2019年高中数学 第7章 计数原理 7.4 二项式定理讲义（含解析）湘教版选修2-3.doc

7.4二项式定理第一课时二项式定理及应用读教材填要点1杨辉三角的特点是两条斜边上的数字都是1，其余的数都是它“肩上”的两个数的和2二项式定理对于正整数n，(ab)nCanCan1bCanrbrCbn.3二项展开式的通项公式我们称Canrbr是二项展开式的第r1项，其中C称作第r1项的二项式系数把Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)叫做二项展开式的通项公式小问题大思维1二项展开式中的字母a，b能交换位置吗？提示：二项展开式中的字母a，b是不能交换的，即虽然(ab)n与(ba)n结果相同，但(ab)n与(ba)n的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的，二者不能混淆，如(ab)3的展开式中第2项是3a2b，而(ba)3的展开式中第2项是3ab2，两者是不同的2二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？提示：二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关二项式定理的应用 例1(1)求4的展开式；(2)化简：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)解(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式C(x1)5C(x1)4C(x1)3C(x1)2C(x1)C(x1)01(x1)151x51.(1)记准、记熟二项式(ab)n的展开式，是解答好与二项式有关问题的前提条件，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷(2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律及各项的系数1(1)求5的展开式；(2)化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.解：(1)法一：5C(2x)5C(2x)4C(2x)32C(2x)23C(2x)4C532x580x2.法二：55(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)580x232x5.(2)原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x11)5(2x)532x5.二项式系数与项的系数问题例2(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数解(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr26rC(1)rx，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)5212.(2)设展开式中的第r1项为含x3的项，则Tr1Cx9rr(1)rCx92r，令92r3，得r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.本例问题(1)条件不变，问题改为“求第四项的二项式系数和第四项的系数”解：由通项Tr1(1)rC26rx，知第四项的二项式系数为C20，第四项的系数为C(1)323160.求某项的二项式系数或展开式中含xr的项的系数，主要是利用通项公式求出相应的项，特别要注意某项二项式系数与系数两者的区别2已知n的展开式中，第6项为常数项(1)求n的值；(2)求展开式中x2的系数解：(1)n的展开式的通项为Tr1C()nrrrC x.又第6项为常数项，所以当r5时，0，即n2r10.(2)由(1)，得Tr1rCx，令2，得r2，所以展开式中x2的系数为2C.与展开式中的特定项有关的问题例3(1)6的展开式中，常数项是()AB.C D.(2)若(x2a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于()A. B.C1 D2解析(1)6展开式的通项Tr1C(x2)6rrrCx123r，令123r0，解得r4.所以常数项为4C.(2)依题意，注意到10的展开式的通项公式是Tr1Cx10rrCx102r，10的展开式中含x4(当r3时)、x6(当r2时)项的系数分别为C、C，因此由题意得CaC12045a30，由此解得a2.答案(1)D(2)D求展开式中特定项的方法求展开式特定项的关键是抓住其通项公式， 求解时先准确写出通项， 再把系数和字母分离， 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征， 列出方程或不等式即可求解有理项问题的解法，要保证字母的指数一定为整数3已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求n的值；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项解：(1)通项为Tr1Cx (3)rxC(3)rx.因为第6项为常数项，所以r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)2.所以所求的系数为C(3)2405.(3)根据通项，由题意得所以r可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(3)2x2，C(3)5，C(3)8x2，即405x2，61 236,295 245x2.解题高手妙解题若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，求a0a12a23a3的值尝试 巧思因为展开式为x2的多项式，因此可考虑将2x3变形为2x32(x2)1，然后利用二项式定理展开即可妙解由(2x3)32(x2)13C2(x2)3(1)0C2(x2)2(1)1C2(x2)1(1)2C2(x2)0(1)38(x2)312(x2)26(x2)1a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3.则a01，a16，a212，a38.则a0a12a23a35.1(x1)5的展开式中第3项的系数为()A20B20C20 D20解析：选DTr1C(x)5r(1)r，T21C(x)3(1)2()3Cx320x3，第3项的系数为20.212C4C8C(2)nC()A1 B1C(1)n D3n解析：选C逆用公式，将1看作公式中的a，2看作公式中的b，可得原式(12)n(1)n.3.9展开式中的第四项是()A56x3 B84x3C56x4 D84x4解析：选B由通项公式有T4Cx6384x3.4.9的展开式中，常数项为_解析：Tr1C(2x)9rr(1)r29rCx，令9r0，得r6.T7C23672.答案：6725若(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)解析：二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar，当10r7时，r3，T4Ca3x7，则Ca315，故a.答案：6已知n(nN)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101，求展开式中含x的项解：由题意知第五项的系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则，解得n8(n3舍去)所以通项为Tr1C()8rrC(2)rx.令，得r1.展开式中含x的项为T216x.一、选择题1(x)10展开式中x6的系数是()A8CB8CC4C D4C解析：选DTr1Cx10r()r，令10r6，r4，T5()4Cx64Cx6，系数为4C.2若(12x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选BT1C1，T2C(2x)10x，T3C(2x)240x2.根据题意可知即解得x0.3.n的展开式中，常数项为15，则n的值为()A3 B4C5 D6解析：选D由通项公式Tr1C(x2)nr(1)rxr(1)rCx2n3r.令2n3r0，得(1)rC15，由rn，rN，排除选项B、C，再将选项B、D代入验证n6.4在6的二项展开式中，x2的系数为()A B.C D.解析：选C在6的展开式中，第r1项为Tr1C6rrC6rx3r(2)r，当r1时，为含x2的项，其系数是C5(2).二、填空题5.10的展开式中含x的正整数指数幂的一共有_项解析：因为Tr1C()10rrCrx，由5rN知r0或r2，所以展开式中含x的正整数指数幂的一共有2项答案：26若(1)4ab，则ab_.解析：(1)4C()0C()1C()2C()3C()41412841712，由已知，得1712ab，a17，b12，故ab17125.答案：57.5的展开式中x8的系数是_(用数字作答)解析：Tr1C(x3)5rrCx153rrxrCx (r0,1,2,3,4,5)，由8，得r2，2C.答案：8(1xx2)6的展开式中的常数项为_解析：6的展开式中，Tr1Cx6rr(1)rCx62r，令62r0，得r3，T4C(1)3C，令62r1，得r(舍去)，令62r2，得r4，T5C(1)4x2，所以(1xx2)6的展开式中的常数项为1(C)C20155.答案：5三、解答题9已知在n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为563，求展开式中的常数项解：T5C()n424x816Cx，T3C()n222x44Cx由题意知，解得n10.Tr1C()10r2rx2r2rCx，令50，解得r2，展开式中常数项为C22180.10已知()n(其中n15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列(1)求n的值；(2)写出它展开式中的所有有理项解：(1)()n(其中n15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得2，化简得90(n9)(n8)20(n8)，即n237n3220，解得n14或n23，因为n15，所以n14.(2)展开式的通项Tr1CxxCx，展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，0r14，所以展开式中的有理项共3项是：r0，T1Cx7x7；r6，T7Cx63 003x6；r12，T13Cx591x5.第二课时二项式系数的性质及应用读教材填要点二项式系数的有关性质(1)二项展开式一共有n1项(2)第一个字母a按降幂排列，第二个字母b按升幂排列(3)a的幂加b的幂等于n.(4)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CC.(5)二项式系数从两端向中间逐渐增大，且当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间的两项的二项式系数C，C相等，且同时取得最大值(6)CCCC2n，这可以在二项式定理中取a1，b1得到(7)CCC(1)nC0，这可以在二项式定理中取a1，b1得到小问题大思维1若(ab)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n为何值？提示：由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式共有9项，故n8.2(ab)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的取值有关系吗？提示：(ab)n的展开式的各个二项式系数的和与a，b的值无关，其和为CCCC2n.求展开式的系数和例1若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解(1)令x0，则a01，令x1，则a7a6a1a027128.a1a2a7129.(2)令x1，则a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得：a1a3a5a7128(4)78 256.(3)由得：a0a2a4a6128(4)78 128.(4)法一：(3x1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零，|a0|a1|a2|a7|a1a3a5a7(a0a2a4a6)8 256(8 128)16 384.法二：|a0|a1|a2|a7|即为(13x)7展开式中各项的系数和，|a0|a1|a2|a7|(13)74716 384.二项展开式中系数和的求法(1)对形如(axb)n, (ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.1设f(x)(x2x1)9(2x1)6，试求f(x)的展开式中：(1)所有项的系数和；(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和解：(1)所有项的系数和为f(1)36729.(2)所有偶次项的系数和为364，所有奇次项的系数和为365.求展开式中系数或二项式系数最大的项例2在8的展开式中，(1)系数绝对值最大的项是第几项？(2)求二项式系数最大的项；(3)求系数最大的项；(4)求系数最小的项解Tr1C()8rr(1)rC2rx.(1)设第r1项系数的绝对值最大则5r6，又rN，r5或r6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项(2)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项T5C24x1 120x6.(3)由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，而7项的系数为正则系数最大的项为T7C26x111 792x11.(4)系数最小的项为T6C25x1 792x.求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解一般地，如果第r1项的系数最大，则与之相邻两项(第r项，第r2项)的系数均不大于第r1项的系数，由此列不等式组可确定r的范围，再依据rN*来确定r的值，即可求出最大项2已知n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n.又展开式中二项式系数和为2n，2n32，n5.(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)设展开式中第k1项的系数最大，则由Tk1C(x)5k(3x2)k3kCx，得k，k4，即展开式中系数最大的项为T5C(x)(3x2)4405x.解题高手妙解题如果CCCC，求(1x)2n的展开式中系数最大的项尝试 巧思由于2n是偶数，且(1x)2n展开式中各项的系数即为二项式系数，因此系数最大的项应为第n1项，因此只需确定n的值即可等式可变形为(n1)C(n1)C(n1)C(n1)CC31，而(n1)CC，(n1)CC，(n1)CC，.故利用二项式系数的性质即可解决妙解由CCCC，得(n1)C(n1)C(n1)C(n1)CC31，CCCCC31，即2n1131，2n132，n15，即n4.1(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2 Dn2，n3解析：选C该式展开共2n2项，中间有两项；第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项2若n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为()A10B20C30D120解析：选B由2n64，得n6，Tr1Cx6rrCx62r(0r6，rN)由62r0，得r3，T4C20.3若(12x)2 018a0a1xa2 018 x2 018(xR)，则的值为()A2 B0C1 D2解析：选C令x0，得a01.令x，得a00，所以1.4若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为_解析：(7ab)10的展开式中二项式系数的和为CCC210，令(x3y)n中xy1，则由题设知，4n210，即22n210，解得n5.答案：55(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_解析：设(2x1)10a0a1xa2x2a10 x10，令x1，得a0a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.答案：6已知(13x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项解：由题意知，CCC121，即CCC121，1n121，解之得n15或n16(舍去)(13x)15的展开式中二项式系数的最大项为第8项和第9项，且T8C(3x)7，T9C(3x)8.一、选择题1已知(13x)9a0a1xa2x2a9x9，则|a0|a1|a2|a9|等于()A29B49C39 D1解析：选Bx的奇数次方的系数都是负值，|a0|a1|a2|a9|a0a1a2a3a9.已知条件中只需赋值x1即可2关于(ab)10的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和为1 024B展开式中第6项的二项式系数最大C展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小解析：选C根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的3已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29 B210C211 D212解析：选A由CC，得n10，故奇数项的二项式系数和为29.4设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m等于()A5 B6C7 D8解析：选B由二项式系数的性质知，二项式(xy)2m的展开式中二项式系数的最大值有一项，即Ca，二项式(xy)2m1的展开式中二项式系数的最大值有两项，即CCb，因此13C7C，所以137，所以m6.二、填空题5(12x)2(1x)5a0a1xa2x2a7x7，则a1a2a3a4a5a6a7等于_解析：令x0，得a01，令x1，得a0a1a2a3a4a5a6a725，a1a2a3a4a5a6a725131.a1a2a3a4a5a6a731.答案：316(1)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为_解析：二项式(1)20的展开式的通项是Tr1C120r()rC(1)rx.因此，(1)20的展开式中，x的系数与x9的系数之差等于C(1)2C(1)18CC0.答案：07若对任意的实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a