2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7曲线与方程练习理.doc

9.7曲线与方程考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系了解2017课标全国,20;2016课标全国,20;2015湖北,21;2014广东,20;2013福建,18解答题分析解读1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点曲线与方程1.(2017课标全国,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=.(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0).由=得x0=x,y0=y.因为M(x0,y0)在C上,所以+=1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.(2)由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n).由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.所以=0,即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.2.(2016课标全国,20,12分)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明ARFQ;(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.解析由题设知F.设l1:y=a,l2:y=b,则ab0,且A,B,P,Q,R.记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在线段AB上,故1+ab=0.记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,则k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),则SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由题设可得2|b-a|=,所以x1=0(舍去),或x1=1.(8分)设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由kAB=kDE可得=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为y2=x-1.(12分)教师用书专用(36)3.(2015湖北,21,14分)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内做往复运动时,N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求曲线C的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.图1图2解析(1)设点D(t,0)(|t|2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,=2,且|=|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且即且t(t-2x0)=0.由于当点D不动时,点N也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=,y0=-,代入+=1,可得+=1,即所求的曲线C的方程为+=1.(2)(i)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有SOPQ=44=8.(ii)当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.又由可得P;同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|xP-xQ|,可得SOPQ=|PQ|d=|m|xP-xQ|=|m|=.将代入得,SOPQ=8.当k2时,SOPQ=8=88;当0k2时,SOPQ=8=8.因0k2,则0b0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=,e=,a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)设两切线为l1,l2,当l1x轴或l1x轴时,l2x轴或l2x轴,可知P(3,2).当l1与x轴不垂直且不平行时,x03,设l1的斜率为k,且k0,则l2的斜率为-,l1的方程为y-y0=k(x-x0),与+=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx0)kx+9(y0-kx0)2-36=0,直线l1与椭圆相切,=0,即9(y0-kx0)2k2-(9k2+4)(y0-kx0)2-4=0,(-9)k2-2x0y0k+-4=0,k是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的一个根,同理,-是方程(-9)x2-2x0y0x+-4=0的另一个根,k=,整理得+=13,其中x03,点P的轨迹方程为x2+y2=13(x3).检验P(3,2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.5.(2013福建,18,13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9.连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).(1)求证:点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若OCM与OCN的面积比为41,求直线l的方程.解析解法一:(1)依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y=x.设Pi的坐标为(x,y),由得y=x2,即x2=10y.所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0,此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2),则因为SOCM=4SOCN,所以|x1|=4|x2|.又x1x2b0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.(1)求椭圆C的离心率;(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且=+,求点Q的轨迹方程.解析(1)由椭圆定义知,2a=|PF1|+|PF2|=+=2,所以a=.又由已知得,c=1,所以椭圆C的离心率e=.(4分)(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.设点Q的坐标为(x,y).(i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.(ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为M,N在直线l上,所以可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2),|AN|2=(1+k2).又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由=+,得=+,即=+=.将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2-4(2k2+1)60,得k2.由可知,x1+x2=,x1x2=,代入中并化简,得x2=.因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由及k2,可知0x20),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A、B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线,切点为P,轨迹M与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.解析(1)依题意可得,直线l的斜率存在,故设其方程为y=kx+,又设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x,y),由x2-2pkx-p2=0x1x2=-p2.(3分)易知直线OA:y=x=x,直线BC:x=x2,由得y=-,即点C的轨迹M的方程为y=-.(6分)(2)证明:由题意知直线n的斜率存在.设直线n的方程为y=k1x+m.由x2-2pk1x-2pm=0=4p2+8pm.直线n与抛物线相切,=0p+2m=0,可得P(pk1,-m).又由Q,(9分)=-(p+2m)+pm+=0FPFQ,以线段PQ为直径的圆过点F.(12分)B组20162018年模拟提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共15分)1.(2017豫北名校4月联考,15)已知ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.答案(x-10)2+y2=36(y0)2.(人教A选21,二A,3(2),变式)已知圆O1:(x-2)2+y2=16和圆O2:x2+y2=r2(0re2),则e1+2e2的最小值为.答案3.(2016广东佛山六校联考,15)已知A(3,2)、B(1,0),P(x,y)满足=x1+x2(O是坐标原点),若x1+x2=1,则P的坐标满足的方程是.答案x-y-1=0二、解答题(共40分)4.(2018湖南郴州模拟,20)已知抛物线E:y2=8x,圆M:(x-2)2+y2=4,点N为抛物线E上的动点,O为坐标原点,线段ON的中点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(x05)是曲线C上的点,过点Q作圆M的两条切线,分别与x轴交于A、B两点,求QAB面积的最小值.解析(1)设P(x,y),则点N(2x,2y)在抛物线E:y2=8x上,4y2=16x,曲线C的方程为y2=4x.(2)设切线方程为y-y0=k(x-x0).令y=0,可得x=x0-,圆心(2,0)到切线的距离d=2,整理可得(-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0.设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=,k1k2=,QAB的面积S=-|y0|=2.设t=x0-14,+),则f(t)=2在4,+)上单调递增,f(t),即QAB面积的最小值为.5.(2018云南玉溪模拟,20)已知点M(4,0)、N(1,0),若动点P满足=6|.(1)求动点P的轨迹C;(2)在曲线C上求一点Q,使点Q到直线l:x+2y-12=0的距离最小.解析(1)设动点P(x,y),又点M(4,0)、N(1,0),=(x-4,y),=(-3,0),=(x-1,y).(3分)由=6|,得-3(x-4)=6,(4分)x2-8x+16=4(x2-2x+1)+4y2,故3x2+4y2=12,即+=1,轨迹C是焦点为(1,0),长轴长为4的椭圆.(7分)(2)椭圆C上的点Q到直线l的距离的最值等于平行于直线l:x+2y-12=0且与椭圆C相切的直线l1与直线l的距离.设直线l1的方程为x+2y+m=0(m-12).(8分)由消去y得4x2+2mx+m2-12=0(*).依题意得=0,即4m2-16(m2-12)=0,故m2=16,解得m=4.当m=4时,直线l1:x+2y+4=0,直线l与l1的距离d=.当m=-4时,直线l1:x+2y-4=0,直线l与l1的距离d=.由于0,则SOFA=|OF|y1=y1,(5分)=-4,x1x2+y1y2=+y1y2=-4,解得y1y2=-8,(6分)当y1=-y2时,ABx轴,A(2,2),B(2,-2),SAOB=4,SOFA=,S=5.当y1-y2时,直线AB的方程为=,(7分)即y-y1=,令y=0,得x=2,直线AB恒过定点(2,0),设定点为E,SOAB=|OE|y1-y2|=y1-y2,(9分)由可得SOAB=y1+,(10分)S=SOFA+SOAB=y1+=y1+2=4当且仅当y1=,即y1=时,取等号.(11分)综上,Smin=4.(12分)C组20162018年模拟方法题组方法求轨迹方程的方法1.(2018山西临汾模拟,9)已知椭圆C:+=1(ab0)的左,右顶点分别为A,B,点M,N是椭圆C上关于长轴对称的两点,若直线AM与BN相交于点P,则点P的轨迹方程是() A.x=a(y0)B.y2=2b(|x|-a)(y0)C.x2+y2=a2+b2(y0)D.-=1(y0)答案D2.(2018安徽合肥模拟,20)如图,抛物线E:y2=2px(p0)与圆O:x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.(1)求p的值;(2)求动点M的轨迹方程.解析(1)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知抛物线E的方程为y2=2x.设C,D,y10,y20.易知l1,l2的斜率均存在,设切线l1:y-y1=k,代入y2=2x得ky2-2y+2y1-k=0,由=0解得k=,l1的方程为y=x+,同理,l2的方程为y=x+,联立解得CD的方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足+=8,x02,2,联立得x0y2+2y0y-16=0,则代入可知M(x,y)满足代入+=8得-y2=1,由x02,2知x-4,-2.动点M的轨迹方程为-y2=1,x-4,-2.3.(2017福建泉州二模,20)在ABC中,O是BC的中点,|BC|=3,ABC的周长为6+3.若点T在线段AO上,且|AT|=2|TO|.(1)建立合适的平面直角坐标系,求点T的轨迹E的方程;(2)若M,N是射线OC上不同的两点,|OM|ON|=1,过点M的直线与E交于P,Q,直线QN与E交于另一点R.证明:MPR是等腰三角形.解析(1)如图,以O为坐标原点,以的方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系xOy.依题意得B,C.由|AB|+|AC|+|BC|=6+3,得|AB|+|AC|=6.因为|AB|+|AC|=6|BC|,所以点A的轨迹是以B,C为焦点,6为长轴长的椭圆(除去长轴端点),所以点A的轨迹方程为+=1(x3).设A(x0,y0),T(x,y),依题意知=,所以(x,y)=(x0,y0),即又+=1,+=1,所以点T的轨迹E的方程为x2+2y2=1(x1).(2)证明:设M(m,0)(m1),N,Q(x1,y1),P(x2,y2),R(x3,y3).由题意可得直线QM不与坐标轴平行,因为kQM=,所以直线QM的方程为y=(x-m),与x2+2y2=1联立并整理可得,(m2+1-2mx1)x2-2m(1-)x+(2mx1-m2)=0,由根与系数关系得x1x2=,同理,x1x3=x1x2,所以x2=x3或x1=0,当x2=x3时,PRx轴;当x1=0时,由x1+x2=得x2=,同理,x3=x2,PRx轴.因此|MP|=|MR|,故MPR是等腰三角形. 司马迁与班固司马迁作史记，完成于汉武帝末年。班固作汉书，书未成而作者因与外戚窦宪的关系，死于狱中，事在汉和帝永元四年（公元92年）。一属西汉，一属东汉，相去公元元年各约90年。今日看来，这两部书好像联袂而出。其实它们间隔了大约180年，等于我们现在距离清嘉庆朝的时间。史记为私人著作，汉书则经皇帝看过，有国史的色彩。司马迁自称“成一家之言”和“藏之名山”，已和班固作书的宗旨不同。况且史记是通史，汉书是断代史。两位史家的个性癖好不同，这也使他们在取材行文之间，有相当的出入。在公元前90年和公元90年，中国的史家和思想家所处的社会环境已有大幅度的变化。其中一个关键在于，汉武帝用董仲舒之建议，罢斥百家，独尊儒术。我们在这里要特别指出的是，董仲舒之尊儒，并不是以尊儒为目的，而是为了树立一种统一帝国的正统思想，他坦白地承认提倡学术，旨在支持当时政权。武帝之置五经博士、立学校之官、策贤良，都根据此宗旨着眼，从此中国庞大的文官集团，有了他们施政的正统逻辑。司马迁和董仲舒同时代，他读书不受这种政策的影响。而到了班固生活的年代，“正规的”儒家思想已有一百多年的基础。司马迁和班固一样，自称是周公和孔子的信徒。可是今日我们一打开史记，随意翻阅三五处，即可以体会到作者带着一种浪漫主义和个人主义的作风，爽快淋漓，不拘形迹，无腐儒气息。他自称“少负不羁之才，长无乡曲之誉”，应当是一种真实的写照。他所崇奉的“士为知己用，女为悦己容”也可以说是源于儒家道德，可是这立场就已经和经过正统限制的所谓儒家不同了。史记里写荆轲和高渐离饮酒击筑，又歌又泣，旁若无人，已近于董仲舒所说的“邪辟”。并且项羽是汉高祖刘邦的死对头，而史记里的项羽本纪排列在高祖本纪之前（若在后代必称“项酋”“伪楚”，而“本纪”只能降格为“载记”）。文中又把项羽写成一个虽暴躁却又浑憨可爱的角色，其英雄末路，令人怜惜。与之相较，刘邦反像一个伪君子。史记除了刺客列传之外，还有滑稽列传日者列传和龟策列传，可谓涉及九流三教，有呈现整个社会之剖面的样子。班固书里虽有东方朔传，却不再缕列非正派或下流的文化资料。也因其如此，司马迁就受到班固的指责。汉书里就有司马迁传，内中批评他“又其是非颇缪于圣人，论大道则先黄老而后六经，序游侠则退处士而进奸雄，述货殖则崇势利而羞贱贫，此其所蔽也”。这些地方还不足以表现班固的正统思想，最使我们看出他的作品在历史上是属于“罢斥百家，独尊儒术”之后的产物的，乃是汉书卷二十古今人表。这表里列有1931位古代名人，包括传奇中的人物如女娲氏、有巢氏，论语中有名的孔门弟子，春秋中的国君等，至秦亡为止。由作者“显善昭恶”的原则按上上至下下区分为三等九则。内中得“上上圣人”者十四人，包括三皇五帝，以周公、孔子殿后。仲尼之外即再无圣人，孟子也只与颜渊、管仲同属“上中仁人”。老子与商鞅、申子、墨翟、韩非都属“中上”，与孙膑、白起一流。刺客荆轲则为“中中”，和孟尝君、吕不韦同品。而“下下愚人”里既有蚩尤、共工、三苗，也有倾国倾城的褒姒和妲己。秦始皇虽焚书坑儒，班固只贬之为“中下”，因为他下面还有二世胡亥列入“下中”，宦官赵高列入“下下”。因此，我们也可以推想出世俗观念中儒家的拘泥，并不一定是孔子和他门徒的真性格。那些呆板多方面的样子，还是后人所造，其目的在维持文官集团的紧凑。总算还是中国读书人的运气好，得有太史公司马迁在兰台令班固之前写作，否则没有史记，径由汉书开二十三史之端，中国史学的传统，必更趋向“文以载道”的方针，更缺乏“百家殊方”的真实性和生动活泼了。1. 关于史记和汉书的表述，下列理解符合原文意思的一项是A. 史记完成于汉武帝末年，汉书完成于汉和帝永元四年，一属西汉，一属东汉，成书年代相差约180年。B. 史记为私人著作，而汉书则经皇帝看过，带有