可得到BBM方程的三角函数解 (3.2.27)其中，为任意常数3.3第三类-展开法的方程求解运用第二种拓展的-展开法研究如下常系数的色散耗散方程 (3.3.1)引入中间变量 (3.3.2)则可将方程(3.3.1)转化为含的方程（本质上仍为的函数） (3.3.3) 由齐次平衡原则知，平衡(3.3.4)中的最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡，可以确定. 则可设方程(3.3.4)具有如下形式的拟解 (3.3.5)并且满足如下常微分方程 (3.3.6)其中，为待求常系数 ，.将(3.3.5)和(3.3.6)代入到方程(3.3.4)中，合并的相同幂次项，方程(3.3.4)的左端变成一个关于的多项式.令各幂次项的系数等于零，得到一个关于的方程组(3.3.7)利用求解上述方程组得： (3.3.8)将上述方程组的解代入到(3.3.5)式得： (3.3.9) 当时， (3.3.10)将(3.3.10)代入(3.3.9)式，可得到色散耗散方程的双曲函数解 (3.3.11)其中为任意常数.特别地，当,时, (3.3.12)将(3.3.12)代入(3.3.9)式，可得到色散耗散方程的孤波解(3.3.13) 其中，. 当时， (3.3.14)将(3.3.14)代入(3.3.9)式，可得到色散耗散方程的有理函数解 (3.3.15)其中 当时， (3.3.16)将(3.3.16)代入(3.3.9)式，可得到色散耗散方程的三角函数解(3.3.17)其中，为任意常数3.4第四类-展开法的方程求解运用第三种拓展的-展开法研究如下变系数Burgers方程 (3.4.1)引入中间变量 (3.4.2)则可将方程(3.4.1)转化为含的方程（本质上仍为的函数） (3.4.3)由齐次平衡原则知，平衡(3.4.4)中的最高阶导数项和非线性项之间的齐次平衡，可以确定. 则可设方程(3.4.4)具有如下形式的拟解 (3.4.5)并且满足如下常微分方程 (3.4.6)其中为待求常系数 ，.将(3.4.5)和(3.4.6)代入到方程(3.4.4)中，合并的相同幂次项，方程(3.4.4)的左端变成一个关于的多项式.令各幂次项的系数等于零，得到一个关于的方程组 (3.4.7) 由(3.4.7)中的，可以得到： (3.4.8)将(3.4.8)中的代入(3.4.7)中的，得 (3.4.9)将(3.4.8)和(3.4.9)代入(3.4.7)中的其他各次幂，当三者成线性关系时得其系数均为. 由(3.47)可得： (3.4.10)当时，我们可以得到 (3.4.11)其中为任意常数.当时，我们可以得到 (3.4.12)其中为任意常数. 再将(3.4.11)-(3.4.12)代入(3.4.10)，得到： 当时，可得到变系数Burgers方程的三角函数解(3.4.13) 当时，可以得到变系数Burgers方程的指数解(3.4.14)结语本文首先简要介绍了非线性偏微分方程、孤立子理论的历史，接着介绍了齐次平衡原则求解非线性发展方程的基本原理和-展开法的步骤，在此基础上提出了四类-展开法，并分别用这四种展开法求得了不同的非线性偏微分方程的各种鼓励波解实践证明，-展开法不仅易于求解常系数非线性发展方程，而且对变系数非线性发展方程仍很高效，简洁，并且具有广泛的应用前景和深远的研究价值.最后，笔者要说明的是，虽然本文侧重于对-展开法拟解形式的研究，并没有对行波变换和辅助方程作重点研究.因此，-展开法可以在在行波变换和辅助方程上作进一步改进，笔者将在以后的学习中对此类问题做进一步探索. 参考文献1 李志斌非线性数学物理方程的行波解M北京：科学出版社，2007.1-2,58-95.2 范恩贵科技系统与计算机代数M北京：科学出版社,2004. 56-68.3 郭玉翠非线性偏微分方程引论M北京：清华大学出版社，2008.5-6,211-215.4 王明亮,李志斌,周宇斌齐次平衡原则及其应用J. 兰州大学学报(自然科学版)，1999,35(03)：08-09.5 Wang Mingliang.The -expansion method and travelling wave solutions of nolinear evolution equations in mathematical physicsJ.Phys Lett A,2008,372(4)：417-423.6 张金良，王明亮推广的F-展开法及变系数KdV和mKdV的精确解J数学物理学报，2006,26A(3)：353-360.7 陈自高,梁芳. 变系数辅助方程法与一类非线性发展方程行波解J. 洛阳理工学院学报(自然科学版),2010,20(4)：75-78.8 陈自高,张愿章变系数辅助方程法求解广义Burgers-KPP方程J 华北水利水电学院学报，2010,31(6)：150-153.9 邢秀芝,吴景珠. 广义变系数Burgers方程的显示精确解J. 河南大学学报河南大学学报(自然科学版)，2011,41(06)：562-566.10杨德五，曹红妍. 变系数Burgers方程新的类周期波解J. 河南大学学报(自然科学版),2006,38(05)：452-454.11闵迪,杨耕文变系数Fisher方程的精确解J. 洛阳理工学院学报(自然科学版),2009,19(04)：39-41.12郭士民. 两种函数展开法与同伦摄动法在微分方程求解中的应用D. 兰州大学硕士学位论文2007.13张金良,王明亮推广的F-展开法及变系数KdV和mKdV的精确解J数学物理学报，2006,26A(3)：353-360.14郑丽霞,杜涛 -展开法与Caloger KDV方程的精确解J. 内蒙古工业大学学报(自然科学版)，2011,30(02)：81-85.15扎其劳修正双曲函数与非线性发展方程的精确解J.内蒙古师范大学学报(自然科学版)，2007,36(1)：15-2134致 谢本篇论文是在我的指导老师的悉心指导下完成的.老师认真严谨、踏踏实实的治学态度，渊博的学识，以及对己对人的严格要求将使我受益终生，在此我特别感谢老师对我的一些正能量。.在去年我刚选取毕业论文题目的时候，老师就开始给我一些帮助和指导，例如：老师指导我提前准备必要的基本理论知识和基本数学软件的操作知识。从这学期的第三周开始，老师严格要求我每周三和每周五到机房学习，并给予指导帮助。以前每次接触到方程总是感觉到莫名其妙的恐惧，但是在陈老师的鼓励和帮助下，我克服了恐惧，培养了自己的自信心。从论文选题、内容组织等方面,陈老师花费了大量的时间和精力,这令我深为感动.在方程的求解和论文的编写过程中,陈老师都始终想方设法为我创造有力的条件,提供各种资料,在学术上给予我诲人不倦的悉心指导,倾注了大量心血陈老师严谨的工作作风和治学态度使我在现在以及将来都受益匪浅在写作论文的过程中，也有其他同学给予我的一些帮助，例如：同学分享参考书籍给我。在此我要感谢你们对我写作论文的帮助，是你们的热心帮助给我写作论文的一些想法；是你们的热心帮助给予我写作论文的愉快轻松的氛围；是你们的热心帮助使本来不太炎热的天气变的更加凉爽。在这毕业季里撰写论文必将成为我人生中的美好回忆，在这里我有太多太多的感触和感动，包括在学习上和在生活上的。总感觉做毕业论文让我成长的很多，事实上也是如此。最后,我再次向帮助和指导过我的老师和同学表示感谢！附录外文原文New exact travelling wave solutions of nonlinear physical equationsAbstractIn this work, we established abundant travelling wave solutions for some nonlinear evolution equations. This method was used to construct travelling wave solutions of nonlinear evolution equations. The travelling wave solutions are expressed by the hyperbolic functions, the trigonometric functions and the rational functions. The -expansion method presents a wider applicability for handling nonlinear wave equations.Keywords: the -expansion method；travelling wave solutions；The nonl