H圆锥曲线抛物线方程.doc

(文)如图，过抛物线y22PX(P0)的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线L作垂线，垂足分别为M1、N1 ()求证：FM1FN1:()记FMM1、FM1N1、FN N1的面积分别为S1、S2、，S3，试判断S224S1S3是否成立，并证明你的结论。 本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分）答案：(1)证法1：由抛物线的定义得 2分如图，设准线l与x的交点为 而即故证法2：依题意，焦点为准线l的方程为设点M,N的坐标分别为直线MN的方程为，则有由 得于是，故（）成立，证明如下：证法1：设，则由抛物线的定义得，于是 将与代入上式化简可得 ，此式恒成立。故成立。证法2：如图，设直线M的倾角为，则由抛物线的定义得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的结论，得即，得证。来源：09年高考湖北卷题型：解答题，难度：较难在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 （）求点P的轨迹C；（）设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 OFx=2yx答案：（）设点P的坐标为（x，y），则3x-2由题设 当x2时，由得化简得 当时 由得化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1（）如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A（2，），B（2，），直线AF，BF的斜率分别为=，=.当点P在上时，由知. 当点P在上时，由知 若直线l的斜率k存在，则直线l的方程为（i）当k，或k，即k-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M（，），N（，）都在C 上，此时由知MF= 6 - NF= 6 - 从而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 则，是这个方程的两根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因为当 当且仅当时，等号成立。（2）当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，则知，设直线AF与椭圆的另一交点为E所以。而点A，E都在上，且有（1）知 若直线的斜率不存在，则=3，此时综上所述，线段MN长度的最大值为来源：09年高考湖南卷题型：解答题，难度：较难 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围（）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。答案：解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得.（1）抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根即。解这个方程组得.（II） 设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 来源：09年高考全国卷一题型：解答题，难度：中档已知抛物线C:x2=2py(p0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为.（I）求p与m的值；（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N.若MN是C的切线，求t的最小值.答案：解析（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为 21世纪教育网 ，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：中档已知抛物线：上一点到其焦点的距离为.（I）求与的值；（II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点.若是的切线，求的最小值.答案：（）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得（）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。则，当 则。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得（舍去），或，来源：09年高考浙江卷题型：解答题，难度：较难已知抛物线y2=4ax(0a1的焦点为F，以A(a+4,0)为圆心，AF为半径在x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点.（1）求MF+NF的值；（2）是否存在这样的a值，使MF、PF、NF成等差数列?如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.答案：（1）F（a,0）,设，由 ， （2）假设存在a值，使的成等差数列，即 ，P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，由得，这是不可能的.假设不成立.即不存在a值，使的成等差数列.来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：较难抛物线x2=4y的焦点为F，过点(0，1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.（12分）答案：设R(x,y),F(0,1), 平行四边形FARB的中心为，L:y=kx1,代入抛物线方程得x24kx+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1 ，C为AB的中点. ，消去k得x2=4(y+3),由 得，故动点R的轨迹方程为x2=4(y+3)( ).来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档已知点A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；（2）求线段BC中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.答案：（1）由点A（2，8）在抛物线上，有，解得p=16. 所以抛物线方程为，焦点F的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则，解得，所以点M的坐标为（11，4）.（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：由消x得，所以，由（2）的结论得，解得因此BC所在直线的方程为：来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档求以抛物线的顶点，焦点及抛物线上纵坐标为4的点为顶点的 的周长。答案：设 因为P是抛物线上的一点 所以 根据提题意 所以 即 来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档动点到点（0，8）的距离比到直线的距离大 1，求动点的轨迹方程。答案：动点到点（0，8）的距离比到直线的距离大 1 所以动点到点（0，8）的距离等于到直线的距离所以P的轨迹是以（0，8）为焦点，为准线的抛物线所以动点的轨迹方程为来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：中档已知抛物线上的一点到焦点的距离为5，求这点的坐标。答案：设因为P是抛物线上的一点，所以P到焦点的距离等于P到准线的距离即 所以 代入抛物线方程得所以来源：09年福建省福州市月考一题型：解答题，难度：容易已知曲线C:y=与直线l:x-y+2=0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB.记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点P(s,t)是L上的任一点，且点P与点B均不重合.（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； （2）若曲线G:-2ax+-4y+a2+=0与有公共点，试求的最小值.答案：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD （2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.来源：09年高考广东卷题型：解答题，难度：较难设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线，（1）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当时，求直线的方程.（3）当直线的斜率为2时，求在轴上截距的取值范围。答案：（）法一两点到抛物线的准线的距离相等.抛物线的准线是x轴的平行线，不同时为0，上述条件等价于， 上述条件等价于 即当且仅当时，l经过抛物线的焦点F.法二抛物线，即，焦点为（1）直线的斜率不存在时，显然有 （2）直线的斜率存在时，设为k，截距为b即直线：y=kx+b 由已知得： 即的斜率存在时，不可能经过焦点 所以当且仅当=0时，直线经过抛物线的焦点F （2）当时，直线的斜率显然存在，设为：y=kx+b 则由（）得： 所以直线的方程为（3）设l在y轴上的截距为b，依题意得l的方程为；过点A、B的直线方程可写为，所以满足方程得；A，B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式即设AB的中点N的坐标为，则由即得l在y轴上截距的取值范围为（）来源：09年浙江绍兴月考一题型：解答题，难度：较难过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。 （）当时，求证：；（）记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。答案：解：依题意，可设直线MN的方程为，则有21世纪教育网 由消去x可得 从而有 于是 又由，可得 （）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时 可得证法1： 21世纪教育网 证法2： ()存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有 将、代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立 证法2：如图2，连接,则由可得,所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O又设则来源：09年高考湖北卷题型：解答题，难度：较难如图，已知三角形PAQ顶点P（-3，0），点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上，。（I）当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；（II）设直线与轨迹E交于B、C两点，点D（1，0），若BDC为钝角，求k的取值范围。答案：解：（I）设 则 又2分 又 4分 由6分 （II）设 BDC为钝角， 8分 由消去y得： 则 10分 代入得：，此时 ，k的范围是12分来源：题型：解答题，难度：较难设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且（）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；（）设A（），B（），D（）是曲线C上的三点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于E（3，0）时，求B点的坐标答案：解：（），故P为MN中点1分 又，P在y轴上，F为（1，0），故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（x，0），（x0），2分 ，3分 又故4分 即 是轨迹C的方程5分（）抛物线C的准线方程是x1，由抛物线定义知6分 成等差数列，7分 又，故，8分 AD的中垂线为9分 而AD中点在其中垂线上，即11分由B点坐标为（1，2）或（1，2）12分来源：题型：解答题，难度：较难已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.答案：【解】(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2.设f2(x)=(k0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,)B(,)由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+.(2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+当a3时,. f3(2)f2(2)= a2+80,当a3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2)在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(xa)(x+a)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a=0化为ax2+a2x8=0,由a3,=a4+32a0,得x2=, x3=,x20, x1 x2,且x2 x3.若x1= x3,即a=,则3a2=, a4=4a,得a=0或a=,这与a3矛盾, x1 x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.来源：题型：解答题，难度：较难已知点B（1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.答案：（1）设来源：题型：解答题，难度：较难如图，过点A（-1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：交于P、Q两点。（1）若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；（2）设P，Q两点只在第一象限运动，（0，8）点与线段PQ中点的连线交x轴于点N，当点N在A点右侧时，求k的取值范围。答案：解：（1）由已知，消x得直线l交C于两点P、Q，得或。设，M是PQ中点，M点纵坐标，将其代入l方程，得，PFQR是平行四边形，R、F中点也是M，而F（1，0），消k得。又，点R的轨迹方程为（2）P、Q在第一象限 ，结合（1）得 （0，8）点与PQ中点所在直线方程为令，得N点横坐标N在点A右侧 令，得。解之得或 综合，k的取值范围是。来源：题型：解答题，难度：较难已知点H（0，3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。答案：（1）解：设P（a,0），Q（0，b）则： 设M（x,y） （2）解法一：设A(a,b)，（x1x2）则：直线SR的方程为：，即4y = (x1+x2)xx1x2A点在SR上，4b=(x1+x2)ax1x2 对求导得：y=x抛物线上S、R处的切线方程为：即4 即4 联立，并解之得 ，代入得：ax2y2b=0故：B点在直线ax2y2b=0上解法二：设A(a,b)当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为yb=k(xa)与联立消去y得：x24kx+4ak4b=0设，（x1x2）则由韦达定理：又过S、R点的切线方程分别为：， 联立，并解之得 （k为参数）消去k，得：ax2y2b=0故：B点在直线2axyb=0上来源：题型：解答题，难度：较难4y=x2y=x2如图，求由两条曲线y=x2，4y=x2及直线y=1所围成图形的面积.答案：4y=x2y=x2解：（理）由对称性，所求图形面积为位于y轴在侧图形面积的2倍2分由得C（1，1）同理得D（2，1）5分所求图形的面积 12分来源：题型：解答题，难度：难过抛物线外一点P（），向抛物线作两条切线，切点分别为A、B。（1）求直线AB的方程；（2）设抛物线的焦点为F。求证：。答案：（1）设切点A（），B（），则过A（）处切线方程为，同理过B（）处切线方程为。又P（）在上述两切线上，过A、B两点的直线方程为：，即 。 （6分）（2）联立， （12分）来源：06武汉调考题型：解答题，难度：较难 设曲线：（)上的点（，)，过作曲线的切线与x轴交于Q，过Q作平行于y轴的直线与曲线c交于P（，），然后再过作曲线c的切线交x轴于，过作平行于y轴的直线与曲线c交于（，），依次类推，作出以下各点：，已知，设（，）（N) ()求出过点的切线方程； ()设（），求（）的表达式； ()设，求. 答案：解：()，过点P的切线方程为 4分()，过P的切线方程为（）6分将Q（，）的坐标代入方程得：（）8分故是首项为，公比为的等比数列f(n)=2（），即f(n)（）10分()Sn=4(1-)=4来源：题型：解答题，难度：较难已知RtOAB的三顶点O、A、B都在抛物线上(如图),OAOB.若直线OA的斜率为2,|AB|=,求抛物线C的方程；若A(x1,y1),B(x2,y2),求证:x1x2与y1y2均为定值.答案：解：(1)由 (1分) 同理可得B (8P,-4P) (2分) 由|AB|=5得 (3分) (4分)p0, p=2. (5分) C的方程为 (2) (7分)又OAOB, (9分)= (11分) (12分)来源：题型：解答题，难度：中档已知动圆过定点P（1，0），且与定直线相切，点C在l上. （）求动圆圆心的轨迹M的方程；（）设过点P，且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点.（i）问：ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（ii）当ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.答案：解：（）依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为.（）（i）由题意得，直线AB的方程为消y得所以A点坐标为，B点坐标为（3，），假设存在点C（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由得但不符合，所以由，组成的方程组无解.因此，直线l上不存在点C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：设C（1，y）使ABC成钝角三角形，由，即当点C的坐标为（1，）时，A，B，C三点共线，故.又， ， . 当，即， 即为钝角. 当，即，即为钝角. 又，即， 即. 该不等式无解，所以ACB不可能为钝角. 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是. 解法二： 以AB为直径的圆的方程为. 圆心到直线的距离为， 所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G. 当直线l上的C点与G重合时，ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，B，C三点不共线时， ACB为锐角，即ABC中ACB不可能是钝角. 因此，要使ABC为钝角三角形，只可能是CAB或CBA为钝角. 过点A且与AB垂直的直线方程为. 过点B且与AB垂直的直线方程为. 令. 又由，所以，当点C的坐标为（1，）时，A，B，C三点共 线，不构成三角形. 因此，当ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是来源：03北京市春题型：解答题，难度：较难已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线方程;(2)过M作MNFA, 垂足为N,求点N的坐标;(3)以M为圆心,MB为半径作圆M.当K(m,0)是x轴上一动点时,丫讨论直线AK与圆M的位置关系.答案：(1) 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5, p=2. 抛物线方程为y2=4x. (2)点A是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), kFA=;MNFA, kMN=-, 则FA的方程为y=(x-1),MN的方程为y-2=-x,解方程组得x=,y=, N的坐标(,).(1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,当m=4时, 直线AK的方程为x=4,此时,直线AK与圆M相离.当m4时, 直线AK的方程为y=(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0,圆心M(0,2)到直线AK的距离d=,令d2,解得m1当m1时, AK与圆M相离; 当m=1时, AK与圆M相切; 当m0,对于一切t成立，过点M的任意一条直线li与C恒有公共点。(3)设，由定比分点坐标公式得：，消去bi得来源：06年湖南省三月大联考题型：解答题，难度：较难设a0，曲线C的方程为R）.点P是曲线C上横坐标为的点，点Q是曲线C的顶点.（I）当，且直线PQ的斜率是2时，求实数a的值；（II）设直线l经过点P且与曲线C有且只有一个公共点，记直线l交x轴于点.答案：（1）解：当时，P（1，1+a），依题意得，4分（2）证明：当直线l的斜率不存在时，其方程为，直线l与曲线C有且只有一个公共点适合题意，此时.6分当直l的斜率存在时，设其方程为代入依题意，得即9分直线l方程为：令y=0，得11分 ，当且仅当a=0时，综上，14分来源：题型：解答题，难度：中档抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.答案：（）解：由抛物C的方程，准线方程为（）证明：设直线PA的方程，直线PB的方程为.的坐标是方程组的解、将式代入式得的解、将式代入式得 则将式和式代入上式得（）解：因为点P（1，1）在抛物线上，所以由式知式得因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为于是 因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有即 求得k1的取值范围为又点A的纵坐标所以，PAB为钝角时点A的纵坐标y1的取值范围为来源：05天津高考题型：解答题，难度：较难在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点到直线的距离.答案：由已知可得 ， 3分解得抛物线方程为 . 6分于是焦点 . 9分 点到直线的距离为 . 12分来源：08年春季高考上海卷题型：解答题，难度：容易在抛物线y2=16x开口内有一点G(4，4)，抛物线的焦点为F，若以F、G为焦点作一个与抛物线相交且长轴最短的椭圆，求此椭圆的方程答案：解：如图，过G作x轴的平行线交抛物线于P，交准线于Q，设P为抛物线上异于P的任一点，过P作x轴的平行线交准线于Q，显然有PG+PF=PG+PQGQ点P为所求椭圆与已知抛物线的一个交点，且使所求椭圆长轴最短此时，PF+PG=PQ+PG=GQ=8又由FG=4可知a=4，c=2b2=12，又椭圆的中心为GF的中点(4，2) 故所求椭圆方程为来源：题型：解答题，难度：较难过抛物线(为不等于2的素数)的焦点F,作与轴不垂直的直线交抛物线于M,N两点,线段MN的垂直平分线交MN于P点,交轴于Q点.(1),求PQ中点R的轨迹L的方程;(2),证明:L上有无穷多个整点,但L上任意整点到原点的距离均不是整数.答案：(1)抛物线的焦点为,设的直线方程为.由得,设M,N的横坐标分别为则,得,而,故PQ的斜率为,PQ的方程为.代入得.设动点R的坐标,则,因此,故PQ中点R的轨迹L的方程为.(2),显然对任意非零整数,点都是L上的整点,故L上有无穷多个整点.反设L上有一个整点(x,y)到原点的距离为整数m,不妨设,则,因为是奇素数,于是,从可推出,再由可推出,令,则有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的点满足,矛盾!因此,L上任意点到原点的距离不为整数.来源：1题型：解答题，难度：较难已知抛物线 y 2 = x与直线 y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点. (1) 求证: OAOB; (2) 当OAB的面积等于时, 求k的值.答案：解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, 1分k 0由y = k (x+1)得x = 1 代入y 2 = x 整理得: y 2 +y 1 = 0 ， 2分设A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = , y 1y 2 = 1. 2分A、B在y 2 = x上, A (, y 1 ), B (, y 2 ) ， kOAkOB = 1 OAOB. 3 分 (2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( 1 , 0 ) |OE| = 1 ， SOAB =|OE|(| y 1| + | y 2| ) =| y 1 y 2| =， 4分解得k = . 来源：题型：解答题，难度：中档xyOAB图4在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足（如图所示）（）求得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由答案：解法一：（）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，依题意得， ，即 ， 由得，设直线的方程为可化为 ， ， 设的重心G为，则 ， ，由得 ，即，这就是得重心的轨迹方程（）由弦长公式得把代入上式，得 ，设点到直线的距离为，则， ， 当，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 解法二：（） AOBO, 直线，的斜率显然存在，设AO、BO的直线方程分别为，设，依题意可得由得，由得，设的重心G为，则 ， ， 由可得，即为所求的轨迹方程.（）由（）得，当且仅当，即时，有最小值，的面积存在最小值，最小值是 .解法三:（I）设AOB的重心为G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，则 （1）不过OAOB ，即， （2）又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得，所以重心为G的轨迹方程为，（II），由（I）得，当且仅当即时，等号成立，所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1 来源：05年广东题型：解答题，难度：中档过抛物线C：上两点M，N的直线l交y轴于点P（0，b）.（）若MON是钝角（O为坐标原点），求实数b的取值范围；（）若b=2，曲线C在点M，N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上运动.答案：解：（）设点M，N坐标分别为1分由题意可设直线l方程为y=kx+b,（）当b=2时，由（）知函数y=x2的导数y=2x，7分抛物线在两点处切线的斜率分别为在点M，N处的切线方程分别为来源：题型：解答题，难度：较难设抛物线y=x2过一定点A(a, a2)(a)，P(x, y)是抛物线上的动点.（I）将表示为关于x的函数f(x)，并求当x为何值时，f(x)有极小值；（II）设（I）中使f(x)取极小值的正数x为x0，求证：抛物线在点P0(x0, y0)处的切线与直线AP0垂直.答案：解：（I）当当当 当有极小值.10分（II）由（I）知，则直线AP0的斜率12分又抛物线y=x2在点P0(x0, y0)处的切线的斜率抛物线在点P0(x0, y0)处的切线与直线AP0垂直.14分来源：题型：解答题，难度：中档设f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b.（1）求证：函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；（2）设f(x)与g(x)的图象交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求A1B1的取值范围；（3）求证：当x时，恒有f(x)g(x).答案：（1）证明：由 y= f(x )= ax2+bx+c y= g(x) = ax+b得ax2+(ba)x+(cb)=0 (*) =(ba)24a (cb) f(x)=ax2+bx+c, f(1)=0 f(1)=a+b+c=0 3分又abc 3aa+b+c3c即a0,c0ba0,cb0,a0=(ba)24a(cb)0故函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点；5分（2）解：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两根故x1+x2=,x1x2=,所以A1B1=x1x2=又a+b+c=0,故b=(a+c)因而(ba)24a(cb)=(2ac)24a(a+2c)=c24ac故A1B1= 8分abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范围是（，2） 10分.(3)证明：不妨设x1x2,则由（2）知：x1x22 x1+x2=1由abc得：1,故011 12分又2,故13,因而01即0x1x2 由、得：x20,即方程（*），也就是方程f(x)g(x)=0的较小根的范围是（，0.又a0,故当x时，f(x)g(x)0恒成立，即当x时，恒有f(x)g(x) 14分.来源：题型：解答题，难度：较难已知抛物线C的方程为为焦点，直线与C交于A、B两点，P为AB的中点，直线过P、F点。（1）求直线的斜率关于的解析式，并指出定义域；（2）求函数的反函数；（3）（理）解不等式。 （文）求与的夹角的取值范围。答案：解：（1） （2） （3）（理），原不等式为 当时，； 当时，显然，时，；时，。 （文）来源：题型：解答题，难度：较难已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值答案：解：（）直线的方程为，将 ，得 2分设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则4分又， 6分，解得 8分（）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得，10分 又 为等腰直角三角形， ， 12分 即面积最大值为14分来源：01春季高考题型：解答题，难度：中档如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点, 点P(1,2), A(x1, y1), B(x2,y2)均在直线上.()写出该抛物线的方程及其准线方程.()当PA与PB的斜率存在且倾角互补时,求的值及直线AB的斜率.答案： ()由已知条件,可设抛物线的方程