2019届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学实验班选拔考试试题 理(含解析)一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若复数（其中，为虚数单位）的虚部为1，则A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C【解析】,的虚部为，故选C.2. 已知集合，集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】,故选B.3. 长郡中学要从师生推荐的参加说课比赛的3位男教师和2名女教师中，任选2人参加说课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为A. 25 B. 35 C. 13 D. 23【答案】B【解析】由古典概型概率公式，可得选取的2人恰为一男一女的概率为P=C31C21C52=610=35，故选B.4. 已知等差数列an的前n项和为Sn，若a4+a12-a8=8,a10-a6=4，则S23=A. 23 B. 96 C. 224 D. 276【答案】D【解析】an是等差数列，可设首项为a1，公差为d，由a4+a12-a8=8,a10-a6=4，可得a1+7d=84d=4a1=1d=1，S23=231+232221=276，故选D.5. 已知F为双曲线C:x2a2y2b2=1a0,b0的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为A. 2 B. 3C. 2 D. 5【答案】C【解析】设右焦点F2c,0关于渐近线：y=bax的对称点为F0，则F0在y=bax上F2F0交于Q，由点到直线距离公式可得F2Q=b，F1F2F0为直角三角形，三边分别为2a,2b,2c，由对称性知，F2OQ=F0OQ=F1OF0=60，2c=4a,e=ca=2，故选C.6. 下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是A. fx=sinx B. fx=x3+1C. fx=log2x2+1+x D. fx=12x1+2x【答案】C【解析】对于A.函数是奇函数，在2k2,2k+2 (k为整数）上递增，则A不满足；对于B.函数为奇函数，由于y0，则在R上递增，则B满足；对于C.函数为偶函数，则C不满足；对于D.函数既不是奇函数，也不是偶函数，则D不满足，故选C.7. 执行如图所示的程序框图，若输入i=1,S=0，则输出的结果为A. 7 B. 9 C. 10 D. 11【答案】B【解析】执行程序框图，第一次循环，i=1,S=ln32；第二次循环，i=3,S=ln52；第三次循环，i=5,S=ln72；结束循环，输出 i=9，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8. 若二项式x2+ax7展开式的各项系数之和为1 ，则含x2项的系数为A. 560 B. 560 C. 280 D. 280【答案】A【解析】因为二项式x2+ax7展开式的各项系数之和为-1，所以1+a7=1,a=2，x22x7的通项为Tr+1=C7rx27r2xr=C7rx143r2r，令143r=2,r=4,x2项的系数为T5=C7424=560，故选A.9. 某几何体的三视图如图，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是A. 192+96 B. 256+96C. 192+100 D. 256+100【答案】C【解析】依题意，由几何体的三视图可知，此几何体为一个直三棱柱和一个半圆柱组成的组合体，且直三棱柱底面为两直角边为8和6的直角三角形，高为8，半圆柱的底面半径为5，高为8，所以该几何体的体积为12868+12528=192+100，故选C.10. 已知椭圆C:x29+y25=1，若直线经过M0,1，与椭圆交于A、B两点，且MA=23MB，则直线的方程为A. y=12x+1 B. y=13x+1 C. y=x+1 D. y=23x+1【答案】B【解析】设直线斜率为k，Ax1,y1,Bx2,y2，MA=23MB,2x1=3x2，由y=kx+1与x29+y25=1联立可得，5+9k2x2+18kx36=0，则x1+x2=18k5+9k2x1x2=365+9k22x1=3x2，解得k=13，故选B.11. 已知三棱锥SABC的每个顶点都在球O的表面上，SA底面ABC,AB=AC=4,BC=215，且二面角SBCA的正切值为4，则球O的表面积为A. 240 B. 248 C. 252 D. 272【答案】D【解析】设BC中点为D，可得AD=1，则SDA是“二面角S-BC-A” 的平面角，由于“二面角S-BC-A” 的正切值为4，SA=4AD=4，由余弦定理知，cosCAB=16+1660244=78,sinCAB=158，由正弦定理知，ABC外接圆直径2r=215158=16，设SABC外接球半径为R，则4R2=SA2+4r2=16+162=272，球O的表面积为4R2=272，故选D.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用4R2=a2+b2+c2（a,b,c为三棱的长）；若SA面ABC（SA=a），则4R2=4r2+a2（为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.12. 已知函数fx=x2xlnxkx+2+2在区间12,+上有两个零点，则实数k的取值范围为A. 1，910+ln25 B. 1，910+ln24 C. 1，710+ln24 D. 1，710+ln25【答案】A【解析】函数fx=x2-xlnx-kx+2+2在区间12,+上有两个零点，等价于y=kx+2与fx的图象有两个交点，设y=k2x+2与fx的图象相切，切点为x0,y0,y0=k2x0+2，则y0=x02x0lnx0+22x0lnx01=k2，解得x0=1,y0=3,k2=1，因为关于x的方程，y=fx与y=kx+2有两个交点，1k910+ln25，故选A.【方法点睛】判断方程y=fx 零点个数 的常用方法： 直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；转化法：函数y=fx 零点个数就是方程fx=0 根的个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；数形结合法： 一是转化为两个函数y=gx,y=hx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y=a,y=gx的交点个数的图象的交点个数问题 .本题的解答就利用了方法.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若实数x,y满足x+y22x+y03xy20，则z=3x+y的最小值为_【答案】2【解析】画出x+y22x+y03x-y-20表示的可行域如图，由图知，直线3x+y=z平移经过点A2,4时，z有最小值为23+4=2，故答案为2.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 设a=34,m，b=m,14，且ab=1，则b=_【答案】174【解析】由ab=34,mm,14=34m+14m=m=1，可得b=1,14,b=1+116=174，故答案为174.15. 已知cos6+sin=435，20，求出平面BC1D的一个法向量及DA1，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， AA1平面ABC ，又BD平面ABCBDAA1， BA=BC，D是AC的中点， BDAC，又ACAA1=A,AC平面ACC1A1,AA1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1，又A1D平面ACC1A1，BDA1D （）由（）知BDAC,AA1 平面ABC，故以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D点平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系D-xyz（如图所示），设AA1=0，则A10,-4,B3,0,0,C10,4,D0,0,0，DA1=0,-4,DC1=0,4,DB=3,0,0， 设平面BC1D的一个法向量n=x,y,z， 则nDC1=0nDB=0，即4y+z=03x=0，则x=0，令z=4可得，y=-，故n=0,-,4，设直线A1D与平面BC1D所成角为，则sin=cosn,DA1=nDA1nDA1=4+42+162+16=45，解得=2或=8，即AA1=2或819. 某地4个蔬菜大棚顶部，阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜，成为该地区居民争相购买的对象过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30以上其中不足50的周数大约有5周，不低于50且不超过70的周数大约有35周，超过70的大约有10周根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（）依据数据的折线图，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；并根据所求线性回归方程，估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是多少斤？（）因蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响，为该基地提供了部分光照控制仪，该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：周光照量X（单位：小时）30X70光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损800元，欲使商家周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：b=i=1nxiyinxyi=1nxi2nx2,a=ybx【答案】(1) 500；（2）2.【解析】试题分析：（）算出样本中心点的坐标，利用公式求得b=106-554145-552=0.3，由a=y-bx可得a=2.5，即可得回归方程，再将x=10时代入即可得结果；（）分别求出安装2台光照控制仪的周利润的均值、安装3台光照控制仪的均值，与安装1台光照控制仪可获得周利润进行比较即可得结果.试题解析：（）x=2+4+5+6+85=5,y=3+4+4+4+55=4， i=15xiyi=23+44+54+64+85=106,i=15xi2=22+42+52+62+82=145，b=106-554145-552=0.3， a=y-bx=4-0.35=2.5，所以y关于x的线性回归方程为y=0.3x+2.5，当x=10时，y=0.310+2.5=5.5百斤550斤，所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克，则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量y是500斤（）记商家总利润为Y元，由已知条件可知至少需安装1台，安装1台光照控制仪可获得周利润5000元，安装2台光照控制仪的情形：当X70时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000-800=4200元，当3070时，一台光照控制仪运行，此时Y=5000-1600=3400元，当50X70时，两台光照控制仪运行，此时Y=5000+5000-800=9200元，当30X0上一点，P到直线xy+4=0的距离为d1，P到E的准线的距离为d2，且d1+d2的最小值为32（）求抛物线E的方程；（）直线l1:y=k1x1交E于点A,B，直线l2:y=k2x1交E于点C,D，线段AB,CD的中点分别为M,N，若k1k2=2，直线MN的斜率为k，求证：直线l:kxykk1kk2=0恒过定点【答案】(1) y2=8x；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（）d1+d2的最小值等价于点F到直线x-y+4=0的距离， p2+42=32，解得p=4，从而可得结果；（）设Ax1,y1,Bx2,y2，由y2=8xy=k1x-1可得k12x2-2k12+8x+k12=0，由中点坐标公式以及斜率公式可得MN的斜率k=k1+k2=-2，直线的方程kx-y-kk1-kk2=0可化为y=kx+2，从而可得结果.试题解析：（）抛物线E的焦点为Fp2,0，由抛物线的定义可得d2=PF，则d1+d2=d1+PF，其最小值为点F到直线x-y+4=0的距离， p2+42=32，解得p=4（舍去负值）， 抛物线E的方程为y2=8x （）设Ax1,y1,Bx2,y2，由y2=8xy=k1x-1可得k12x2-2k12+8x+k12=0， 则x1+x2=2k12+8k12，所以y1+y2=k1x1-1+k1x2-1 =k1x1+x2-2k1 =2k12+8k1-2k1 =2k12+8-2k12k1=8k1, AB的中点M的坐标为k12+4k12,4k1，同理可得点N的坐标为k22+4k22,4k2，则直线MN的斜率k=4k1-4k2k12+4k12-k22+4k22=-2k1+k2，则k=k1+k2=-2，则直线的方程kx-y-kk1-kk2=0可化为y=kx-kk1+k2，即y=kx+2，令x=0可得y=2，直线恒过定点0,2 【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及韦达定理、直线和抛物线的位置关系、最值问题及直线过定点问题.属于难题. 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21. 已知函数fx=bex1（bR，e为自然对数的底数）在点0,f0处的切线经过点2,2（）讨论函数Fx=fx+axaR的单调性；（）若xR，不等式exfxcx1+1恒成立，求实数c的取值范围【答案】(1) 当a0时，函数Fx在R上单调递减；当a0时，函数Fx在,lna上递减，函数Fx在lna,+上单调递增；（2）e2,0.【解析】试题分析: （）求出fx，由过点0,b-1,2,-2的直线的斜率为k=b-1-20-2=-b+12=f0=-b可得b=1，讨论两种情况，分别由fx0得增区间，fx0得减区间；（）原不等式等价于不等式ex+cx-c0恒成立，利用导数研究gx=ex+cx-c的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.试题解析：（）因为f0=b-1，所以过点0,b-1,2,-2的直线的斜率为k=b-1-20-2=-b+12，而fx=-bex，由导数的几何意义可知，f0=-b=-b+12， 所以b=1，所以fx=1ex-1则Fx=ax+1ex-1,Fx=a-1ex，当a0时，Fx0时，由Fx=a-1ex=0得x=-lna，当x-,-lna时，Fx0，函数Fx单调递增（）不等式exfxcx-1+1恒成立，即不等式ex+cx-c0恒成立，设gx=ex+cx-c,gx=ex+c，若c0，则gx0，函数gx单调递增且不存在最小值，不满足题意；当c0时，由gx=ex+c=0得x=lnx-c，当x-,ln-c时，gx0,gx单调递增，所以gxgln-c=eln-c+cln-c-c=-2c+cln-c，要使得gx0恒成立，只需-2c+cln-c0恒成立，由于c0，所以有ln-c2，解得-e2c0，即当c-e2,0时，gx0恒成立，即ex+cx-c0恒成立，也即不等式exfxcx-1+1恒成立，所以实数c的取值范围为-e2,022. 设a1，a2，a3，a4，a5是5个正实数（可以相等）证明：一定存在4个互不相同的下标，k，使得aiajakal12【答案】证明见解析.【解析】试题分析：可设a1a2a3a4a5，则a1a2，a3a4，a1a5，a2a3，a4a5都属于区间0，1，由抽屉原理知，区间0，12或12，1中一定有一个区间至少包含其中的3个数，5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相