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四川省棠湖中学2018-2019学年高三上学期开学考试数学(理)试题考试说明:(1)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分, 满分150分考试时间为120分钟(2)第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡第I卷(选择题, 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列复数是纯虚数的是A B C D2某校共有500名高二学生,在一次考试中全校高二学生的语文成绩服从正态分布,若,则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为A70 B80 C90 D1003已知集合,则A B C或 D或4已知命题:,使得,则为 A,总有 B,使得C,总有 D,使得5.若,满足约束条件,则的最小值是A B C. D6.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件为“取出的两个球颜色不同”,事件为“取出一个黄球,一个绿球”,则A B C D7方程至少有一个负根的充要条件是 A B C D或8设,则的大小关系是A. B. C. D. 9底面是边长为1的正方形,侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为A. B. C. D.10在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切,则圆C面积的最小值为A. B. C D.11若,则的最小值为A B C D12已知函数,若函数的图象上存在点,使得在点处的切线与的图象也相切,则的取值范围是A B C D第卷(非选择题, 共90分)2、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分将答案填在答题卡相应的位置上)K13二项式的展开式中含项的系数为 14九章算术是我国古代内容较为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆堡壔,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?答曰:二千一百一十二术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”这里所说的圆堡壔就是圆柱体,它的体积为“周自相乘,以高乘之,十二而一”就是说:圆堡壔(圆柱体)的体积V(底面的圆周长的平方高),则该问题中圆周率的取值为_(注:一丈10尺)15已知f(x)log(x2ax3a)在区间2,)上为减函数,则实数a的取值范围是_.16已知F是椭圆C:的右焦点,P是椭圆上一点,当APF周长最大时,该三角形的面积为_.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本题满分12分)如图,ABC是等边三角形,D是BC边上的动点(含端点),记BAD, ADC.(I)求的最大值;(II)若BD1,求ABD的面积18(本小题满分12分)哈三中2016级高二期中考试中,某班共50名学生,数学成绩的优秀率为20%,物理成绩大于90分的为优秀,物理成绩的频率分布直方图如图(I)这50名学生在本次考试中,数学、物理优秀的人数分别为多少?(II)如果数学、物理都优秀的有6人,补全下列列联表,并根据列联表,判断是否有以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关?物理成绩/分60708090100O0030002600240020频率/组距物理优秀物理非优秀总计数学优秀6数学非优秀总计附:,其中.19(本题满分12分)如图,是边长为的等边三角形,分别为,靠近,的三等分点,点为边的中点,线段交线段于点,将沿翻折,使平面平面,连接,形成如图所示的几何体() 求证:平面;() 求二面角 的余弦值20(本题满分12分)已知动点到定点和定直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线(I)求曲线的方程;(II)设,过点作斜率不为 的直线与曲线交于两点,设直线的斜率分别是,求的值21(本题满分12分)设函数,(其中).(I)当时,求函数的极值; (II)求证:存在,使得在内恒成立,且方程在内有唯一解.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22.(本小题10分)已知直线(为参数),曲线(为参数).(I)求直线与曲线的普通方程;(II)已知点,若直线与曲线相交于两点(点在点的上方),求的值.23.(本小题10分)已知关于x的不等式|2x1|x1|log2a(其中a0)(I)当a4时,求不等式的解集;(II)若不等式有解,求实数a的取值范围四川省棠湖中学2018-2019学年高三上学期开学考试数学(理)答案1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.A 9.D 10.A 11.D 12.B13. 143 15. 16.17解:(1)由ABC是等边三角形,得,0,故2coscos=2coscossin,故当,即D为BC中点时,原式取最大值.(2)由cos ,得sin ,故sin sinsin cos cos sin ,由正弦定理,故ABBD1,故SABDABBDsin B1.18.(1)10,12 (2) 有19.解:()证明:在图1中,由ABC是等边三角形,E,D分别为AB,AC的三等分点,点G为BC边的中点,则DEAF,DEGF,DEBC. 在图2中,因为DEAF,DEGF,AFFGF,所以DE平面AFG.又DEBC,所以BC平面AFG. ()解:因为平面AED平面BCDE,平面AED平面BCDEDE,AFDE,所以, 平面 又因为DEGF,所以FA,FD,FG两两垂直 以点F为坐标原点,分别以FG,FD,FA所在的直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.则A(0,0,2),B(,3,0),E(0,2,0),所以(, 3,2),(,1,0)设平面ABE的法向量为n(x,y,z),则即取x1,则y,z1,则n(1,1) 显然m(1,0,0)为平面ADE的一个法向量,所以 cosm,n. 由图形可知二面角BAED为钝角,所以,二面角BAED的余弦值为. 20.解:(I)设,则依题意有,整理得,即为曲线的方程. ()设直线,则由联立得: ;即21.解:(I)当时, , 令,得,当变化时,的变化如下表:极大值极小值 由表可知,;(II)设,若要有解,需有单减区间,则要有解,由,记为函数的导数则,当时单增,令,由,得,需考察与区间的关系:当时,在上,单增,故单增,无解;当,时,因为单增,在上,在上当时,(i)若,即时,单增,无解;(ii)若,即,在上,单减;,在区间上有唯一解,记为;在上,单增 ,当时,故在区间上有唯一解,记为,则在上,在上,在上,当时,取得最小值,此时若要恒成立且有唯一解,当且仅当,即,由有联立两式解得.综上,当时,22.解:(1)由直线已知直线(为参数),消去参数得:曲线(为参数)消去参数得:.(2)设将直线的参数方程代入得: 由韦达定理可得:
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