数学建模论文-瓷石和高岭土的分类研究.doc

瓷石和高岭土的分类研究一、问题重述瓷石是我国陶瓷工业生产中常用的传统矿物原料。早在唐宋以前，我国瓷器可能就是只用瓷石一种原料单独成瓷。经过长期实践, 到了宋末元初, 人们开始改进配方, 采用瓷石与高岭土配制, 烧成了很好的瓷器。至今, 我国以景德镇为代表的南方各省日用瓷配方仍是在高岭土与瓷石配料为30:7070: 30 之间变化。目前,人们在此基础上逐渐增加长石及其他原料的含量, 烧出的瓷器在质量上有了相应改进与提高。在瓷器生产中, 如何确定高岭土、瓷石和长石配料比例, 取决于它们的化学成份。而高岭土、瓷石的化学成分却又随产地不同而呈现出差异。所以, 根据对瓷石与高岭土的化学成分的测定, 将瓷石与高岭土按样品分类,找出它们的相似关系, 是很有应用价值的课题。本题就附件一所给两组数据，分别用三种分类方法研究瓷石与高岭土的分类。二、问题分析针对本题要对瓷石和高岭土分别进行分类，本文以瓷石和高岭土各自的化学成分为变量，以不同产地的瓷石和高岭土为类别，通过Q型聚类分析、K-means算法和层次聚类分析分别对瓷石和高岭土进行分类，从而得到两者之间的相似性。三、基本假设（1）假设同一类高岭土或瓷石的价值相近；（2）假设瓷石和高岭土的主要成分为题中所列，其余成分对瓷器的制造不产生影响；四、符号说明xij:第i个化学成分的第j类样本的原始分析结果；xj:第j个化学成分的算术平均数sj:第j个化学成分的标准差n：样品总数M：分析化学成分数ni、np、nq分别为第i、p、q类所包含的样品个数K:选择对象作为初始的簇的中心的个数mk：第k个簇的簇中心N代表第k个簇中数据对象的个数E：所有对象的平方误差的总和P：空间中的对象mi：簇的平均值五、模型的建立于求解基于Q型系统聚类方法的模型的建立与求解：1、 模型的建立（1） 将原始数据进行变换有标准化、正规化、对数变换、数据中心化等多种方法，对于陶石和岭土的分类，本文采用标准化方法，取xij=xij-xjsj其中： xj=1Ni=1Nxij; sj=i=1NXij-xj2N-1(2) 相似性统计量 有距离、相关系数、相似系数等多种。在系统聚类分析中为了将样品间的距离与类间距离的计算方法统一起来，本文用欧几里德距离来计算：dij=k=1MXik-Xjk2 i,j=1,2,N.用离差平方和法计算类间距离，当有p类和q类合并为r类时，其余第i类与r类的距离Dir取为：Dir=ni+npni+nr-Dip2+ni+nqni+nrDiq2-nini+nr-Dpq2适中，ni、np、nq分别为第i、p、q类所包含的样品个数:nr=np+nq.(3)类平均值的计算每一类的水化学特点可用此类中各种样品的分析结果的算术平均值来表示：xlk=1nli=1nlxik ；k=1,M;l=1,p。式中p为分的类数，nl为第l类的样品数，即N=l=1pnl。(4)计算出样品间的距离的平方值dij2,i= 2 , ,N ;j=1 , ,N-l;(5)取 t=1,N=N ,R E ( i )=i,RAN ( i )=i,NQ(i)=l,i= 1 , ,N ,(6)在 dijN*N中找 出最小值元素di0,j0 ,取 下w( 1 ,t)= R E ( i0 ),W( 2 ,t)=RE(i0 ),w( 2,t)=RE(j0), vt=di0,j02;(7)计算类间距离di0,j02将di0,j02存入原di0,j02的位置 ,去掉i0行及i0列 ,N=N-1;(8)重新确定RAN(i),其 中i= 1 , ,N ,RE(i),其中i=l, ,N-t,计算NQ(RE（j0)）,取NQ(RE(i0)=0 ;(9).l=t+1,若t N-1 转(10),否则转(6);（10）确定XL(i),i=1 , ,N-1 ;（11）绘制谱系图;（12）需要继续进行分类时,输入要分的类数p,转（11），否则 ,结束计算,（13）重新确定XL(i),i= l, ,P-1 ;(14)计算类的各分析项 目的平 均 值xlk ,l = 1 , ,P;k = 1, ,M ,输出各类的样品数nl及nl个样号 ,打印出xlk,转第 (11)步。2、模型的求解：通过matlab软件编程（具体程序见附件）得到如下结果：陶石分类结果第1类4第2类5 7 8 9第3类3 10 11 12 13第4类2第5类1第6类6高岭土分类结果第1类9 10第2类16 17 18 19第3类1 2 3 4 5 6 7 8第4类15第5类14第6类11 12 133结果分析：从上所得出的结果可以得出：江西贵溪倒樟树瓷石为一类；江西弋阳柴源瓷石、湖南醴陵马劲坳瓷石、浙江绍兴花街瓷石、江苏吴县光福瓷石为一类；江西萍乡江下瓷石、湖南醴陵沩山瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、辽宁法库瓷土、辽宁西丰瓷土为一类；江西东乡小璜瓷石为一类；景德镇三宝蓬瓷石为一类；江西弋阳柴源瓷石（淘洗源）为一类。山西大同（细硝屑状高岭土）、山西大同（粗屑状高岭土）为一类；景德镇高岭村淘洗泥、景德镇大州淘洗料、九江星庐淘洗料、临川砂子岭淘洗料为一类；苏州青山矿高岭土 （手选一号）、苏州青山矿高岭土（硫一号）、苏州青山矿高岭土（硫三号）、苏州青山矿高岭土（二号屑）、苏州青山矿高岭土（硫三号屑）、山西大同（细晶虫状高岭土）、山西大同（粗晶虫状高岭土）、山西大同（隐昌状高岭土）为一类；广东飞天燕高岭土（土胆）为一类；广东飞天燕高岭土（洗泥）为一类；广东飞天燕高岭土（原矿）、广东飞天燕高岭土（原矿）、广东飞天燕高岭土（原矿）为一类。基于k-means聚类方法的模型的建立与求解1、 模型的建立（1） 从整个样本 n 中，任意选择 k 个对象作为初始的簇的中心 mi ( i=1,2,k )，本文中k取6；（2） 利用公式 ：di,j=xi1-xj1+xi2-xj2+xin-xjn其中i=（xi1,xi2,xin）和j=（ji1，ji2,jin）是两个n维数据对象计算数据集中的每个 p 到 k 个簇中心的距离 d ( p , mi )（3） 找到每个对象 p 的最小的 d ( p , mi )，将 p 归入到与 mi 相同的簇中。（4） 遍历完所有对象之后，利用公式:mk=i=1NxiNmk代表第k个簇的簇中心，N代表第k个簇中数据对象的个数重新计算 mi 的值，作为新的簇中心。（5） 重新将整个数据集中的对象赋给最类似的簇。这个过程反复进行直至平方误差 准则最小。平方误差准则试图使聚类结果尽可能地独立和紧凑，即簇内对象的相似度尽可能的高。定义如下：E=i=1kpcp-mi2其中E表示所有对象的平方误差的总和，p表示空间中的对象，mi代表簇的平均值。2、模型的求解通过matlab软件编程（具体程序见附件）得到如下结果：聚类中心为： 57.0800 26.5800 0.1500 0.2600 0.0220 1.7000 0.4500 6.2700 0.7000 72.7100 15.8200 0.5050 0.4950 0.0520 0.1900 0.3400 5.9500 0.5650 73.4300 16.8550 0.5775 0.1800 0.0720 0.0900 0.3850 3.9650 0.1600 77.3900 14.2850 0.4950 0 0 0.6550 0.3200 3.8700 0.3450 73.5400 15.0400 0.2000 0.5100 0.0270 0.4100 0.1500 3.2500 5.4000 76.6600 15.3200 0.1433 0.2200 0.0360 0.3700 0.1533 2.3633 0.3433第一类陶石：57.0800 26.5800 0.1500 0.2600 0.0220 1.7000 0.4500 6.2700 0.7000第二类陶石：73.4000 14.3300 0.3300 0.4600 0.0430 0.1800 0.2600 6.5000 1.0600 72.0200 17.3100 0.6800 0.5300 0.0610 0.2000 0.4200 5.4000 0.0700第三类陶石： 73.3400 16.7700 0.6400 0.1300 0.0370 0.0600 0.4900 4.6500 0.3300 73.7600 16.5100 0.3800 0.3000 0.0570 0.0600 0.7200 3.9300 0.0700 72.9000 17.1200 0.4000 0.1700 0.0500 0.0900 0.1500 3.5800 0.1000 73.7200 17.0200 0.8900 0.1200 0.1440 0.1500 0.1800 3.7000 0.1400第四类陶石： 76.3500 14.2100 0.7600 0 0 0.7500 0.4300 4.0400 0.2300 78.4300 14.3600 0.2300 0 0 0.5600 0.2100 3.7000 0.4600第五类陶石： 73.5400 15.0400 0.2000 0.5100 0.0270 0.4100 0.1500 3.2500 5.4000第六类陶石： 77.8000 15.3400 0 0.3600 0.0220 0.2500 0 0.4400 0.0600 75.6800 15.2700 0.1000 0.3000 0.0160 0.2500 0.4000 3.4700 0.0900 76.5000 15.3500 0.3300 0 0.0700 0.6100 0.0600 3.1800 0.8800聚类中心为： 47.9525 35.4125 1.5250 0.4075 0.2650 1.9500 0.6600 0.0200 0 49.0950 36.1750 0.3450 0 0.2550 0.1000 0.0500 1.0000 0.1700 45.9400 37.9350 0.6883 0.3933 0.0817 0.0733 0.0700 0.1967 0.4683 74.5225 17.0575 0.6225 0.1900 0.4675 3.1275 0.8900 0.0550 0 46.4800 36.4700 0.4000 1.0300 0.1100 4.9800 0.3800 0 0 44.5800 37.6200 0.8650 0.3000 0.1400 0.0600 0.0350 0.2250 0.2500第一类高岭土：48.1800 36.3400 0.6500 0.5300 0.1700 1.9000 1.4400 0 0 48.2400 34.3000 1.6600 0.4500 0.3200 2.7500 0.8500 0.0800 0 48.5000 35.1400 1.9600 0.3400 0.2100 1.0000 0.1000 0 0 46.8900 35.8700 1.8300 0.3100 0.3600 2.1500 0.2500 0 0第二类高岭土： 49.0900 36.8900 0.3200 0 0.2800 0.0800 0.0500 1.1000 0.1600 49.1000 35.4600 0.3700 0 0.2300 0.1200 0.0500 0.9000 0.1800第三类高岭土： 46.5000 38.7800 0.1700 0.6300 0 0.1000 0.0500 0.0800 0 47.2000 37.6800 0.6600 0.4800 0 0 0.0500 0 0.1000 46.1000 37.7000 1.1600 0.5300 0.0800 0.1000 0.1000 0 0.7700 45.1600 37.8700 1.9900 0.7200 0 0 0 0 1.6500 45.2200 37.8400 0.0700 0 0.2300 0.1200 0.1100 0.3000 0.1800 45.4600 37.7400 0.0800 0 0.1800 0.1200 0.1100 0.8000 0.1100第四类高岭土： 76.0300 14.8200 0.8000 0.1000 1.0200 2.8200 0.3700 0 0 77.4500 14.3100 0.7100 0.0800 0.0800 3.4100 0.0800 0.1100 0 78.0800 14.5400 0.6300 0.0300 0.1700 3.3000 0.1300 0.1100 0 66.5300 24.5600 0.3500 0.5500 0.6000 2.9800 2.9800 0 0第五类高岭土： 46.4800 36.4700 0.4000 1.0300 0.1100 4.9800 0.3800 0 0第六类高岭土： 44.4600 37.8700 1.5700 0.6000 0 0 0 0 0.3200 44.7000 37.3700 0.1600 0 0.2800 0.1200 0.0700 0.4500 0.18003 结果分析：从上所得出的结果可以看出：江西弋阳柴源瓷石（淘洗源）分为一类；江西东乡小璜瓷石、辽宁西丰瓷土分为一类；江西萍乡江下瓷石、湖南醴陵沩山瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、辽宁法库瓷土分为一类；湖南醴陵马劲坳瓷石、江苏吴县光福瓷石分为一类；景德镇三宝蓬瓷石分为一类；江西贵溪倒樟树瓷石、江西弋阳柴源瓷石、浙江绍兴花街瓷石分为一类。景德镇高岭村淘洗泥、景德镇大州淘洗料、九江星庐淘洗料、临川砂子岭淘洗料分为一类；山西大同（细硝屑状高岭土）、山西大同（粗屑状高岭土）分为一类；苏州青山矿高岭土 （手选一号）、苏州青山矿高岭土（硫一号）、苏州青山矿高岭土（硫三号）、苏州青山矿高岭土（硫三号屑）、山西大同（粗晶虫状高岭土）、山西大同（隐昌状高岭土）分为一类；广东飞天燕高岭土（原矿）、广东飞天燕高岭土（原矿）、广东飞天燕高岭土（原矿）、广东飞天燕高岭土（洗泥）分为一类；广东飞天燕高岭土（土胆）分为一类；苏州青山矿高岭土（二号屑）、山西大同（细晶虫状高岭土）分为一类。基于层次聚类方法的模型的建立与求解1模型的建立与求解：层次方法对给定的数据集合进行层次的分级，称为树聚类算法。它使用数据的联接规则， 透过一种层次架构方式，反复将数据进行分裂或聚合，以形成一个层次序列的聚类问题解。 根据分解形成的过程，层次聚类可以分为凝聚的和分裂。凝聚的方法,也称为自底向上方法, 首先将每个对象作为单独的一个组，然后相继地合并相近的对象、组，直到所有的组合合并 为一个，或者达到一个中止条件。分裂的方法，也称为自顶向下的方法,首先将所有的对象 置于一个簇中。在迭代的每一步中，一个簇被分裂为更小的簇，直到最终每个对象在单独的 一个簇中，或者达到一个终止条件。一种纯粹的层次聚类方法的缺点在于一旦合并或是分裂 执行，就不能修正，也就是说，如果某个合并或是分裂效果在后来证明是不好的选择，该方 法无法退回或是更正。层次聚合算法的计算复杂性为 O(n2)，适合于小型数据集的分类。具体步骤如下：1. 将每个对象归为一类, 共得到N类, 每类仅包含一个对象. 类与类之间的距离就是它们所包含的对象之间的距离.2. 找到最接近的两个类并合并成一类, 于是总的类数少了一个.3. 重新计算新的类与所有旧类之间的距离.可将层次式聚类2方法分为几类: single-linkage, complete-linkage 以及average-linkage 聚类方法等.本文采用average-linkage 聚类方法。4. 重复第2步和第3步, 直到最后合并成一个类为止(此类包含了N个对象).2模型的求解：通过matlab软件编程（具体程序见附件）得到如下结果：陶石分类结果：Z =T = 10.0000 12.0000 0.95885 3.0000 14.0000 1.07023 11.0000 15.0000 1.17774 5.0000 8.0000 1.33341 7.0000 17.0000 1.66182 13.0000 16.0000 2.18396 9.0000 18.0000 2.48602 4.0000 20.0000 3.65962 2.0000 19.0000 3.72682 21.0000 22.0000 4.86534 1.0000 23.0000 6.01954 6.0000 24.0000 21.07444高岭土分类结果：Z =T = 7.0000 8.0000 0.57023 12.0000 13.0000 0.69383 6.0000 20.0000 0.82633 2.0000 3.0000 1.38953 9.0000 10.0000 1.44643 1.0000 23.0000 1.56023 4.0000 5.0000 1.56523 22.0000 25.0000 2.02273 11.0000 21.0000 2.10551 18.0000 19.0000 2.12371 17.0000 29.0000 2.18806 26.0000 27.0000 2.35516 16.0000 30.0000 2.37926 24.0000 32.0000 3.21215 31.0000 33.0000 4.33704 15.0000 34.0000 5.06452 14.0000 28.0000 14.91082 35.0000 36.0000 34.3159223结果分析：从上所得出的结果可以看出：景德镇三宝蓬瓷石分为一类；江西东乡小璜瓷石分为一类；江西萍乡江下瓷石、湖南醴陵新棚瓷石、辽宁法库瓷土、辽宁西丰瓷土分为一类；江西贵溪倒樟树瓷石分为一类；江西弋阳柴源瓷石、湖南醴陵马劲坳瓷石、浙江绍兴花街瓷石、江苏吴县光福瓷石分为一类；江西弋阳柴源瓷石（淘洗源）分为一类。苏州青山矿高岭土 （手选一号）、苏州青山矿高岭土（硫一号）、苏州青山矿高岭土（硫三号）、苏州青山矿高岭土（二号屑）、苏州青山矿高岭土（硫三号屑）、山西大同（细晶虫状高岭土）、山西大同（粗晶虫状高岭土）、山西大同（隐昌状高岭土