三角函数的图象与性质

1 / 9 三角函数的图象与性质 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 三角函数的图象与性质（二） 知识梳理 1.三角函数的图象和性质 函数 性质 y=sinxy=cosxy=tanx 定义域 值域 图象 奇偶性 周期性 单调性 对称性 注：读者自己填写 . 2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象 . 点击双基 1.函数 y=sin（ 2x） +sin2x 的最小正周期是 B. 解析： y=cos2x sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（ +2x）， T=. 答案： B 2 / 9 2.若 f（ x） sinx 是周期为 的奇函数，则 f（ x）可以是 解析：检验 . 答案： B 3.函数 y=2sin（ 2x）（ x 0， ）为增函数的区间是 A. 0， B.， c.， D.， 解析：由 y=2sin（ 2x） = 2sin（ 2x）其增区间可由 y=2sin（ 2x）的减区间得到，即 2k+2x 2k+ ， kZ. k+xk+ ， kZ. 令 k=0，故选 c. 答案： c 4. 把 y=sinx 的图象向左 平 移 个 单 位 ， 得 到 函 数_的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 2倍，而纵坐标保持不变，得到函数 _的图象 . 解析：向左平移个单位，即以 x+代 x，得到函数 y=sin（ x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，即以 x代 x，得到函数： y=sin（ x+） . 答案： y=sin（ x+） y=sin（ x+） 5.函数 y=lg（ cosx sinx）的定义域是 _. 解析：由 cosx sinx 0cosx sinx.由图象观察，知 2k3 / 9 x 2k+ （ kZ ） . 答案： 2k x 2k+ （ kZ ） 典例剖析 【例 1】（ 1） y=cosx+cos（ x+）的最大值是 _； （ 2） y=2sin（ 3x）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是 _. 剖析：（ 1） y=cosx+cosx sinx =cosx sinx=（ cosx sinx） =sin（ x） . 所以 ymax=. （ 2） T=，相邻对称轴间的距离为 . 答案： 【例 2】（ 1）已知 f（ x）的定义域为 0， 1），求 f（ cosx）的定义域； （ 2）求函数 y=lgsin（ cosx）的定义域 . 剖析：求函数的定义域：（ 1）要使 0cosx1 ，（ 2）要使sin（ cosx） 0，这里的 cosx以它的值充当角 . 解：（ 1） 0cosx 12k x2k+ ，且 x2k （ kZ ） . 所求函数的定义域为 x x 2k ， 2k+ 且 x2k ，kZ . （ 2）由 sin（ cosx） 02k cosx 2k+ （ kZ ） .又4 / 9 1cosx1 ， 0 cosx1. 故所求定义域为 x x（ 2k ， 2k+ ）， kZ . 评述：求三角函数的定 义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线 . 【例 3】求函数 y=sin6x+cos6x 的最小正周期，并求 x 为何值时， y 有最大值 . 剖析：将原函数化成 y=Asin（ x+ ） +B的形式，即可求解 . 解： y=sin6x+cos6x= （ sin2x+cos2x ）（ sin4x sin2xcos2x+cos4x） =1 3sin2xcos2x=1 sin22x=cos4x+. T=. 当 cos4x=1，即 x=（ kZ ）时， ymax=1. 深化拓展 函数 y=tan（ ax+ ）（ a 0）当 x 从 n 变化为 n+1（ nZ ）时， y 的值恰好由 变为 + ，则 a=_. 分析：你知道函数的周期 T 吗 ? 答案： 闯关训练 夯实基础 1.若函数 f（ x） =sin（ x+ ）的图象（部分）如下图所示，则 和的取值是 A.=1 ， =B.=1 ， = 5 / 9 c.= ， =D.= ， = 解析：由图象知， T=4（ +） =4= ， =. 又当 x=时， y=1， sin （ + ） =1， +=2k+ ， kZ ，当 k=0时， =. 答案： c （ x） =2cos2x+sin2x+a（ a 为实常数）在区间 0，上的最小值为 4，那么 a 的值等于 6c. 4D. 3 解析： f（ x） =1+cos2x+sin2x+a =2sin（ 2x+） +a+1. x 0， 2x+ ， . f （ x）的最小值为 2 （） +a+1= 4. a= 4. 答案： c 3.函数 y=的定义域是 _. 解 析 ： sin0sin02k 2k6k 3x6k （ kZ ） . 答案： 6k 3x6k （ kZ ） 4.函数 y=tanx cotx的最小正周期为 _. 解析： y= = 2cot2x， T=. 答案： 5.求函数 f（ x） =的最小正周期、最大值和最小值 . 6 / 9 解： f（ x） = =（ 1+sinxcosx） =sin2x+， 所以函数 f（ x）的最小正周期是 ，最大值是，最小值是 . 6.已知 x ，函数 y=cos2x sinx+b+1 的最大值为，试求其最小值 . 解： y= 2（ sinx+） 2+b， 又 1sinx ， 当 sinx=时， ymax=+b=b= 1； 当 sinx=时， ymin= . 培养能力 7.求使 =sin（）成立的 的区间 . 解： =sin（） =（ sin cos） sin cos =sin cos sincos2k+2k+ （ kZ ） . 因此 4k+ ， 4k+ （ kZ ） . 8.已知方程 sinx+cosx=k 在 0x 上有两解，求 k 的取值范围 . 解：原方程 sinx+cosx=ksin（ x+） =k，在同一坐标系内作函数 y1=sin（ x+）与 y2=k的图象 .对于 y=sin（ x+），令 x=0，得 y=1. 7 / 9 当 k 1，）时，观察知两曲线在 0， 上有两交点，方程有两解 . 评述：本题是 通过函数图象交点个数判断方程实数解的个数，应重视这种方法 . 探究创新 9.已知函数 f（ x） = （ 1）画出 f（ x）的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值； （ 2）判断 f（ x）是否为周期函数 .如果是，求出最小正周期 . 解：（ 1）实线即为 f（ x）的图象 . 单调增区间为 2k+ ， 2k+ ， 2k+ ， 2k+2 （ kZ ）， 单调减区间为 2k ， 2k+ ， 2k+ ， 2k+ （ kZ ）， f（ x） max=1， f（ x） min= . （ 2） f（ x）为周期函数， T=2. 思悟小结 1.三角函数是函数的一个分支，它除了符合函数的所有关系和共性外，还有它自身的属性 . 2.求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为 1 的形式，否则很容易出现错误 . 8 / 9 教师下载中心 教学点睛 1.知识精讲由学生填写，起到回顾作用 . 2.例 2、例 4 作为重点讲解，例 1、例 3 诱导即可 . 拓展题例 【例 1】已知 sin sin ，那么下列命题成立的是 A.若 、 是第一象限角，则 cos cos B.若 、 是第二象限角，则 tan tan c.若 、 是 第三象限角，则 cos cos D.若 、 是第四象限角，则 tan tan 解析：借助三角函数线易得结论 . 答案： 【例 2】函数 f（ x） = sin2x+sinx+a，若 1f