山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第8章垂心组.doc

第8章 垂心组由三角形的三顶点及垂心引发我们给出垂心组的概念以三点为三角形的顶点，另一点为该三角形的垂心的四点称为垂心组，由此即知，垂心组中的四点，每一点都可以为其余三点为顶点的三角形的垂心垂心组有如下的优美性质性质 垂心组的四个三角形的外接圆是等圆证明 如图，设为锐角的垂心，延长交的外接圆于点，则与关于边对称于是，的外接圆与的外接圆关于边对称，即为等圆，而的外接圆即为的外接圆，故的外接圆与的外接圆是等圆同理，、的外接圆与的外接圆是等圆若为钝角的垂心，可同理证得结论成立性质 若三个等圆相交于一点，则这点和其他三个交点构成一垂心组证明 如图，设三个等圆相交于点，每两圆的另一交点为、直线、分别交直线、于点、由等圆中等弧所对的圆周角相等，有，即、四点共圆又由，知，即知、四点共圆于是，邻补角相等即知同理，故为的垂心从而、为垂心组性质 垂心组的四个三角形的外心构成一垂心组证明 如图，设为的垂心，、的外心分别为、联结、，则知四边形、均为菱形，即有，从而四边形为平行四边形，于是同理，又，则同理，故为的垂心，即、，、为一垂心组性质 垂心组的四个三角形的重心构成一垂心组证明 如图，设为的垂心，、的重心分别为、联结并延长交于点，则为的中点，且在上；联结并延长交于点，则为的中点，且在上注意到重心在中线的处，在中，故在中，从而同理又注意到，则同理，故为的垂心，即、为一垂心组性质 垂心组四点位于中间的一点可作为一个三角形的内心，其余三点作为这个三角形的三个旁心反过来结论亦成立一个三角形的内心、三个旁心构成一垂心组事实上，垂心组位于中间的一点作为垂心时，这个垂心即垂足三角形的内心，此时其余三点恰为垂足三角形的三个旁心反过来，结论亦成立，留给读者自行推证注意到：内心、旁心位于三角形顶点处的内角平分线、外角平分线上，且同一顶点处的内、外角平分线相互垂直又两个旁心所在直线过三角形一顶点由此即证得结论成立，即一个三角形的内心、三个旁心构成一垂心组性质 垂心组中的两点与其余一点的平方差等于这两点与其余另一点的平方差事实上，参见图，由定差幂线定理（参见第5章中例3），知，推论 设垂心组、中的三角形的外接圆半径为，则事实上，如图，作的外接圆，设为其垂心，联结并延长交于点，则四边形为平行四边形从而，在、中，有，从而，有同理有下面看几道应用上述性质处理问题的例子：例 设为的垂心，为的外接圆半径，则，证明 由性质，知的外接圆半径为，在中应用正弦定理，有当为锐角时，如图（1），从而当为直角时，点与重合，此时，亦有当为钝角时，从而故同理有，例 （1988年CMO试题）如图，在中，是外心，为内心，边上的点与边上的点，使得求证：且证明 连、，则，从而而，则联结，则，且为正三角形连，作的平分线交于，则，且于是，从而此时，（因）同理，即知为的垂心，亦即、为垂心组由垂心组的概念及性质，知，且等圆中相同的圆周角所对的弦相等有故结论获证例 （2004年第21届巴尔干地区数学奥林匹克题）如图，设是锐角的外心，分别以三边的中点为圆心作过点的圆，这三个圆两两相交于异于的交点分别为、求证：点是的内心证明 设、分别为边、的中点，由，知同理，从而，点为的垂心，即点、为一垂心组又是的中垂线，于是的中点是点在上的射影（即垂足）同理，、的中点、也是点在、上的射影，即是的垂心的垂足三角形从而为的内心注意到与是以为位似中心，位似比为的位似图形，故为的内心例 如图，设为锐角的垂心的垂足三角形，为上一点，过与垂直的直线交的外接圆于，求证：证明 显然，点在的外接圆，且为的直径，连，则由对称性知由为的垂足三角形，则知为的内心，从而连，则故注：此时，可称、为的等角线同理，可证、为的等角线又显然、是的等角线从而点、可称为的等角共轭点于是，我们有结论：性质 以一垂心组中任两点的连线段为直径作圆则在此圆中，凡垂直于该直径的弦的两端点，都是垂心组的垂足三角形的等角共轭点（等角共轭点的概念可参见第17章）例 （2011年第37届俄罗斯数学奥林匹克题）在（）的边上取点，使得是锐角三角形设、分别为、的外心，证明：垂心位于直线上证明 由、分别是线段、的垂直平分线知（其中是圆周角所对应的圆心角）类似地，由，知点、位于同一圆上由对称性知，知的外接圆与圆是等圆同理，的外接圆与圆是等圆由性质，三个等圆两两相交得到的四个交点形成垂心组，即知的垂心是圆与的一个交点设是圆与直线的第二个交点，则，即知在圆上故点与重合且在上练习八1试证：含有内角的三角形中，垂心到内角顶点的距离等于内角顶点所对的边的边长2以三角形的内心及三旁心中任两点的联结线为直径作圆，求证：在此圆中，凡垂直于该直径的弦的两端点，都是三角形的等角共轭点3以一垂心组中每两点的联结线为一对角线分别作正方形，这样所作六个正方形的顶点，除垂心组的四点外，余凡点，求证：（1）它们是垂心组的垂三角形的六双等角共轭点；（2）它们分布在三双垂直线上，每线上有四点4以一垂心组中每两