2019届高考数学一轮复习 第八篇 平面解析几何 第5节 抛物线训练 理 新人教版.doc

第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的标准方程与几何性质1,2,3,7抛物线的定义及其应用6,8,9,11抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用4,5,10,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为(D)(A)x=-1(B)x=-2(C)x=-3(D)x=-4解析:因为抛物线y2=2px的焦点（,0）在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4.故选D.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是(D)(A)y2=2x(B)y2=2x(C)y2=4x(D)y2=4x解析:因为双曲线的焦点为(-,0),(,0),设抛物线方程为y2=2px(p0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.故选D.3.(2016全国卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为(B)(A)2(B)4(C)6(D)8解析:以开口向右的抛物线为例,设抛物线方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=r2,设A(x0,2),D（-,）,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0, 点D（-,）在圆x2+y2=r2上,所以5+（-）2=r2, 点A(x0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2, 联立解得p=4,焦点到准线的距离为4.故选B.4.(2018汕头市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为(B)(A)4(B)8(C)16 (D)32解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0).设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0).因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,则A(2,4),所以AFK的面积为|KF|y0|=44=8.故选B.5.(2017上饶市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(-2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k等于(D)(A)(B)(C)(D)2解析:由抛物线C:y2=8x得焦点F(2,0).由题意可知,斜率k存在,设直线AB为y=k(x-2),代入抛物线方程,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4+,x1x2=4,所以y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x1+x2)-4=,y1y2=-=-8=-16.又=0,所以=(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=-+4=0,所以k=2.故选D.6.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,且点P在y轴上的射影是M,点A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是(C)(A)(B)4(C)(D)5解析:抛物线焦点F(,0),准线x=-,如图,延长PM交准线于N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.因为|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|AF|=5,而|MN|=,所以|PA|+|PM|5-=,当且仅当A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P位于抛物线上,所以|PA|+|PM|的最小值为.故选C.7.(2017茂名市一模)探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点上,已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm.解析:设抛物线方程为y2=2px(p0),点(40,30)在抛物线y2=2px上,所以900=2p40.所以p=.所以=.因此,光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案:能力提升(时间:15分钟)8.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到x轴的最短距离为(D)(A)(B)(C)1(D)2解析: 由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1l交l于点A1,过点B作BB1l交l于点B1,设弦AB的中点为M,过点M作MM1l交l于点M1,则|MM1|=.因为|AB|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|6,所以|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故点M到x轴的距离d2.故选D.9.(2017白山市一模)已知抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,PAl,垂足为A,|PF|=2,则直线AF的倾斜角为(D)(A)(B)(C)(D)解析:如图,设P(x0,y0),因为|PF|=2=x0+1.5,所以x0=0.5.所以|BF|=1.5-0.5=1,所以BPF=,从而PFB=,因为|PA|=|PF|=2,所以PAF=PFA.又PAF=AFB,所以AFB=PFB=.故选D.10.(2017长沙市模拟)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=.解析:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2,0)重合,可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为+=1.抛物线的准线方程为x=-2,联立解得y=3,所以A(-2,3),B(-2,-3),则|AB|=3-(-3)=6.答案:611.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,M为抛物线C上一点,N(2,2),则|MF|+|MN|的取值范围是.解析: 当x=2时,y=2,所以点N在抛物线的内部,如图所示,作MP垂直于抛物线的准线于点P,由抛物线的定义可知|MF|=|MP|,所以|MF|+|MN|=|MP|+|MN|PN|,当且仅当P,M,N三点共线时等号成立,此时|PN|=2+1=3,所以|MF|+|MN|3.答案: 3,+)12.(2017湖北安庆市二模)已知抛物线x2=2py(p0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹M的方程;(2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为P,准线与直线m交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.(1)解:由题意可得,直线l的斜率存在,设方程为y=kx+.设A(x1,y1),B(x2,y2),动点C(x,y),由可得x2-2pkx-p2=0,可得x1x2=-p2.OA:y=x=x,BC:x=x2.由可得y=x2=-,即点C的轨迹M的方程为y=-.(2)证明:设直线m的方程为y=kx+m,由可得x2-2pkx-2pm=0,可得=4p2k2+8pm,因为直线m与抛物线相切,所以=0,可得pk2+2m=0,可得P(pk,-m),又由可得Q(-,-),=(pk,-m-)(-,-p)=- (p+2m)+pm+=0,可得FPFQ,所以以线段PQ为直径的圆过点F.13.(2018南阳、信阳等六市一模)如图,抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线上一定点Q(1,2).(1)求抛物线C的方程及准线l的方程;(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点M,记QA,QB,QM的斜率分别为k1,k2,k3,问是否存在常数,使得k1+k2=k3成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.解:(1)把Q(1,2)代入y2=2px,得2p=4,所以抛物线方程为y2=4x,准线l的方程为x=-1.(2)由条件可设直线AB的方程为y=k(x-1),k0.由抛物线准线l:x=-1,可知M(-1,-2k),又Q(1,2),所以k3=k+1.把直线AB的方程y=k(x-1)代入抛物线方程y2=4x,并整理,可得k2x2-(2k2+4) x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1.又Q(1,2),故k1=,k2=.因为A,F,B三点共线,所以kAF=kBF=k,即=k,所以k1+k2=+=2(k+1),即存在常数=2,使得k1+k2=2k3成立.14.导学号 38486180(2017四川遂宁市二诊)已知点F(0,1)为抛物线x2=2py的焦点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A,B,C是抛物线上三点且+=0,求ABC面积的最大值.解:(1)由题意知=1,即p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)令A(x1,),B(x2,),C(x3,),不妨设直线AB与y轴交于点D(0,yD),所以=,即yD=-.又因为+=0,所以点F为ABC的重心.由点F的坐标为(0,1),所以=0,=1.从而x1+x2=-x3,+=12-,所以2x1x2=(x1+x2)2-(+)=2-12,即x1x2=-6,所以SABC=3SABF=3|1-yD|x2-x1|,= (1+)2(+-2x1x2)=(4+-6)2(12-2