DSP浮点转定点方法总结.doc

目录目录 定点运定点运算算方法方法.3 1.1 数 的 定 标.3 1.2C语言：从浮点到定点.4 1.2.1 加法.4 1.2.2乘法.6 1.2.3除法.7 1.2.4 三角函数运算.8 1.2.5 开方运算.9 1.3 附录.10 1.3.1 附录1：定点函数库.10 1.3.2附录2：正弦和余弦表.28 定点运算方法定点运算方法 1.1 数数 的的 定定 标标 对某些处理器而言，参与数值运算的数就是 16 位的整型数。但在许多情况下，数学运 算过程中的数不一定都是整数。那么，如何处理小数的呢？应该说，处理器本身无能为力。 那么是不是就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数 的小数点处于 16 位中的哪一位。这就是数的定标。 通过设定小数点在 16 位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。 数的定标用 Q 表示法。表 1.1 列出了一个 16 位数的 16 种 Q 表示能表示的十进制数值范围 和近似的精度。 Q 表示精度(近似)十进制数表示范围 Q150.00002 -1X0.9999695 Q140.00005 -2X1.9999390 Q130.0001 -4X3.9998779 Q120.0002 -8X7.9997559 Q110.0005 -16X15.9995117 Q100.001 -32X31.9990234 Q90.002 -64X63.9980469 Q80.005 -128X127.9960938 Q70.01 -256X255.9921875 Q60.02 -512X511.9804375 Q50.04 -1024X1023.96875 Q40.08 -2048X2047.9375 Q30.1 -4096X4095.875 Q20.25 -8192X8191.75 Q10.5 -16384X16383.5 Q01 -32768X32767 表 1.1 Q 表示、S 表示及数值范围 从表 1.1 可以看出，同样一个 16 位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就 不同。例如： 16 进制数 2000H8192，用 Q0 表示 16 进制数 2000H0.25，用 Q15 表示 从表 1.1 还可以看出，不同的 Q 所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q 越 大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q 越小，数值范围越大，但精度就越低。例如， Q0 的数值范围是-32768 到+32767，其精度为 1，而 Q15 的数值范围为-1 到 0.9999695，精 度为 1/32768 = 0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变 量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示 范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。 浮点数与定点数的转换关系可表示为： 浮点数(x)转换为定点数()：xq Q q x2x(int) 定点数()转换为浮点数(x)： q x Q q x 2)float(x 例如，浮点数 x=0.5，定标 Q15，则定点数，式中表 q x 16384327685 . 0 示下取整。反之，一个用 Q15 表示的定点数 16384，其浮点数为 163842-15 16384/32768=0.5。 1.2c 语言：从浮点到定点语言：从浮点到定点 下面所描述的几种基本运算是浮点到定点转换中经常遇到的，从中可以体会到一些基 本的技巧和方法。 1.2.1 加法加法 设浮点加法运算的表达式为： float x,y,z; z=x+y; 将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定 标值一样。若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。为保证运算精度， 需使 Q 值小的数调整为与另一个数的 Q 值一样大。此外，在做加法/减法运算时，必须注 意结果可能会超过 16 位表示，即数的动态范围。如果加法/减法的结果超出 16 位的表示范 围，则必须保留 32 位结果，以保证运算的精度。 1 结果不超过 16 位表示范围 设 x 的 Q 值为 Qx，y 的 Q 值为 Qy，且 QxQy，加法/减法结果 z 的定标值为 Qz，则 zx+y y xz Q q Q q Q q yxz 222 = x yx x Q QQ q Q q yx 222 )( = x yx Q QQ qq yx 22 )( )( )( 22 xz yx QQ QQ qqq yxz 一般情况，我们取 x,y 和 z 的定标值相同，即 Qx = Qy = Qz = Qa 。 所以定点加法可以描述为： short x, y, z ; /Qa z = add (x,y)； /Qa 函数 add ( ) 有防饱和机制，如果可以确信 x + y 不会溢出（-215 = z = 215-1） ， 可以直接写为 z = x + y . 定点减法: short x, y, z ; /Qa z = sub (x,y)； /Qa 函数 sub ( ) 有防饱和机制，如果可以确信 x - y 不会溢出（-215 = z Qy，加法结果 z 的定标值为 Qz,则定点加 法为： int x，y； long temp，z； tempy(Qx-Qz)，若 QxQz ztemp(Qz-Qx)，若 QxQz 一般情况，我们取 x,y 和 z 的定标值相同，即 Qx = Qy = Qz = Qa 。 所以定点加法可以描述为： int x, y, z ; /Qa z = L_add (x,y)； /Qa 函数 L_add ( ) 有防饱和机制，如果可以确信 x + y 不会溢出（-231 = z = 231-1） ， 可以直接写为 z = x + y . 定点减法: int x, y, z ; /Qa z = L_sub (x,y)； /Qa 函数 L_sub ( ) 有防饱和机制，如果可以确信 x - y 不会溢出（-231 (Qx+Qy+1-Qz); 上式中 x 乘 y 的定标本来应该是 Qx + Qy, 但为了处理方便，函数 L_mult( ) 多乘了一 次 2，因此要再加 1。函数 L_mult ( ) 有防饱和机制，如果可以确信 z = x y 不会溢出（- 231 (Qx+Qy-Qz)。 2. 结果超过 32 位表示范围 这种情况下位数超出了标准 c 语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。 定点乘法可表示为： #define NN_DIGIT unsigned int NN_DIGIT x digits; NN_DIGIT y digits; NN_DIGIT z 2* digits; NN_Mult (z, x, y, digits); 应注意的是以上 32 位乘法都是无符号数操作，如果需要做有符号数乘法，则需要根据 乘数的符号来判断。 例 1 设 x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为 z =18.436.8 = 677.12; 设 Qx = 10，Qy = 9，Qz = 5，所以 int x = 18841；/Q10 int y = 18841；/Q9 z = L_mult(18841, 18841)(10+9+1-5) = 354983281L14 = 21666; 因为 z 的定标值为 5，故定点 z = 21666 即为浮点的 z = 21666/32 = 677.08。 例 2 设 x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为 z =18.436.8 = 677.12; #define NN_DIGIT unsigned int 设 Qx = 20, Qy = 20, Qy = 20, 所以 NN_DIGIT x = 18.4 * (120); /Q20 NN_DIGIT y = 36.8 * (120); /Q20 NN_DIGIT z2; /Q20 NN_Mult(z, /Q40 NN_Rshift(z, z, 20, 1); /Q(40-20) 1.2.3 除法除法 1. 32 位除法 设浮点除法运算的表达式为： float x,y,z; z = x/y; 假设经过统计后被除数 x 的定标值为 Qx，除数 y 的定标值为 Qy，商 z 的定标值为 Qz，则 z = x/y = z Q q z 2 y x Q q Q q y x 2 2 q QQQ q q y x z yxz )( 2 所以定点表示的除法为： int x,y,z; z = L_shl(x, (Qz-Qx+Qy) )/y; /Qz 2. 32 位以上的除法 这种情况下位数超出了标准 c 语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。 #define NN_DIGIT unsigned int NN_DIGIT x 2*digits; /Qx NN_DIGIT y digits; /Qy NN_DIGIT z digits; /Qz NN_Lshift(x, x, (Qz-Qx+Qy), 2); NN_Div(z, x, 2*digits, y, digits); 做以上运算是要保证 Qz-Qx+Qy 32, 否则要多次移位来实现；应注意的是以上除法都 是无符号数操作，如果需要做有符号数除法，需要根据被除数和除数的符号来判断。 例 1： 设 x = 18.4，y = 36.8，浮点运算值为 z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5; 根据上节，得 Qx = 10，Qy = 9，Qz = 15；所以有 int x = 18841, y = 18841; z = L_shl(x, (15-10+9) )/18841; / 308690944L/18841 = 16384 因为商 z 的定标值为 15，所以定点 z = 16384 即为浮点 z = 16384/215= 0.5。 1.2.4 三角函数运算三角函数运算 1 正弦和余弦 一般求 cos、sin 用查表法，方法是预先定义正弦和余弦表，表的长度及表中各元素的 定标是根据精度要求确定的，精度要求越高，表的长度及元素的定标都可以增加。 余弦表制作步骤: 1)计算 cos(2*pi*t/N)，其中 0= t =N-1，N 是 02*pi 之间的采样点数。 2)将以上结果（浮点数）按精度要求定标，如 Q15， 3)建立数组 tab_cosN，将以上结果作为该数组的元素。 正弦表的定义方法同上。附录 2 中给出了余弦表 tab_cos360和正弦表 tab_sin360， 精度是 Q15。 例 1 求 cos(2*pi*x/32), x 是定标为 Qx 的整数 cos(2*pi*x/32) = cos(2*pi *(360* x /32) /360); 程序如下： int u = (L_mult(360, x)/32)%360; /Qx int result; result = tab_cosu; /Qx 例 2 求 cos(x), x 是定标为 Qx 的整数 cos(x) = cos(2*pi*(360*x/(2*pi)/360)， 程序如下： int pi_Qx = 3.1415*(1Qx); /Qx int u = (L_mult(360, x) / (2* pi_Qx)%360; /Q0 int result; result = tab_cosu; /Qx 上式中将 pi 定标为 Qx 的定点数。 如何进一步提高精度 一般可以增加表的长度即采样点数来提高精度，但在现有采样情况下，也有办法来提 高精度。方法是求出两采样点之间的斜率，根据当前采样点的位置求出更加精确的值。 t t +1 t ab_cos t t ab_cos t +1 posi t i on 例 3 求 cos(x), x 是定标为 Qx 的整数 int pi_Qx = 3.1415*(10.5 时可以采用拟合的方法。 因此: x abs(x)0.5 y = atan(x) (-0.06)*x.2 + 0.5*x +0.3 0.5abs(x)5 拟合可以调用 matlab 的命令 ployfit 来做，例如： x=start:0.1:stop; y=atan(x); pa=polyfit(x,y,2); 上式中的运算都是简单的乘法运算，较为简单。 1.2.5 开方运算开方运算 浮点开方运算描述为： float x, y; y = sqrt(x); 定点求开方有多种方法，各种方法在收敛速度上不尽相同，下面介绍几种常用的迭代算法。 1Newton-Raphson-Babylonian 算法： 给定整数 N, 求 sqrt(N)。 首先确定初值 x0, 然后利用一个简单的迭代公式： xn+1 = (xn +N/xn)/2 迭代次数的选择： 迭代次数与初值 x0的选取很有关系，x0越接近 sqrt(N), 收敛越快。但总的来说，该 方法收敛较快。缺点是收敛时间不确定。 2确定收敛速度的算法： 该方法描述如下： int sqrt(int x) int test, step; if (x 0) return(-1); if (x = 0) return(0); step = 1= 1; return(test); 以上例子是 32 位开放运算，32 位以上的开方运算可参考附录 1 void fixsqrt(UINT4* a, UINT4* b,int digits)， 方法同上。 求开方还可以运用线性拟合的方法，由于曲线变化较快，必须根据自变量的范围分段拟合 才能达到理想的精度。 1.3 附录附录 1.3.1 附录附录 1：定点函数库：定点函数库 /*_ | | | Function Name : L_add | | | | Purpose : | | | | 32 bits addition of the two 32 bits variables (L_var1+L_var2) with | | overflow control and saturation; the result is set at +2147483647 when | | overflow occurs or at -2147483648 when underflow occurs. | | | | Complexity weight : 2 | | | | Inputs : | | | | L_var1 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var3 = 0 x7fff ffff. | | | | L_var2 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var3 = 0 x7fff ffff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | L_var_out | | 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var_out = 0 x7fff ffff. | |_| */ Word32 L_add(Word32 L_var1, Word32 L_var2) /*_ | | | Function Name : L_sub | | | | Purpose : | | | | 32 bits subtraction of the two 32 bits variables (L_var1-L_var2) with | | overflow control and saturation; the result is set at +214783647 when | | overflow occurs or at -214783648 when underflow occurs. | | | | Complexity weight : 2 | | | | Inputs : | | | | L_var1 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var3 = 0 x7fff ffff. | | | | L_var2 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var3 = 0 x7fff ffff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | L_var_out | | 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var_out = 0 x7fff ffff. | |_| */ Word32 L_sub(Word32 L_var1, Word32 L_var2) /*_ | | | Function Name : add | | | | Purpose : | | | | Performs the addition (var1+var2) with overflow control and saturation;| | the 16 bit result is set at +32767 when overflow occurs or at -32768 | | when underflow occurs. | | | | Complexity weight : 1 | | | | Inputs : | | | | var1 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | var2 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | var_out | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var_out = 0 x0000 7fff. | |_| */ Word16 add(Word16 var1,Word16 var2) /*_ | | | Function Name : sature | | | | Purpose : | | | | Limit the 32 bit input to the range of a 16 bit word. | | | | Inputs : | | | | L_var1 | | 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var1 = 0 x7fff ffff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | var_out | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var_out = 0 x0000 7fff. | |_| */ Word16 sature(Word32 L_var1) /*_ | | | Function Name : sub | | | | Purpose : | | | | Performs the subtraction (var1+var2) with overflow control and satu- | | ration; the 16 bit result is set at +32767 when overflow occurs or at | | -32768 when underflow occurs. | | | | Complexity weight : 1 | | | | Inputs : | | | | var1 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | var2 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | var_out | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var_out = 0 x0000 7fff. | |_| */ Word16 sub(Word16 var1,Word16 var2) /*_ | | | Function Name : L_mult | | | | Purpose : | | | | L_mult is the 32 bit result of the multiplication of var1 times var2 | | with one shift left i.e.: | | L_mult(var1,var2) = shl(var1 times var2),1) and | | L_mult(-32768,-32768) = 2147483647. | | | | Complexity weight : 1 | | | | Inputs : | | | | var1 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | var2 | | 16 bit short signed integer (Word16) whose value falls in the | | range : 0 xffff 8000 = var1 = 0 x0000 7fff. | | | | Outputs : | | | | none | | | | Return Value : | | | | L_var_out | | 32 bit long signed integer (Word32) whose value falls in the | | range : 0 x8000 0000 = L_var_out = 0 x7fff ffff. | |_| */ Word32 L_mult(Word16 var1,Word16 var2) /* Computes the square root of a fixpoint number a = square(b).*/ /* length :adigits, b2*digits */ void fixsqrt(UINT4* a, UINT4* b, int digits) /UINT4 stepdigits; UINT4 *step; /UINT4 hdigits*2; /UINT4 testdigits; UINT4 *h,*test; step = (UINT4 *)malloc(digits*sizeof(UINT4); h = (UINT4 *)malloc(2*digits*sizeof(UINT4); test = (UINT4 *)malloc(digits*sizeof(UINT4); / if (x 0) return(-1); if (x = 0) return(0); NN_AssignZero (step, digits); stepdigits-1 = 1= 1; NN_RShift(step, step, 1, digits); free(h); free(test); free(step); /* Computes a = b + c. Returns c