重视课本原题的拓展

1 / 3 重视课本原题的拓展 在初三数学复习中，我们总想到利用较短的时间取得较好的效果，重点是精选例题和习题，搞题海战术，得不偿失。在中考中总有源于课本例题和习题，利用课本例题或习题进行横向、纵向拓展，抓好系列题目的训练是一个行之有效的方法，能收到事半功倍的教学效果。 如原题：如图（ 1）已知 AB 是 O 直径上一点， AD 和过 C点的切线垂直，垂足为 O，求证， AC平分 DAB，即 ABC= ADC 评注：这是一道较简单的题目，有好 几种方法：可以连结 BC利用直径所 对圆圈角是直角，再利用互余算式、 弦切角定 理等从而得证；也可以连结 OC利用切线的性质得证。 现进行原题拓展： 1、把原题横向拓展 （ 1）把原题中的切线向上平移改为 O的割线，其它条件不变（如图 2），求证： ABC2= A。 评注：此题仍可利用原题的证明，连结 BC2，则AC2B=900，又 AC1D= B，可得证。 （ 2）把原题中的切线继续向下平移，变为与圆相离，此2 / 3 直线记为 L，提出问题，怎样在此直线上找出 一点 C 使 ABC= ADC 评注：此题的解法由前 2小题的解法 得到启发：作 OE L交 O 于 F，连 结 AF并延长交 L 于 C，则点 C 即为 所要找的点 C（证明略）。 1、纵向拓展： （ 1）若原题条件不变，可以增加结论，求证： AC2=AB AD 评注：只要证 ABC即可。 （ 2）若将原题中条件稍加变化，可改为 AB 为 O 直径， CD为 O切线， E为切点， AC CD， BD CD 求证： AC+BD=AB， OC=OD （如图 4） 若设 AC=a CD=b BD=c 求证： CE、 DE是一元二次方程 x2 bx+ac=0的两根 评注：中连结 OE，证 AC+BD=2OE=AB 中只需证 CE DE=ac=AC BD ACE EDB即可。 （ 3）若将 CD 向上移动与 O相交于 E、 F，则可得到 AB为 O 直径，直线 CD 交 O 于 E、 F， AC CD 于 C， BD CD于 D。 求证： CE=DF 若 AC=a， CD=b， BD=c，求证： tan CAE、 tan CAF 是3 / 3 方程 ax2 bx+c=0 的两根（如图 5） 评注：由 tan CAE= tan CAF= 由 tan CAE+ tan CAF= = = ， tan CAE tanCAF= （ 4） 若将 CD继续多化：把上面图形结合起来，又可得到（如图 6） P 为 O 外一点，割线 PA 过圆心 O， PC 切 O 于 C， AMPC于 M， BN PC于 N， CO PA于 D，若 AB=15， sinP 是方程 25x2 5x 6=0的一个根，求 PA 及 PCD 的外接圆和内切圆的半径。 评注：由方程可解得 sinP= ，可得有关线段 的比，由前面可得启发，如连结 OC，得 MC=CN，连结 AC，得 AC平分 MAD，可得 MC=CD=CN，连结 BE，可得