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第二章圆锥曲线与方程,2.3.1双曲线的标准方程,启动思维,我们知道,平面内与两个定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆那么,如果将上述椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值”,点的轨迹又是怎样的曲线呢?,走进教材,1双曲线的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这叫做双曲线的焦点,叫做双曲线的焦距,差的绝对值,两个定点,两焦点间的距离,走进教材,2双曲线的标准方程,(c,0),(c,0),(0,c),(0,c),c2a2b2,自主练习,1点F1,F2是两个定点,动点P满足|PF1|PF2|2a(a为非负常数),则动点P的轨迹是()A两条射线B一条直线C双曲线D前三种情况都有可能,D,自主练习,A,自主练习,1,典例导航,题型一:求双曲线的标准方程,1.确定双曲线类型,2.待定系数法求系数,解:,典例导航,解得:,a2=4,,b2=1,,同理,解得:,a2=-1,,b2=-4.,(舍去),有唯一一组解,典例导航,另解:,设双曲线方程为mx2ny21(mn0)A、B两点在双曲线上,,16m+3n=1,,典例导航,定型,定量,由得:a2=5,b2=1或a2=30,b2=-24,(舍),解:,典例导航,另解:,设P(5,2),,则由双曲线定义得2a=|PF1|-|PF2|,,则b2=c2-a2=1,,变式训练,典例导航,题型二:利用双曲线定义的求方程,例2求与两个定圆C1:x2y210 x240和C2:x2y210 x240都外切或者都内切的动圆圆心M的轨迹方程,转化为动点M满足的几何条件,C1:(x5)2y249C1(5,0),r17,C2:(x5)2y21C2(5,0),r21,设动圆圆心为M(x,y),半径为R,,解:,典例导航,(1)如图,当M与C1、C2都外切时,有|MC1|r1R,|MC2|r2R,则|MC1|MC2|r1r26.,(2)如图,当M与C1、C2都内切时,有|MC1|Rr1,|MC2|Rr2.则|MC1|MC2|r2r16.,典例导航,则由(1)(2)可知,|MC1|-|MC2|=6由双曲线的定义,点M的轨迹是以C1(5,0),C2(5,0)为焦点实轴长为6的双曲线,c5,a3b4,,|C1C2|=10,,变式训练,化为边,x,O,y,变式训练,典例导航,题型三:双曲线定义的应用,x,O,y,焦点三角形,|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,求角的正弦值,典例导航,将|PF2|PF1|2a6,两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36,|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中,由余弦定理得,解:,变式训练,归纳小结,1双曲线定义中注意的三个问题(1)注意定义中的条件2a|F1F2|不可缺少若2a|F1F2|,则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线;若2a|F1F2|,则动点的轨迹不存在(2)注意定义中的常数2a是小于|F1F2|且大于0的实数若a0,则动点的轨
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