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CHANGSHACHANGSHA UNIVERSITYUNIVERSITY OFOF SCIENCESCIENCE Hotelling model; Bayesian equilibrium; Cournot duopoly model 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 3页共 3页 目录 第一章 绪论1 第二章 完全信息静态博弈2 2.1博弈论的基本概念2 2.2纳什均衡2 2.3纳什均衡的应用举例3 2.3.1伯川德模型3 2.3.2霍特林模型4 2.3.3古诺的双寡头垄断模型6 2.3.4伯川德双寡头模型8 第三章 不完全信息静态博弈10 3.1 不完全信息博弈10 3.2海萨尼转换10 3.3贝叶斯纳什均衡12 3.4不完全信息古诺模型12 第四章 完全信息静态伯川德双寡头博弈模型15 第五章 不完全信息静态伯川德双寡头博弈模型17 5.1一个厂商不确知另一个厂商边际成本的情形17 5.2两厂商不确知对方边际成本的情形18 第六章 结束语21 参考文献22 致谢23 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 1页共 23页 第一章 绪论 在经济生活中,常常存在具有相关性的替代品和互补品在电脑、 空调、 彩电等一些行业中， 市场上往往只有有限几个厂商供给同类产品，各个厂商的产品具有一定的替代性，各厂商指 定自己产品的销售价格，以谋取最大利润。对于一个厂商确知自己的边际成本,而不确知另一 个厂商的边际成本,以及两个厂商都不确知对方的边际成本的这类情况， 人们常常用伯川德双 寡头博弈模型来分析厂商的价格策略。 而在现实的经济问题中，各厂商的边际成本一般是商业秘密，其他厂商是不能却知的， 但目前尚未见到不完全信息的伯川德双寡头博弈模型。因此本文不完全信息的伯川德双寡头 博弈模型来分析厂商的经济行为对现实具有重要指导意义。 文中先介绍了完全信息静态博弈中最典型的均衡纳什均衡，然后详述了纳什均衡的 应用模型。在研究市场中企业的竞争行为时，学者们常常采用古诺模型，用产量作为企业竞 争的决策变量，而伯川德模型用价格作为决策变量。但伯川德模型本身由于推导结果过于极 端，存在伯川德悖论，于是在伯川德模型的基础上，文章继续引出霍特林模型解决此悖论。 在完全信息静态博弈的基础上，文章拓展到不完全信息博弈。在现实生活中，参与人对 对手的了解往往是不够精确的，博弈双方只知道对方不同类型的分布概率。海萨尼转换将不 确定性条件下的选择转换为风险条件下的选择。在给定自己的特征和其他局中人特征的概率 分布的情况下，每个局中人选择策略使自己的期望支付达到最大化，即为贝叶斯纳什均衡。 最后，文章从两个角度分别概述了不完全信息静态伯川德双寡头博弈模型，即一个厂商 不确知另一个厂商边际成本的情形和两厂商不确知对方边际成本的情形。此模型提供了一种 分析此类厂商价格策略的数学分析方法，对现实具有极大的借鉴意义。 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 2页共 23页 第二章 完全信息静态博弈 2.1 博弈论的基本概念 寡头：寡头市场又称为寡头垄断市场，它是指少数几家厂商控制整个市场的产品的生产 和销售的这样一种市场组织。寡头市场被认为是一种较为普遍的市场组织，西方国家中不少 行业都表现出寡头垄断的特点，例如，美国的汽车业、电气设备业、罐头行业等，都被几家 企业所控制。 替代品：替代品是指两种产品存在相互竞争的销售关系，即一种产品销售的增加会减少 另一种产品的潜在销售量，反之亦然。替代品与互补品是相互对立的概念。对替代品的判别 亦可根据交叉弹性系数的正负号来进行。当交叉弹性系数为正值时，即一种产品价格的提高 （销售减少）会引起另一种产品需求量的增加，这时两种产品是替代品。 完全信息静态博弈： “完全信息”指的是每个参与人对所有其他参与人的特征（包括战略 空间、支付函数等）有完全的了解， “静态”指的是所有参与人同时选择行动且只选择一次。 2.2 纳什均衡 纳什均衡，又称为非合作博弈均衡，以约翰纳什命名，是完全信息静态博弈解得一般 概念。在一个博弈过程中，无论对方的策略选择如何，当事人一方都会选择某个确定的策略， 则该策略被称作支配性策略。 如果两个博弈的当事人的策略组合分别构成各自的支配性策略， 那么这个组合就被定义为纳什均衡。没有任何一个战略严格优于纳什均衡战略。 一个策略组合被称为纳什均衡，当每个博弈者的均衡策略都是为了达到自己期望收益的 最大值，与此同时，其他所有博弈者也遵循这样的策略。 1 定义在n个参与者标准式博弈 nn uuSSG,;, 11 =中，如果战略组合 * 1 , n ss满足对每 一个参与者i， * i s是（至少不劣于）他针对其他1n个参与者所选战略 * 1 * 1 * 1 , nii ssss + 的 最优反应战略，则称战略组合 * 1 , n ss是该博弈的一个纳什均衡。即： ),(),( * 1 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1niiiiniiii sssssusssssu + (1) 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 3页共 23页 对所有 i S中的 i s都成立，亦即 * i s是以下最优化问题的解： * 1 * 1 * 1 ,max niiii Ss sssssu ii + (2) 2.3 纳什均衡的应用举例 2.3.1 伯川德模型 伯川德模型是由法国经济学家伯川德于1883年建立的。古诺模型是把厂商的产量作为竞 争手段，是一种产量竞争模型，而伯川德模型是一种价格竞争模型。伯川德模型的前提假定 条件为当企业制定其价格时，认为其他企业的价格不会因它的决策而改变，并且 n 个寡头企 业的产品是完全替代品。 当2=n时，A、B 两个企业的价格分别为 1 P、 2 P，边际成本都等于C。 伯川德模型的假设为： （1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争； （2）各寡头厂商生产的产品是同质的； （3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为 。 根据模型的假定，由于 A、B 两个企业的产品是完全替代品，所以理性消费者的选择就 是价格较低企业的产品；如果 A、B 的价格相等，则两个企业平分需求。于是，每一个企业 的需求函数为： = = ji jii jii jii PP PPPQ PPPQ PPQ 当 当 当 , 0 ),( 2 1 ),( ),(3) 因此，两个企业会竞相削价以争取更多的消费者。当价格降到CPP= 21 时，达到均衡， 即伯川德均衡。只要有一个竞争对手存在，企业的行为就如同在完全竞争的市场结构中一样， 产品价格等于边际成本。 根据伯川德模型，低价产品厂商将赢得整个市场，而高价产品厂商将失去整个市场，因 此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即其均衡解为： 0 CMCPP ji =(4) 根据伯川德均衡可以得到两个结论： （1）寡头市场的均衡价格为 P=MC； 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 4页共 23页 （2）寡头的长期经济利润为0。 该结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结 果，这显然与实际经验不符，因此被称为伯川德悖论。 伯川德模型之所以会得出这样的结论，与它的前提假定有关。从模型的假定来看至少存 在以下两方面的问题： （1）假定企业没有生产能力的限制。如果企业的生产能力是有限的，它就无法供应整个 市场的产品，故其价格也不会降到边际成本的水平上。 （2）假定企业生产的产品是完全替代品。如果企业生产的产品不完全相同，就可以避免 直接的价格竞争。 伯川德模型假设价格为策略性变量而使此模型更为现实，但是其推导出的结果却过于极 端；但由于与现实不甚相符而遭到了很多学者的批评。这是我们为什么将其称之为伯川德悖 论的主要原因。因此，学者们在研究市场中企业的竞争行为时，更多的是采用古诺模型，即 用产量作为企业竞争的决策变量。 2.3.2 霍特林模型 伯川德证明，即使只有两个企业，在均衡情况下，价格等于边际成本，企业的利润为零， 与完全竞争市场均衡一样。这便是所谓的“伯川德悖论” 。解决这个悖论的办法之一是引入产 品的差异性。如果不同企业生产的产品是有差异的，替代弹性就不会是无限的，此时消费者 对不同企业的产品有着不同的偏好，价格不是他们感兴趣的唯一变量。在存在产品差异的情 况下，均衡价格不会等于边际成本。 下面引入一种产品差异的形式：空间上的差异，这就是经典的 Hotelling 模型。 3 在 Hotelling 模型中，产品的物质性能相同，但在空间位置上有差异。因为在不同的空间位置上， 消费者要支付不同的额运输成本，他们关心的是价格与运输成本之和，而不单单是价格。假 定有一长度为1的线形市场，消费者均匀分布在 1 , 0区间内，分布密度为1。假定两寡头分别 位于城市的两端，即寡头1在0=x，寡头2在1=x，出售相同的产品。该产品单位成本为c， 消费者购买商品的旅行成本与离寡头的距离成比例，单位距离的成本为t。这样，住在x的消 费者如果在寡头1采购，要花费tx的旅行成本；如果在寡头2采购，要花费)1 (xt。假定消费 者具有单位需求，即或者消费0或1个单位，消费者从消费中得到的消费剩余未 s。 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 5页共 23页 假定两寡头同时选择自己的销售价格。为了简单起见，我们假定 s相对于购买成本（价 格加旅行费用）而言足够大从而所有消费者都购买1个单位的产品。令 i p为寡头i的价格， ),( 21 ppDi为需求函数，2 , 1=i。如果住在x的消费者在两个商店之间是无差异的，那么，所 有住在x左边的都将在寡头1购买，而住在x右边的将在寡头2购买需求分别为xD= 1 ， xD=1 2 。其中x满足： )1 ( 21 xtptxp+=+(5) 于是 t tpp x 2 12 + =(6) 从而 t tpp xppD 2 ),( 12 211 + =(7) t tpp xppD 2 1),( 21 212 + =(8) 利润函数分别为： )( 2 1 ),()(),( 1212111211 tppcp t ppDcppp+=(9) )( 2 1 ),()(),( 2122122212 tppcp t ppDcppp+=(10) 寡头i选择自己的价格 i p最大化利润 i ，用一阶求导法则解得最优解为： tcpp+= * 2 * 1 (11) 每个企业的均衡利润为： 2 21 t =(12) 假定两个寡头处在线形市场区间任何位置。假定寡头1位于0 1 x，寡头2位于 2 1x（其 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 6页共 23页 中0 2 x） 。令01 21 xx（即寡头1位于寡头2的左边） 。如果旅行成本为二次式，即旅行成 本为 2 td，这里d是消费者到商店的距离，那么，需求函数分别为： )1 (22 1 ),( 21 1221 1211 xxt ppxx xxppD + +=(13) )1 (22 1 1),( 21 2121 2212 xxt ppxx xxppD + +=(14) 需求函数的第一项是寡头自己的“地盘” （a是住在寡头1左边的消费者，b是住在寡头2 右边的消费者） ，第二项是位于两寡头之间的消费者中靠近自己的一半，第三项代表需求对价 格差异的敏感度。纳什均衡为： ) 3 1)(1 (),( 21 2121 * 1 xx xxtcxxp +=(15) ) 3 1)(1 (),( 12 2121 * 2 xx xxtcxxp +=(16) 当0 21 =xx时，寡头1位于0，寡头2位于1： tcpp+=) 1 , 0() 1 , 0( * 2 * 1 (17) 当 21 1xx=时，两寡头位于同一位置： cxxpxxp=)1 ,()1 ,( 11 * 211 * 1 (18) 2.3.3 古诺的双寡头垄断模型 双寡头模型中只有两个参与人，即模型中的两个垄断企业。在古诺的模型里，每一企业 可以选择的战略是其产品产量，我们假定产品是连续可分割的。由于产出不可能为负，每一 企业的战略空间就可表示为), 0= i S，即包含所有非负实数，其中一个代表性战略 i s就是企 业选择的产量，0 i q。由于产量aQ时，0)(=QP，任一企业都不会有aqi的产出。 假定企业的收益就是其利润额， 这样在一般的两个参与者标准式博弈中， 参与者i的收益 ),( jii ssu就可写为： 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 7页共 23页 ),(),(cqqpqqq jiijii =(19) 因为 QaQP=)(20) 所以 )()( jiji qqaqqp+=+(21) )(),(),(cqqaqcqqpqqq jiijiijii +=(22) 由纳什均衡的定义，对每个参与者i， * i s必须是下面最优化问题的解： ),(max * jii Ss ssu ii 在古诺的双寡头垄断模型中，上面条件可具体表述为：一对产出组合),( * 2 * 1 qq若为纳什均 衡，对每一个企业i， * i q应为下面最大化问题的解： )(max),(max * 0 * 0 cqqaqqq jii q jii q ii += (23) 设caqjb， 即只限于企业i的产品为企业j产品的替代品的情况。 我们假定企业生产没有固定 成本，价格大于0，并且边际成本为常数c，ac i a表示在两个厂商的产品价格为 0 时， 市场对厂商i的产品的需求量，0 i b表示厂商 i的产品价格每增加一个单位市场对该产品的需求量就减少 i b个单位，0 i e表示厂商i的产 品对厂商j的产品具有一定的替代性的替代系数。 因为厂商有无固定成本不影响下面的分析，因此，进一步假设两个厂商生产产品没有固 定成本，厂商i的边际成本为)0( iii acc，两个厂商均追求利润最大化，以上都是两个厂商 的“共同知识” ，则“同时行动”指定各自价格的两个厂商的博弈可表示为如下的数学模型： += += )(),(max )(),(max 2212222212 0 1121111211 0 2 1 cppepbapp cppepbapp p p （3） 由一阶最优条件 = + = = + = 0 )(),( 0 )(),( 2 2212222 2 212 1 1121111 1 211 p cppepba p pp p cppepba p pp （4） 解得厂商 1 和厂商 2 的最优反应函数分别为 1 21111 1 2b pecba p + =（5） 2 12222 2 2b pecba p + =（6） 联立（5） （6）解得模型（3）的纳什均衡为 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 16页共 23页 + = + = 2121 2112122112 * 2 2121 1221212121 * 1 4 22 4 22 eebb ecbeacbbba p eebb ecbeacbbba p （7） 例 1：设某市场上厂商 1 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量为1000 1= a，厂商 1 的产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 1= b个单位，厂商 1 的产品对厂 商 2 的产品的替代系数为1 1= e。市场上厂商 2 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量 为1000 2 =a，厂商 2 的产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 2 =b个单 位，厂商 2 的产品对厂商 1 的产品的替代系数为1 2 =e。上述数据代入（7）得均衡价格分别 为6 .666 15 10000 * 2 * 1 =pp元 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 17页共 23页 第五章 不完全信息静态伯川德双寡头博弈模型 5.1 一个厂商不确知另一个厂商边际成本的情形 在某些情况下，如一个厂商进行了技术革新，另一个厂商就不能确知该厂商的边际成本。 不失一般性，假设厂商 1 知道自己的边际成本为 1 c和厂商 2 的边际成本为 2 c；厂商 2 知道自 己的边际成本为 2 c，但只知厂商 1 的边际成本为某个随机变量（满足0 1 =aP 且 00 =p）.厂商 1 确定自己产品的价格，使其利润最大，可表示为： )(),(max 1121111211 0 1 cppepbapp p += （1） 对厂商 2 来说，因他不知道厂商 1 的边际成本的具体情况，因而厂商 2 确定自己产品的 价格，使其期望利润最大，可表示为 )();,(max 2212222212 0 2 cppepbaEppE p += （2） 所以，在这种情况下“同时行动”制定各自价格的两个厂商的博弈可表示为如下的数学模型： += += )();,(max )(),(max 2212222212 0 1121111211 0 2 1 cppepbaEppE cppepbapp p p （3） 由完全信息静态伯川德双寡头博弈模型，因为当厂商 1 的边际成本为x时，厂商 1 的最优反 应函数为 1 2111 1 2 )( b pexba xp + =，所以在（3）式中 1 2111 1 2 )( b peba p + = ，因此 )(22( 2 1 )( 2 ()( 22212212212112 1 22 1 2122121 2222212222 cpEebpbbpeeeaba b cp b ebpeeea pbaEcppepbaE += + +=+ (4) 由 1 22212212212112 212 0 2 )(22( );,(max 2b cpEebpbbpeeeaba ppE p + = (5) 得一阶最优条件 0 );,( 2 212 = p ppE (6) 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 18页共 23页 解得厂商 2 的最优反应函数为 )2(2 22 2121 212212212112 2 eebb eecEebcbbeaba p + = （7） 由于此情形下厂商 1 的最优反应函数仍为 1 2111 1 2 )( b pexba xp + =，所以联立厂商 1 的最优反应 函数和（7）解方程组得模型（3）的贝叶斯纳什均衡解为 + = + + + = )2(2 22 )2(2 22 22 2121 212212212112 * 2 2121 212212212212112 1 1 1 111 * 1 eebb eecEebcbbeaba p eebb eecEebcbbcbbeaba b e b cba p （8） 例 2：设某市场上厂商 1 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量为1000 1= a，厂商 1 的产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 1= b个单位，厂商 1 的产品对厂 商 2 的产品的替代系数为1 1= e。市场上厂商 2 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量 为1000 2 =a，厂商 2 的产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 2 =b个单 位，厂商 2 的产品对厂商 1 的产品的替代系数为1 2 =e。厂商 1 知道两厂商的边际成本分别为 500 21 =cc元。 厂商 2 知道自己的边际成本为500 2 =c， 企业 1 边际成本服从区间600,400 上的均匀分布，则500=E。将以上数据代入（8）得均衡价格为 8 . 669 * 1 p， 6 . 678 * 2 p 5.2 两厂商不确知对方边际成本的情形 在很多情况下，产品的成本属于商业秘密，一般情况下，一个厂商不可能确知另一个厂 商的边际成本。不失一般性，假设厂商 1 知道自己的边际成本为 1 c，但只知厂商 2 的边际成 本为某个随机变量（满足变量0 2 =aP 且00 =P） ；厂商 2 知道自己的边际成本 为 2 c，但只知厂商 1 的边际成本为某个随机变量，因厂商 1 不知道厂商 2 的边际成本的具 体情况，所以厂商 1 确定自己产品的价格，使其平均利润最大，可表示为： )(),;,(max 1121111211 0 1 cppepbaEppE p += （9） 同样，厂商 2 确定自己产品的价格，使 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 19页共 23页 )(),;,(max 2212222212 0 2 cppepbaEppE p += （10） 所以，在这种情况下“同时行动”制定各自价格的两个厂商的博弈可表示为如下的数学模型： += += )();,(max )();,(max 2212222212 0 1121111211 0 2 1 cppEepbappE cppEepbappE p p （11） 由完全信息静态伯川德双寡头博弈模型，因为当厂商 1 和厂商 2 的边际成本分别为x和y时， 厂商 1 和厂商 2 的最优反应函数分别为 1 2111 1 2 )( )( b pEexba xp + =（12） 2 1222 2 2 )( )( b pEeyba yp + =（13） 所以 1 2111 1 2 )( )( b pEeba p + =（14） 2 1222 2 2 )( )( b pEeba p + =（15） 从而 1 2111 1 2 )( )( b pEeEba pE + =（16） 2 1222 2 2 )( )( b pEeEba pE + =（17） 联立（16） （17）解得 2121 12211221 1 4 22 )( eebb EebEbbeaba pE + = （18） 2121 21212112 2 4 22 )( eebb EebEbbeaba pE + = （19） 将（18） （19)代入（11）由一阶最优条件 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 20页共 23页 = + + = = + + = 0)( 4 22 ( );,( 0)( 4 22 ( );,( 22 2121 21212112 2222 22 212 11 2121 12211221 1111 11 211 cp eebb EebEbbeaba epba pp ppE cp eebb EebEbbeaba epba pp ppE （20） 解得贝叶斯纳什均衡为 + = + = )4(2 2424 )4(2 2424 21212 212221221221 2 2221212 * 2 21211 211112121112 2 1112211 * 1 eebbb eecbEeebEebbcbbebabba p eebbb eecbEebbEeebcbbebabba p （21） 例 3：设某市场上厂商 1 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量为1000 1= a，厂商 1 的 产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 1= b个单位，厂商 1 的产品对厂商 2 的产品的替代系数为1 1= e。市场上厂商 2 产品价格为 0 时，市场对厂商 1 的产品需求量为 1000 2 =a，厂商 2 的产品价格每增加一个单位，市场对该产品的需求量就减少2 2 =b个单位， 厂商 2 的产品对厂商 1 的产品的替代系数为1 2 =e。企业 1 知道自己的边际成本为500 1= c， 对企业 2 只知道其边际成本服从区间600,400的均匀分布；企业 2 知道自己的边际成本为 500 2 =c， 对 企 业 1 只 知 道 其 边 际 成 本服 从 区 间600,400上 的 均 匀 分 布 ， 则 500=EE，代入（21）得均衡价格分别为 6 . 666 * 2 * 1 =pp 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 21页共 23页 第六章结束语 本文对现实的经济社会一些行业中，市场上只有有限几个厂商供给同类产品，各个厂商 的产品具有一定的替代性，而各厂商不能确知其他厂商的边际成本的问题建立了不完全信息 伯川德双寡头模型，并提供了具体解决方法。 伯川德模型是建立在假定企业没有生产能力的限制和企业生产的产品是完全替代品的基 础上的，显然这种假设在现实生活中过于极端。因此，对不完全信息伯川德双寡头模型可引 入产品的差异性对其进行进一步修改，将能更贴近现实生活。 本文仅限于分析两个厂商存在于市场的情形，而在实际生活中，一个行业往往存在多个 厂商博弈。 此外，对于两个厂商进入同一个行业，也存在进入的先后顺序问题，进入的顺序不同， 也会导致模型的不同。 此模型的不断完善，一定可以更贴近现实生活，从而更好的分析经济社会中各行业各厂 商之间的博弈行为。 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 22页共 23页 参考文献 1 Robert Gibbons.Aprimer in game theoryM. Beijing: China Society Science Press, 1999: 143-152. 2 肯尼斯.W.克拉克森. 产业组织、理论证据和公共政策M.上海:上海三联书店, 1989:216-217. 3 谢识予. 经济博弈论M. 上海:复旦大学出版社, 2000:1-89. 4Kerin.R.A,P.R.Varadarajan,R.A.Peterson. Mover advantage:AFirst synthesis conceptual framework,and reaseach propositionsJ. Marketing, 1992,56(4):23-52. 5 张维迎. 博弈论与信息经济学M. 三联出版社, 1996:15-118. 6 Banerjee A.Ajoint economic-lot size model for purchaserand vendorJ. Decision Sci., 1986:17-18. 7 Lee H,Rosenblatt M J.Ageneralized quantity discountpricing model to increase supplier profitJ. Management Science, 1986,32(9):32-38. 8 华东师范大学数学系. 数学分析M. 第三版. 北京：高等教育出版社, 2002:1-210. 9 陈传璋等. 数学分析M. 第二版. 北京：高等教育出版社, 1983:1-198. 10 Monahan J.Aquantity discount pricing model to increasevendor profitJ. Management Sci., 1984:30-36. 11 姜林. 基于不同成本下的伯川德双头定价博弈J. 重庆工学院学报, 2001,(4):85-86. 12 J.M.伍德里奇. 计量经济学导论M. 第三版. 北京：中国人民大学出版社, 2007:1-24. 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 第 23页共 23页 致谢 大学时光飞逝，我感谢大学四年帮助我学习基础课程打下坚实基础的各科任课老师、感 谢指导并帮助我完成毕业论文的杨老师，以及鼓励督促我上进的同学，也感谢母校提供给我 很好的学习资源，良好的学习氛围，正是这些良好的条件，才使我得以顺利完成毕业论文及 学业，不断积极进步！ 毕业设计毕业设计( ( ( (论文论文) ) ) )开题报告开题报告 题目题目： 不完全信息静态 Betrand 双寡头博弈模型 课课 题题 类类 别：别： 设计设计 论文论文 学学 生生 姓姓 名：名：廖婉瑜廖婉瑜 学学号：号：200200200200664090203664090203664090203664090203 班班级：级：数学数学 0 0 0 06 6 6 6-2-2-2-2 班班 专业（全称专业（全称） ：数学与应用数学数学与应用数学 指指 导导 教教 师：师：杨韵生杨韵生 2020202010101010 年年 4 4 4 4 月月 一、本课题设计（研究）的目的： 培养学生科学的思维方式，综合运用所学理论、知识和技能分析和解决实际问题的 能力，是学生毕业前全面素质教育的重要实践训练。 二、设计（研究）现状和发展趋势（文献综述） ： 博弈论又被称为对策论，它是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要组成 内容。博弈论是指某个个人或是组织，面对一定的环境条件，在一定的规则约束下， 依 靠所掌握的信息，从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施，并从各自取得相应 结果或收益的过程，在经济学上博弈论是个非常重要的理论概念。 1928 年冯诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。1944 年，冯诺意曼和摩根斯坦共著的划时代巨著博弈论与经济行为将二人博弈推广到 n 人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域，从而奠定了这一学科的基础和理论体 系。谈到博弈论就不能忽略博弈论天才纳什，纳什的开创性论文n 人博弈的均衡点 （1950） ， 非合作博弈 （1951）等等，给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。 直至 博弈圣经的出现， 博弈圣经与原有博弈论书籍最大的不同就在于，独创了国正 论、 国正双赢理论和粒子行为论， 书中博弈取胜的文化理论统一了人类的博弈占优行为。 更重要的是，它让博弈理论终于可以在现实生活中具体操作，让普通大众通过研习， 成 为真正的博弈高手。因此， 博弈圣经中的博弈理论在政治、经济、文化、生活、娱 乐等社会的各个领域具有可应用性，并且对于个人的工作、生活也有具体的指导意义。 此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门 较完善的的学科。 博弈论的研究方法和其他许多利用数学工具研究社会经济现象的学科一样，都是从 复杂的现象中抽象出基本的元素，对这些元素构成的数学模型进行分析，而后逐步引入 对其形势产影响的其他因素，从而分析其结果。 所谓不完全信息（Incomplete Information）是指市场参与者不拥有某种经济环境 状态的全部知识。 新凯恩斯学派认为， 不完全信息经济比完全信息经济更加具有现实性， 市场均衡理论必须在不完全信息条件下予以修正。不完全信息静态博弈，是指至少某一 个局中人不完全了解另一个局中人的特征，即不知道某一参与人的真实类型，但是知道 每一种类型的出现的概率。 寡头(Oligopoly)市场又称为寡头垄断市场，它是指少数几家厂商控制整个市场的 产品的生产和销售的这样一种市场组织。行成寡头市场的主要原因有：某些产品的生产 必须在相当大的生产规模上进行才能达到最好的经济效益；行业中几家企业对生产所需 的基本生产资源的供给的控制；政府的扶植和支持等等。 在经济生活中,常常存在具有相关性的替代品和互补品在电脑、空调、彩电等一些 行业中，市场上往往只有有限几个厂商供给同类产品，各个厂商的产品具有一定的替代 性，各厂商指定自己产品的销售价格，以谋取最大利润。对于一个厂商确知自己的边际 成本,而不确知另一个厂商的边际成本,以及两个厂商都不确知对方的边际成本的这类 情况，人们常常用伯特德双寡头博弈模型来分析厂商的价格策略。伯特兰德模型是由法 国经济学家约瑟夫伯特兰德(Joseph Bertrand)于 1883 年建立的。古诺模型和斯塔克 尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而伯特兰德模型是 价格竞争模型，伯特兰德模型的假设为： （1）各寡头厂商通过选择价格进行竞争； （2） 各寡头厂商生产的产品是同质的； （3）寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。 而在现实的经济问题中，各厂商的边际成本一般是商业秘密，其他厂商是不能却知 的，但目前尚未见到不完全信息的伯特德双寡头博弈模型，因此本文建立的两个寡头在 线形市场中位置不确定下的动态位置博弈、信息具有随机性的两个静态伯特德双寡头博 弈模型对现实具有重要指导意义。 三、设计（研究）的重点与难点，拟采用的途径（研究手段） ： 文中先介绍完全信息静态博弈中最典型的均衡纳什均衡，然后详述了纳什均衡 的应用模型。并引入纳什均衡的应用，即古诺模型、伯川德模型、霍特林模型。 在完全信息静态博弈的基础上，文章拓展到不完全信息博弈。用海萨尼转换将不确 定性条件下的选择转换为风险条件下的选择。在给定自己的特征和其他局中人特征的概 率分布的情况下，每个局中人选择策略使自己的期望支付达到最大化，即为贝叶斯纳什 均衡。 最后，文章将利用概率论的知识，从两个角度分别概述了不完全信息静态伯川德双 寡头博弈模型， 即一个厂商不确知另一个厂商边际成本的情形和两厂商不确知对方边际 成本的情形。 四、设计（研究）进度计划： 第 7 周第 8 周收集有关论文方面的资料，开题报告，英文翻译 第 7 周第 15 周撰写毕业论文 第 11 周毕业论文中期检查 第 16 周毕业论文修改 第 17 周毕业论文答辩，毕业论文资料整理 五、参考文献： 1 Robert Gibbons,Aprimer in game theoryMBeijing: China Society Science Press, 1999 143-152. 2 肯尼斯.W.克拉克森. 产业组织、理论证据和公共政策M .上海:上海三联书 店,1989:216-217. 3 谢识予.经济博弈论M.上海:复旦大学出版社 20001-89. 4Kerin.R.A,P.R.Varadarajan,R.A.Peterson.Mover advantage:AFirst synthesis conceptual framework,and reaseach propositionsJMarketing,1992,56(4):23-52. 5 张维迎.博弈论与信息经济学M.三联出版社,1996.15-118. 6 Banerjee A.A joint economic-lot size model for purchaserand vendorJ.Decision Sci.,1986,17. 7 Lee H,Rosenblatt M J.A generalized quantity discountpricing model to increase supplier profitJ.ManagementScience,1986,32(9).32-38. 8 华东师范大学数学系. 数学分析M，第三版. 北京：高等教育出版社，2002：1-210. 9 陈传璋等. 数学分析M，第二版. 北京：高等教育出版社，1983：1-198. 10 Monahan J.A quantity discount pricing model to increasevendor profitJ.Management Sci.,1984,30-36. 11 姜林. 基于不同成本下的伯川德双头定价博弈J重庆工学院学报,2001,(4):85-86. 12 J.M.伍德里奇. 计量经济学导论M. 第三版. 北京：中国人民大学出版社, 2007:1-24. 指导教师意见 签名： 月日 教研室（学术小组）意见 教研室主任（学术小组长） （签章） ： 月日 第三章 非完全信息静态博弈 本章我们开始研究非完全信息静态博弈，非完全信息静态博弈有时也称为 贝叶斯博弈。 前面讲过， 在一个完全信息博弈中， 参与者的收益函数是共同知识； 而在非完全信息博弈中， 与之相反的，是至少有一个参与者不能确定另一参与者 的收益函数。非完全信息静态博弈的一个常见例子是密封报价拍卖: 每一报价方 知道自己对所售商品的估价， 但不知道任何其他报价方对商品的估价；各报价者 的报价放在密封的信封里上交， 因此参与者的行为可以被看做是同时的。然而绝 大多数在经济领域非常有趣的贝叶斯博弈是动态的。正如我们在第四章将会看 到，私人信息的存在自然导致享有私人信息的一方试图去沟通（或者误导） ，同 时也使得没有私人信息的一方试图去学习和反应。 这些都是博弈中固有的动态因 素。 第 3.1 节给出静态贝叶斯博弈的标准式表述和贝叶斯纳什均衡的定义。由于 有些定义非常抽象并有些复杂， 我们通过一个简单的例子非对称信息下的古 诺竞争介绍主要思想。 第 3.2 节讨论三个应用的例子。第一，就第 1 章中给出的对混合战略的解释 进行正式讨论：即参与住 j 的混合战略代表了 I 对 j 所选择纯战略的不确定，并 且 j 的选择基于他所掌握的一小点儿私人信息。第二，我们分析一个密封报价拍 卖的例子， 其中竞买方的估价是私人信息，但是卖方对商品的估价却为各方所周 知。最后，我们考虑买方和卖方各自都掌握一定私人信息的情况（如在企业中， 企业了解工人的边际产业，工人则知道自己的机会成本） 。我们分析一个称为双 向拍卖的交易博弈：卖方开出一个卖价，同时由卖方给出一个买价；如果后者大 于前者，则以两个价格的平均值成交。 第 3.3.节我们给出并证明显示原理，并简要讨论其在存在私人信息是的博弈 设计方面的应用。 3.1 理论：静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡 3.1.A 一个例子：非对称信息下的古诺竞争 考虑如下的古诺双头模型。其中市场反需求函数有Q-aP(Q) =给出，这里 21 qqQ+=为市场中的总产量。企业 1 的成本函数为 111 cq)(qC=，不过企业 2 的 成本函数以的概率为 2H22 c)(qCq=，以1的概率为 222 )(qcqC L =，这里 HL cc。并且信息时不对称的：企业 2 知道自己的成本函数和企业 1 的成本函 数，企业 1 知道自己的成本函数，但却只知道企业 2 边际成本为 H c的概率是， 边际成本为 L c的概率是1（企业 2 可能是新进入这一行业的企业，也可能刚 刚发明一项新的生产技术） 。上述一切都是共同知识：企业 1 知道企业 2 享有信 息优势，企业 2 知道企业 1 知道自己的信息优势，如此等等。 自然地，企业 2 的边际成本较高时和较低时，它希望生产的产出水平是不同的 （一般而言，前一种情况使得产出要更低一些） 。企业 1 从自己的角度，也会预 测到企业 2 根据其成本情况将选择不同的产量。用)( * 2H cq和)( * 2L cq分别把企业 2 的产量选择表示为成本的函数，并令 * 1 q表示企业 1 的单一产量选择。如果企业 2 的成本较高，它会选择)( * 2H cq满足： 22 * 1 )(max 2 qcqqa H q 类似的，如果企业 2 的成本较低，)( * 2L cq应满足下式： 22 * 1 )(max 2 qcqqa L q 最后，企业 1 知道企业 2 成本较高的概率为，并应该能预测到企业 2 的产量选 择将分别为)( * 2H cq或)( * 2L cq。从而，企业 1 选择满足下式的 * 1 q 1 * 211 * 21 )()(1 ()(max 1 qccqqaqccqqa LH q + 一使期望的利润最大化。 上面三个最优化问题的一阶条件为 2 )( * 1 * 2 H H cqa cq =， 2 )( * 1 * 2 L L cqa cq =， 及 2 )()1 ()( * 1 * 2 * 1 ccqaccqa q LH + = 假定这些一阶条件构成的方程组的解为 )( 6 1 3 2 )( * 2LH H H cc cca cq + + = ， )( 63 2 )( * 2LH L L cc cca cq + = ， 及 3 )1 (2 * 1 LH ccca q + = 把这里的)( * 2H cq、)( * 2L cq和 * 1 q与成本分别为 1 c和 2 c的完全信息古诺均衡相比较， 假定 1 c、 2 c的取值可使得两个企业的均衡产量都为正，在完全信息的条件下， 企 业1的产出为3/ )2( * 1ji ccaq+=。 然而与之不同的， 在非完全信息条件下，)(