负数的本质与有理数乘法法则——从数学的角度解析“负负得正”

1 / 4 负数的本质与有理数乘法法则 从数学的角度解析“负负得正” 负数的本质与有理数乘法法则 从数学的角度解析“负负得正” 曾小平 石冶郝 (首都师范大学初等教育学院，北京 100048) 一、有理数乘法法则需要数学证明 有理数乘法法则是初中数学的重要内容，“负负得正”是其中的难点，研究表明，虽然学生都能准确记忆有理数乘法法则，并能依据法则进行计算，然而绝大多数学生都不能举出实例来验证法则，更没有学生能够解释法则背后的数学道理，这也就是说，学生仅仅掌握了 有理数乘法的算法，且只能遵循算法进行机械计算，并没有真正理解其中的算理， 导致这种现状的原因可能是多方面的，然而本文只探索有理数乘法的算理是什么，即法则怎么来的，笔者带着这一问题查阅了现行各版本的初中数学教材，发现各版本教材2 / 4 只给出了有理数的乘法法则，而没有给出其中的理由但教材为了让学生发现有理数乘法法则，创设了一个生活化的数学情境，作为脚手架来帮助学生学习法则， 比如，人教版教材创设的是“蜗牛爬行”的情境，一只蜗牛沿着直线 Z 爬行，它现在的位置恰好在 f上的点 O让学生根据生活经验 推断：如果蜗牛一直以每分钟 2 厘米的速度向右左爬行， 3 分钟后前它在什么位置，在此情境中，“被乘数”、“乘数”和“积”涉及 3 个物理量（速度、时间和位移），每个量有 3 个基准（基准点 O、约定正方向和负方向），三者关系比较复杂，弄得学生昏头转向，苏教版、浙教版教材也是采用类似的情境来引入有理数乘法的由于这类情境中的关系极为复杂，学生并不感兴趣，更不可能从中归纳概括出有理数乘法法则 再如，北师大版教材采用了归纳模型，即让学生在计算（ -3） 3=-9、（ -3） 2=-6、（ -3） 1=-3、（ -3） x0=0的基础上，让学生猜想（ -3）（ -1） =?、（ -3）（ -2）=?、（ -3）（ -3） =?等算式的结果，进而归纳出有理数乘法法则而华东师大版教材采用的是相反数模型，即从算式3x2=6 和（ -3） x2=-6 出发，得到结论“两个数相乘，把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来积的相反数”，并3 / 4 用此结论计算 3（ -2） =?和 (-3)（ -2） =?，进而概括出有理数乘法法则然而，学生很难接受这两种模型，因为“两个因数变小了，而乘积却变大了”，这与学生已有经验相矛盾。 其实，有理数乘法法则并非人为规定，也不是根据生活实例和计算结果归纳出来的，而是由正负数的数学本质和运算的定义决定的也就是说，有理数乘法法则是依赖于数学的特征和数学和谐运转的需要，它的正确性可以用数学逻辑来证明遗憾的是，现有证明都用到抽象代数中集、群、环的相关理论，非专业人士很难理解，不可能用于初中数学教学。 然而，只要我们从负数的数学本质人手，根据整数四则运算的常用结论，可以证明有理数乘法法则该证明难度不大，比较轻松地突破了“负负得正”，初中学生容易理解同时，从数学出发用推理的方式证 明有理数乘法法则，可以弥补上述教材所采用的归纳方法的逻辑缺陷。 二、负数的数学本质与有理数乘法法则 在非负数范围内，加法可以畅通无阻地进行，即任何4 / 4 两个非负数相加，其结果是非负数，可是，在非负数范围内，减法却不能畅通无阻地进行，当减数大于被减数时差不是非负数然而，减法和加法互为逆运算，应当具备同样的性质，其地位才是对等的，因此，要适当延伸非负数，即增加一些新的数，得到一个更广阔的范围，在这个范围内，减法可以畅通无阻地进行，而原来能在非负数范围内进行的四则运算仍然保持原来的结果和运 算律（加法和乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律）。 1负数的数学本质 负数最早出现在中国古代数学名著九章算术的“方程术”中，在用加减消元法解多元一次方程组时，为了表示小数减大数的运算结果，便引入了负数后来，魏晋时期的数学家刘徽在