中考数学专题：动态几何问题

1 / 19 中考数学专题：动态几何问题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 中考数学专题 3 动态几何问题 第一部分真题精讲 【例 1】如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒） （ 1）当时，求的值； （ 2）试探究：为何值时，为等腰三角形 【思路分析 1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手 。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言， m， N 是在动，意味着 Bm,mc以及 DN,Nc都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件 Dc,Bc长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 mN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】 2 / 19 解：（ 1）由题意知，当、运动到秒时，如图 ，过作交于点，则四边形是平行四边形 ， （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将mN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） 解得 【思路分析 2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是 mN=Nc 即可，于是就漏掉了mN=mc,mc=cN 这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】 （ 2）分三种情况讨论： 当时，如图 作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ， 当时，如图 ，过作于 H 则， 当时， 3 / 19 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形 【例 2】在 ABc 中， AcB=45º 点 D（与点 B、 c 不重合）为射线 Bc 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF （ 1）如果 AB=Ac如图 ，且点 D 在线段 Bc上运动试判断线段 cF 与 BD之间的位置关系，并证明你的结论 （ 2）如果 ABAc ，如图 ，且点 D 在线段 Bc上运动（ 1）中结论是否成立，为什么？ （ 3）若正方形 ADEF 的边 DE所在直线与线段 cF所在直线相交于点 P，设 Ac， cD=，求线段 cP的长（用含的式子表示） 【思路分析 1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个 “ 静止点 ” ，所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】： （ 1）结论： cF 与 BD位置关系是垂直； 4 / 19 证明如下： AB=Ac， AcB=45º ， ABc=45º 由正方形 ADEF得 AD=AF， DAF=BAc=90º ， DAB=FAc ， DABFAc ， AcF=ABD BcF=AcB+AcF=90º 即 cFBD 【思路分析 2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找 Ac 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （ 2） cFBD (1)中结论成立 理由是：过点 A 作 AGA c 交 Bc于点 G， Ac=AG 可证： GADcAFAcF=AGD=45º BcF=AcB+AcF=90º 即 cFBD 【思路分析 3】这一问有点棘手， D 在 Bc 之间运动和它在Bc延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是 4+X 还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出 cP. （ 3）过点 A 作 AQBc 交 cB的延长线于点 Q， 点 D 在线段 Bc上运动时， BcA=45º ，可求出 AQ=cQ=4 DQ=4 -x， 易证 AQDDcP ， ， ， 点 D 在线段 Bc延长线上运动时， 5 / 19 BcA=45º ，可求出 AQ=cQ=4， DQ=4+x 过 A 作交 cB延长线于点 G，则 cFBD ， AQDDcP ， ， ， 【例 3】已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形 （ 1）求证：梯形是等腰梯形； （ 2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式； （ 3）在（ 2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由 【思路分析 1】本题有一点综合题的意味，但是对二 次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例 1 一样是双动点问题，所以就需要研究在 P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定 mPQ=60 ，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来 .因为最终求两条线段的关系 ,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系 .怎么证相似三角形呢 ?当然是利用角度咯 .于是就有了思路 . 【解析】 （ 1）证明： 是等边三角形 是中点 6 / 19 （ 2）解：在等边中， ( 这个角度传递非常重要 ,大家要仔细揣摩 ) ( 设元以后得出比例关系 ,轻松化成二次函数的样子 ) 【思路分析 2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当 X 取对称轴的值时 y 有最小值。接下来就变成了 “ 给定 Pc=2，求 PQc形状 ” 的问题了。由已知的 Bc=4，自然看出 P 是中点，于是问题轻松求解。 （ 3）解：为直角三角形 当取最小值时， 是的中点，而 以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某 角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢 ?接下来我们看另外两道题 . 【例 4】已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，7 / 19 连接，为中点，连接 （ 1）直接写出线段与的数量关系； （ 2）将图 1 中绕点逆时针旋转，如图 2 所示，取中点，连接， 你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （ 3）将图 1 中绕点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是 否仍然成立？（不要求证明） 【思路分析 1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45 到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将 BEF 旋转 45 之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是 G 是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接 AG 之后，抛开其他条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法， 自然想到过 G 点做 AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。 （ 1） （ 2）（ 1）中结论没有发生变化，即 证明：连接，过点作于，与的延长线交于点 8 / 19 在与中， ， 在与中， ， 在矩形中， 在与中， ， 【思路分析 2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果 BEF 任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建 议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在 BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是 G 点是 FD 的中点。可以延长一倍 EG 到 H，从而构造一个9 / 19 和 EFG全等的三角形，利用 BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形 EcH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形 EBc和三角形 cGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。 （ 3）（ 1）中的结论仍然成立 【例 5】已知正方形 ABcD 的边长为 6cm，点 E 是射线Bc 上的一个动点，连接 AE 交射线 Dc 于点 F，将 ABE 沿直线 AE翻折，点 B 落在点 B 处 （ 1）当 =1时， cF=_cm， （ 2）当 =2时，求 sinDAB 的值； （ 3）当 =x时（点 c 与点 E 不重合），请写出 ABE 翻折后与正方形 ABcD公共部分的面积 y 与 x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程） 【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为 1，第二问比例为 2，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一 般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的， E 在 Bc上和 E 在延长线上都10 / 19 是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。 【解析】 （ 1） cF=6cm；（延长之后一眼看出， EAZy） （ 2） 如图 1，当点 E 在 Bc上时，延长 AB 交 Dc于点 m， ABcF ， ABEFcE ， =2 ， cF=3 ABcF ， BAE=F 又 BAE=BAE ， BAE=F mA=mF 设 mA=mF=k，则 mc=k-3， Dm=9-k 在 RtADm 中，由勾股定理得： k2=(9-k)2+62，解得 k=mA= Dm= （设元求解是这类题型中比较重要的方法） sinDAB= ； 如图 2，当点 E 在 Bc延长线上时，延长 AD交 BE 于点 N， 同 可得 NA=NE 设 NA=NE=m，则 BN=12 -m 在 RtABN 中，由勾股定理，得 m2=(12-m)2+62，解得 m=AN= BN= sinDAB= （ 3） 当点 E 在 Bc上时， y=； （所求 ABE 的面积即为 ABE 的面积，再由相似表示出边长） 11 / 19 当点 E 在 Bc 延长线上时， y= 【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出 ,所以难度不言而喻 ,但是希望考生拿到题以后不要慌张 ,因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析 ,一个个将条件抽出来 ,将大问题化成若干个小问题去解决 ,就很轻松了 .为更好的帮助考生 ,笔者总结这种问题的一般思路如下： 第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。 第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。 第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外 的方式，如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。 12 / 19 第二部分发散思考 【思考 1】已知：如图（ 1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合），在运动过程中始终保持，且 （ 1）求证： ； （ 2）如图（ 2），当点为边的中点时，求证：； （ 3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示的周长；若无关，请说明理由 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中，看是否为定值，如果是关于 m 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。 【思考 2】 ABc 是等边三角形， P 为平面内的一个动点，BP=BA，若 PBc 180 ， 且 PBc 平分线上的一点 D 满足 DB=DA， （ 1）当 BP与 BA重合时（如图 1）， BPD= ； （ 2）当 BP在 ABc 的内部时（如图 2），求 BPD 的度数； 13 / 19 （ 3）当 BP在 ABc 的外部时，请你直接写出 BPD 的度数，并画出相应的图形 【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有 PBc ，以及 D点的位置，但是不动的量就是 BD是平分线并且 DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上， P 点的轨迹就是以 B 为圆心， BA为半径的一个圆，那 D 点是什么呢？留给大家思考一下 【思考 3】如图：已知，四边形 ABcD中， AD/Bc， DcBc ，已知 AB=5， Bc=6， cosB= 点 o 为 Bc边上的一个动点，连结 oD，以 o 为圆 心， Bo为半径的 o 分别交边 AB 于点 P，交线段 oD 于点 m，交射线 Bc于点 N，连结 mN （ 1）当 Bo=AD时，求 BP的长； （ 2）点 o 运动的过程中，是否存在 BP=mN的情况？若存在，请求出当 Bo为多长时 BP=mN；若不存在，请说明理由； （ 3）在点 o 运动的过程中，以点 c 为圆心， cN为半径作 c ，请直接写出当 c 存在时， o 与 c 的位置关系，以及相应的 c 半径 cN的取值范围。 【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘14 / 19 记的就是圆的半径始 终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出 mN 和 BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。 【思考 4】在中，过点 c 作 cEcD 交 AD于点 E,将线段Ec绕点 E 逆时针旋转得到线段 EF(如图 1) （ 1）在图 1 中画图探究： 当 P 为射线 cD 上任意一点（ P1 不与 c 重合）时，连结EP1¬¬绕点 E 逆时针旋转得到线段 Ec1.判断直线Fc1与直线 cD的位置关系，并加以证明； 当 P2 为线段 Dc 的延长 线上任意一点时，连结 EP2,将线段 EP2 绕点 E 逆时针旋转得到线段 Ec2.判断直线 c1c2 与直线 cD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论 . （ 2）若 AD=6,tanB=,AE=1,在 的条件下，设 cP1=， S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围 . 【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转 90 的条件。旋转 90 自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数 式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分15 / 19 非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。 第三部分思考题解析 【思考 1 解析】 （ 1）证明： ， 又 ， （ 2）证明：如图，过点作，交于点， 是的中点，容易证明 在中， ， （ 3）解：的周长， 设，则 ， 即 由（ 1）知 ， 的周长的周长 的周长与值无关 【思考 2 答案】 解：（ 1） BPD=30 ； 16 / 19 （ 2）如图 8，连结 cD 解一： 点 D 在 PBc 的平分线上， 1=2 ABc 是等边三角形， BA=Bc=Ac ， AcB=60 BP=BA ， BP=Bc BD=BD ， PBDcBD BPD=3 -3 分 DB=DA ， Bc=Ac， cD=cD， BcDAcD BPD=30 解二： ABc 是等边三角形， BA=Bc=Ac DB=DA ， cD