【教师版】第三讲-一元二次方程的整数根问题.docx

第三讲 一元二次的整数根问题形如的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种自招考试的热点。下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。【例题解析】一、利用因式分解例1、已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有_个.解: 当a=1时,x=1 当a1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x是整数 1-a=1,2, a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个.由此或0，分别代入，得或例2、已知关于的方程有两个不等的负整数根，求实数的值。解：、，方程的两根为，即，因为、为两个不等的负整数根，所以，则。例3、设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解： 由求根公式得即 由于x-1，则有两式相减，得即 由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。二、利用判别式是完全平方式求形如的方程只有一个整数根，或至少有一个整数根时，可以根据判别式一定是完全平方式解题。例4、 已知关于x的方程x2（k1）x（k1）0有两个整数根，求整数k的值。解法一（判别式之完全平方数）：由题意得，k22k14k4k22k5（k1）24n2（nN）。n2（k1）24，（nk1）（nk1）4.nk1与nk1同奇偶性，k1。原方程为x22x0，x12，x20。k1。例5、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 与的根都是整数。解：方程有整数根， =16-16m0，得m1又方程有整数根 得 综上所述，m1x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为x-4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=1例6、已知方程 有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=(x+x)为负整数. 一定是完全平方数 设（为正整数） 即：m+2+km+2-k,且奇偶性相同 或解得m=10（舍去）或m=5。当m=5时 ，原方程为x-5x+6=0，两根分别为x=2，x=3。三、利用韦达定理（数的整除性，消参）例7、 已知关于x的方程kx2（k1）x（k1）0有两个整数根，求整数k的值。解法六（根与系数关系，整除）：由题意得，k0，x1x21，x1x21。x1、x2、kZ，k1。k1时，x22x0，x1=0，x2=2；k1时，x220，无整数根，舍去。k1.例8、当m是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得 由消去，可得则有 或解得： 或例9、已知关于的方程的两根都是正整数，求的值。例10、设关于的一元二次方程有两个不同的奇数根，求整数的值。解：设，因为、为奇数，所以、为偶数，且，则、。例11、试确定一切有理数r，使得关于x的方程 有根且只有整数根。解：若r0时，则方程为。解得，不是整数。 若，设方程的两个整数根为（），则由韦达定理，得； 于是 所以 因为都是整数，且，故有 所以， 得 经检验知就是所求的一切有理数。四、“反客为主”法例12、求出所有正整数a,使方程至少有一个整数根.解：由原方程知x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程得（因为是正整数）则得解得因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。 分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。例13、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足试求这个直角三角形的三边长【课后练习】1、一直角三角形的两边为整数，且满足方程，试求的值及直角三角形三边长2、求所有的正整数，使关于的方程至少有一个整数根。3、已知关于的方程的两根都是整数，求的值4、已知为常数，关于的一元二次方程的解都是整数，求的值5、已知为质数，二次方程的两根都是整数，请求出的所有可能的值6、已知，且关于的二次方程有两个整数根，求整数7、若一直角三角形两直角边的长，、均为整数，且满足试求