八年级上数学期末复习讲义

八年级上数学期末复习讲义第一章 勾股定理复习要求(1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；(2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题；(3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么，a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c的平方=a+b =8+15 =64+225=289 C0 C=17如果三角形三边长为a、b、c，c为最长边，只要符合a+b=c，这个三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）。基础训练1一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m那么梯子的顶端距墙脚的距离是（）(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，103、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）A： B： C： D：3 4、如图一艘轮船以16海里小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）A：36 海里 B：48 海里 C：60海里 D：84海里5、若中，高AD=12,则BC的长为（ ）A：14 B：4 C：14或4 D：以上都不对填空题: 6、如图所示，以的三边向外作正方形，其面积分别为,且 ； 7、如图，,则AD= ； 8、已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 ； 9、如图，已知一根长8m的竹杆在离地3m处断裂，竹杆顶部抵着地面，此时，顶部距底部有 m； 10、一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，上午10：00，两小相距 海里。ABC160m128m11如图，为了求出湖两岸A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形通过测量，得到AC长160m，BC长128m，则AB长 m12利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2 abc化简后即为c2 13有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？本章小专题专题一：勾股定理的应用例1、 如图11，在钝角中，CB9，AB17，AC10，于D，求AD的长。图11例2、 如图12，垂足为O，问与相等吗？理由是为什么？图12小专题二：勾股定理的验证例：如图13，将四个全等的直角三角形拼成正方形，直角三角形的两直角边分别为，斜边边长为，利用此图验证勾股定理。 图13小专题三：判定三角形的形状例：已知：是三角形的三边长，试判断三角形的形状。专题一针对训练：1、 如图14，铁路上A、B两站，相距25，C、D为两村庄，若AD15，CB10，现要在铁路线上新建一个土特产品收购站E，使DECE，则E站就离A站多远？图14 2、如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？CAB8km6km3、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？ 专题二针对训练：如图16，将两个全等的直角三角形拼成直角梯形，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，利用此图验证勾股定理。图16专题三针对训练：如果的三角形三边长分别为，且满足，判断的形状。第二章 实数复习要求(1)了解无理数的概念和意义；(2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律；(3)能用有理数估计一个无理数的大致范围；(4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；(5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算；(6)能运用实数的运算解决简单的实际问题概念与规律事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。无限不循环小数叫无理数。无理数：圆周率=3.14159265；0.585885888588885(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“”，读作“根号a”。0的算术平方根是0，即=0一个正数有2个平方根，0只有一个平方根，它是0本身，负数没有平方根。格式： 因为1的平方=1，所以1的算术平方根是1，即=1。一般地，如果一个数x的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数。格式： 因为（8）=64，所以64的平方根是8，即=8。一般地，如果一个数x的立方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。一个数只有一个立方根，即为，读作3次根号a。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。球的体积公式：V=r，r为求得半径。正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数。有理数和无理数统称为实数，即实数可分为有理数和无理数。实数也可分为正实数、0、负实数。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。=（a0，b0）；= (a0，b0)。基础训练19的平方根是 ；25的算术平方根是 28的立方根是 ； 3的相反数是 ；绝对值等于的数是 4化简 ； 5下列计算结果正确的是（ ）(A) (B) (C) (D)6下列各式中，正确的是（ ）(A) (B) (C) (D) 下列说法中：无限小数是无理数；无理数是无限小数；无理数的平方一定是无理数；实数与数轴上的点是一一对应的。正确的个数是（ ） A、1 B、2 C、3 D、47、下列命题：（-3）2的平方根是-3 ；-8的立方根是-2；的算术平方根是3；平方根与立方根相等的数只有0； 其中正确的命题的个数有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、若（ ）A、0 B、1 C、-1 D、29把下列各数分别填入相应的集合里：有理数集合：；无理数集合：；负实数集合：10, （1） 已知（2）设(3) 已知2m-3和m-12是数p的平方根，试求p的值。11已知a2，b4，c2，且，求x的值10化简(1) (2)(2)(2)本章专题：专题一：根据开方的意义解题。1、 已知，求的值。1、 若和互为相反数，试求的值。2、 阅读下面的解题过程已知实数满足，且，试求的值。解：因为，所以，故所以，所以2。请仿照上面的解题过程，解答下面的问题：已知实数满足且，试求的值。第三章 图形的平移与旋转复习要求(1)认识具体实例中的图形的平移和旋转，了解平行四边形是中心对称图形；(2)理解平移时对应点连线平行且相等，旋转时对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；(3)能按要求作出简单平面图形平移后的图形，探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)；(4)能利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用概念与规律在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的形状和大小。经过平移，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行且相等，对应角相等。在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。旋转不改变图形的大小和形状。经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。基础训练1 在括号内填上图形从甲到乙的变换关系：甲乙乙甲甲乙（ ）（ ）（ ）2钟表的秒针匀速旋转一周需要60秒20秒内，秒针旋转的角度是 3下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是 ABCDMABCEF4经过平移，ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形O5在右图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90后的图案第四章 四边形性质探索复习要求(1)了解多边形的内角和与外角和公式，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质，了解它们之间的关系了解四边形的不稳定性；(2)掌握平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质，四边形是平行四边形的条件（一组对边平行且相等，或两组对边分别相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形）了解中心对称图形及其基本性质；(3)掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件；(4)了解等腰梯形同一底上的两底角相等，两条对角线相等的性质，以及同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形的结论；(5)知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以密铺平面，并能运用这几种图形进行简单的密铺设计；概念与规律凸四边形 凹四边形 两两组组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形不相邻两个顶点连成的线段叫对角线。平行四边形对边相等。平行四边形对角相等。平行四边形的对角线互相平分。若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。绕中心旋转180度能与原图重合的图形是中心对称图形。一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形对角线相等，四个角都是直角。对角线相等的平行四边形是矩形。三个角都是直角的四边形是矩形。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。一组邻边相等的矩形叫做正方形。正方形具有一切平行四边形、菱形、矩形的一切性质。特殊的梯形：直角梯形，等腰梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形。两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形。在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。多边形的边、顶点、内角和的含义与三角形相同。同一个顶点引出对角线（n-3）条同一个顶点引出三角形（n-2）个在平面内，内角都相等，边也相等的多边形叫做正多边形。n变形的内角和等于（n-2）180正n边形的内角（n-2）180/nn边形有1/2n(n-3)条对角线。多变性内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的外角和。多边形的外角和等于360一般的，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形地镶嵌。三角形、四边形和正六边形都可以密铺。用边长相等得正八边形和正方形能否密铺？解：设在拼接点出正八边形有x个角，正方形有y个角正八边形内角为135，正方形内角为90135x+90y=360 3x+2y=8x=2 y=1边长相等的正八边形和正方形能密铺。在平面内，一个图形绕某个顶点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。当n为大于或等于3的偶数时，正n边形为中心对称图形。基础训练1在ABCD中，若A60.则B_.C_2若菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则此菱形的周长为_ _cm，面积为_cm23正方形的边长为1cm，则它的对角线长为_cm，对角线与一边所夹的角是_4一个正方形要绕它的中心至少旋转_，才能和原来的图形重合5一个多边形的内角和为900，那么这个多边形的边数为_6下列性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）.(A)对角线相等 (B)对角线互相平分 (C)对角线平分一组对角 (D)对角线互相垂直7下列说法中错误的是（）A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B两条对角线相等的四边形是矩形；C两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D两条对角线相等的菱形是正方形8下列说法中,错误的是 （ D ） A平行四边形的对角线互相平分 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C菱形的对角线互相垂直 D对角线互相垂直的四边形是菱形9四边形ABCD中，ABCD=2213，则这个四边形是（C ） A梯形 B等腰梯形 C直角梯形 D任意四边形 10下列图形中是中心对称图形的是（ ）.DCAB 8已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，A90，AD5cm，DC12cm，BC13cm，求AB的长9在平行四边形ABCD中对角线AC平分DAB，这个四边形是菱形吗？说说你的理由BCAD10如图19-12，已知四边形ABCD是等腰梯形， CD/BA,四边形AEBC是平行四边形请说明：ABDABEDAEBC 图19-12AEBDCF1 图19-142O11.如图19-14，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于F 试确定AD与EF的位置关系，并说明理由第五章 位置的确定复习要求(1)能灵活运用不同的方式确定物体的位置；(2)认识并能画出平面直角坐标系在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，由点的位置写出它的坐标；(3)能在方格纸上建立适当的直角坐标系，描述物体的位置；(4)在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标的变化与图形变换的影响；概念与规律（1） 确定位置的几种方法：极坐标思想方法；平面直角坐标系的思想方法；区域定位法；方位定位法。（2） 平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。通常，水平的数轴叫称为横轴或X轴，竖直的数轴称为纵轴或Y轴。（3） 平面直角坐标系中的点是用一对有序数对来表示的，所以平面上的点和有序实数对是一一对应的关系。点（）与点（）是不同的两个点。（4） 各象限内点的横、纵坐标的特点：横轴上所有的点的纵坐标均为0，可表示为（），纵轴上所有点的横坐标均为0，可表示为（）。第一象限横、纵坐标均为正；第二象限的横坐标为负，纵坐标为正；第三象限的横、纵坐标均为负；第四象限的横坐标为正，纵坐标为负。（5） 对称点坐标特征：与X轴对称的点的特征为：横纵坐标不变，纵坐标互为相反数。即点P（）关于X轴的对称点是（）；与Y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变。即点P（）关于Y轴的对称点是（）；与原点对称的点的特征：横坐标与纵坐标均互为相反数。即点P（）关于原点的对称点是（）。（6） 图形上点的纵坐标变化与图形变化之间的关系（1） 纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的倍。 当时，原图形被横向拉长为原来的倍。 当时，原图形被横向缩短为原来的K倍。（2） 横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的K倍 当时，原图形被纵向拉长为原来的倍。 当时，原图形被纵向压缩为原来的K倍。（3） 纵坐标保持不变，横坐标分别加K 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向右平移K个单位长度。 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向左平移个单位长度。（4） 横坐标保持不变，横坐标分别加K 当K为正数时，原图形形状、大小不变，向上平移K个单位长度。 当K为负数时，原图形形状、大小不变，向下平移个单位长度。（5） 横坐标保持不变，纵坐标分别乘1，所得图形与原图形关于横轴成轴对称。（6） 纵坐标保持不变，横坐标分别乘1，所得图形与原图形关于纵轴成轴对称。（7） 横、纵坐标分别乘1，所得图形与原图形关于原点成中心对称。（8） 横、纵坐标分别变成原来的K倍 当K1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小扩大了K倍。 当0K1时，所得图形与原图形相比，形状不变，大小缩小了K倍。基础训练1、点M在x轴的上侧，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）A. （5,3） B. （5,3）或（5,3）C. （3,5） D. （3,5）或（3,5）2、若，则点P（x,y）的位置是（ ）A. 在数轴上 B. 在去掉原点的横轴上 C. 在纵轴上 D. 在去掉原点的纵轴上3、点P（）在直角坐标系的轴上，则点P的坐标为（ ）A(0，-2) B(2，0) C(4，0) D(0，-4)4、点P（-1，3）关于原点对称的点的坐标是 （）A（-1，-3）B（1，-3）5、A（-3，2）关于原点的对称点是B，B关于x轴的对称点是C，则点C的坐标是（）A（3，2）B（-3，2）C（3，-2）D（-2，3）6、一个平行四边形三个顶点的坐标分别是（0，0）、（2，0）、（1，2），第四个顶点在x轴下方，则第四个顶点的坐标为（）A（-1，-2）B（1，-2）C（3，2）D（-1，2）二、填空题7、已知点A（a-1，a+1）在x轴上，则a等于_8、已知P（-3，2），P点是P点关于原点O的对称点，则P点的坐标为_9、已知点 P（-4，5），点A与点P关于y轴对称，则点A的坐标是 .10、以点（4，0）为圆心，以5为半径的圆与y轴交点的坐标为_11、已知小岛A在灯塔B的北偏东30的方向上，则灯塔B在小岛A的_ 的方向上。12、在直角坐标系中，A（1，0），B（1，0），ABC为等边三角形，则C点的坐标是_ 。第六章 一次函数复习要求(1)能在具体情境中体会一次函数的意义；(2)能根据所给信息确定一次函数表达式；(3)会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和表达式理解其性质；(4)能利用一次函数及其图象解决简单的实际问题；(5)初步体会方程和函数的关系知识详解1、 函数：（1）一般地，在某个变化过程中，有两个变量X和Y，如果给定一个X值，相应地就确定了一个Y值，那么我们就称Y是X的函数，其中X是自变量，Y是因变量。（2）函数的三种表示方法：列表法图象法解析法用数学式子表示函数的方法叫做解析法。（3）确定函数关系的方法判断变量之间是否构成函数关系，就是看是否存在两个变量，并且在这两个变量中，确定好哪个是自变量，哪个是因变量，自变量在变化过程中处于主动地位，因变量在变化过程中处于被动地位，自变量每变一个值，因变量都必须有值与它对应，这样才能构成函数关系。2、 一次函数：若两个变量X、Y间的关系可以表示成（）的形式，则称Y是X的一次函数（X为自变量，Y为因变量）特别地，当时，称Y是X的正比例函数。3、 一次函数的图象（1） 画函数图象的步骤：列表；描点；连线。（2） 由于一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。由于两点确定一条直线，因此在画一次函数的图象时，只要描出点（两点即可，画正比例函数的图象时，只要描出点（0，0），（1，K）即可。（3）的正负决定直线的倾斜方向，的大小决定直线的倾斜程度，即越大，直线与轴相交的锐角度数越大（直线陡），越小，直线与轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。（4）的正负决定直线与轴交点的位置。 当时，直线与Y轴的交于正半轴上。 当时，直线与Y轴交于负半轴上。 当时，直线经过原点，是正比例函数。（3） 一次函数、正比例函数的图象和性质。函数图象性质一次函数（1）当时，随的增大而增大，图象必经过一三象限。时，过一二三象限时，只过一三象限时，过一三四象限时（2）当时，随的增大而减小，图象必过二四象限。时，过一二四象限时，只过二四象限时，过二三四象限正比例函数图象过原点当时，随的增大而增大，图象必过一三象限当时，随的增小而减小，图象必过二四象限。4、 确定一次函数表达式（1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件 由于正比例函数中只有一个待定系数，故只需一个条件（如一对的值或一个点）就可求得的值。 由于一次函数中有两个待定系数，需要两个独立的条件确定两个关于的方程，求得的值，这两个条件通常是两个点或两对的值。（2） 待定系数法先设式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。（3） 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设函数表达式为。 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 求出的值，得函数表达式。基础训练1,（1）若函数y=(k1)xk21是正比例函数，则k的值为（）A0B1C1D12,已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为_.3,当m=_时，函数是一次函数.例3、两个一次函数y1=mxn，y2=nxm，它们在同一坐标系中的图象可能是图中的（）例6、直线y=kxb过点A（2，0），且与y轴交于点B，直线与两坐标轴围成的三角形面积为3，求直线y=kxb的解析式2作出一次函数y2x1的图象，根据图象回答：(1)图象与x轴交点坐标是（ ），与y轴的交点坐标是（ ）；(2)当x 时，y0，当x 时，y03写出下图中，直线l所表示的变量x与y之间的函数关系式yxO(2，1)2l4一支蜡烛长25cm，点燃后，每小时耗去5cm，t小时后，剩下的长度为Scm(1)求S与t之间的函数关系式；(2)多少小时后，蜡烛用完？5如图，l1表示某汽车销售公司一天的销售收入与销售量的关系，l2表示该公司一天的销售成本与销售量的关系根据图象回答：x1时，销售收入 万元，销售成本 万元，利润 万元；（利润收入成本）一天销售 辆时，销售收入等于销售成本l1对应的函数表达式是 你能写出利润与销售量间的函数表达式吗？ 第七章 二元一次方程组复习要求(1)了解二元一次方程的概念，会把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；(2)了解二元一次方程组和它的解等概念，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；(3)会解二元一次方程组；(4)根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解简单的应用题；(5)了解解二元一次方程组的基本思想是“消元”基础训练1已知是方程ax2y2的一个解,那么a的值是 2已知2x3y1，用含x的代数式表示y，则y ，当x0时，y 7、关于x、y的两个方程组 和 具有相同的解，则ab的值是（ ）A、B、C、5D、