三年高考2016-2018高考数学试题分项版解析专题23立体几何中的角理含解析.docVIP

专题23 立体几何中的角 2018年高考全景展示1【2018年浙江卷】已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则A. 123 B. 321 C. 132 D. 231【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB， 因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面. 2【2018年理数全国卷II】在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1； （）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）见解析（）详解：方法一：（）由得，所以.故.由， 得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（）设直线与平面所成的角为.由（）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2017年高考全景展示1.【2017课标II，理10】已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【答案】C【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP的平面角为，则ABCD【答案】B【解析】试题分析：设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等，因此，所以选B【考点】 空间角（二面角）【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解3.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最小值为60.其中正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】试题分析：由题意， 是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由 ，又AC圆锥底面，在底面内可以过点B，作 ，交底面圆 于点D，如图所示，连结DE，则DEBD， ，连结AD，等腰ABD中， ,当直线AB与a成60角时， ，故 ，又在 中， ，过点B作BFDE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 , 为等边三角形， ，即AB与b成60角，正确，错误.由最小角定理可知正确；很明显，可以满足平面ABC直线a，直线 与 所成的最大角为90，错误.正确的说法为.【考点】 异面直线所成的角【名师点睛】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.4.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 。试题解析：（1）取的中点，连结，。因为是的中点，所以,由得，又,所以。四边形为平行四边形，。又平面，平面，故平面。（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，设则，因为BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，所以， ，即。又M在棱PC上，设,则 。由，解得 (舍去)，。所以，从而。设是平面ABM的法向量，则即所以可取。于是 ，因此二面角的余弦值为。【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=。求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。5.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】试题分析：（）设交点为，连接，因为线面平行，平面,根据性质定理，可知线线平行，即，为的中点，所以为的中点；（）因为平面平面，所以取的中点为原点建立如图空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量，和，再根据公式 ，求二面角的大小，（）根据（）的结论，直接求 .试题解析：解：（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.设平面的法向量为，则，即.令，则，.于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知，.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.6.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 【解析】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.试题解析：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.（）依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或.【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.7.【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点（）证明：平面PAB；（）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）【解析】试题分析：（）取PA中点F，构造平行四边形BCEF，可求证；（）由题取取BC，AD的中点为M，N，可得AD平面PBN，即BC平面PBN，过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角依此可在RtMQH中，求QMH的正弦值试题解析： （）如图，设PA中点为F，连结EF，FB因为E，F分别为PD，PA中点，所以且，又因为，所以且，即四边形BCEF为平行四边形，所以，因此平面PAB（）分别取BC，AD的中点为M，N连结PN交EF于点Q，连结MQ因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ/CE由PAD为等腰直角三角形得PNAD由DCAD，N是AD的中点得BNAD所以 AD平面PBN，由BC/AD得BC平面PBN，那么平面PBC平面PBN过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MHMH是MQ在平面PBC上的射影，所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角设CD=1在PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在RtMQH中，QH=，MQ=，所以sinQMH=， 所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值是【考点】证明线面平行，求线面角【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面 本题（1）是就是利用方法证明的另外，本题也可利用空间向量求解线面角8.【2017江苏，22】 如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=, . （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】解：在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.因为AB=AD=2，AA1=，.则.(1) ，则.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.从而,设二面角B-A1D-A的大小为，则.因为，所以.因此二面角B-A1D-A的正弦值为.【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2016年高考全景展示1.【2016高考新课标1卷】平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,/平面CB1D1,平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】试题分析：如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（I）先证明平面,结合平面,可得平面平面（II）建立空间坐标系,分别求出平面的法向量及平面的法向量 ,再利用