（浙江专版）2019年高考数学一轮复习 专题2.2 函数的单调性与值域（讲）.doc

第02节 函数的单调性与值域【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数的单调性与最值1理解函数的单调性，会判断函数的单调性.2理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.2014浙江文7；理6，15；2015浙江文12；理10；2016浙江理18；2017浙江5，17.2018浙江7，22.1.确定函数的最值（值域）2.以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性结合，有时与导数综合考查.3.备考重点： （1）判断函数的单调性方法；（2）求函数最值的方法；（3）利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围.【知识清单】1函数的单调性（1）.增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数.2.函数的最值1.最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最大值.2.最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么，我们称是函数的最小值.【重点难点突破】考点1 单调性的判定和证明【1-1】【2018届辽宁省大连市二模】下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用函数奇偶性的判断方法判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性原理和图像判断函数的单调性得解.【1-2】【2018届河南省南阳市第一中学高三实验班第一次考试】已知，那么( )A. 在区间上单调递增 B. 在上单调递增C. 在上单调递增 D. 在上单调递增【答案】D【解析】，在记，则当时，单调递增，且而在不具有单调性，故A错误；当时，不具有单调性，故B错误；当时，单调递增，且而在不具有单调性，故C错误；当时，单调递减，且而在单调递减，根据“同增异减”知，D正确.故选：D【领悟技法】1.利用基本初等函数的单调性与图像：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2.性质法：（1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.2.导数法：在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递增；在区间D上恒成立，则函数在区间D上单调递减.4.定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法）.【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性，还需注意断点处两边函数值的大小比较.【触类旁通】【变式一】【2017北京西城八中上期中】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【变式二】【2017山西孝义二模】函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于（ ）A-3 B13 C. 7 D 5【答案】B【解析】由题意知函数的对称轴，所以，所以，故选B考点2 函数的单调区间【2-1】【2019届四川省成都市第七中学零诊】函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：利用二次函数的单调性， 结合函数的定义域，根据复合函数的单调性求解即可.详解：得或，令，则为增函数，在上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为，故选D.【2-2】的递增区间是（ ）A. B. C. D.【答案】A【领悟技法】1.基本初等函数的单调区间：函数图象参数范围单调区间或单调性一次函数单调递增区间单调递减区间二次函数单调递减区间为；单调递增区间为.单调递增区间为；单调递减区间为.反比例函数单调递减区间为和单调递增区间为和指数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为对数函数（且）单调递减区间为单调递增区间为幂函数在上递减没有单调性在上递增正弦函数单调递增区间单调递减区间余弦函数单调递减区间；单调递增区间正切函数单调递增区间2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【触类旁通】【变式一】【2017届北京西城35中高三上期中】 函数的单调区间是A. B. C. D. 【答案】C【解析】设， ， ，函数定义域为，所以先排除A，B；在上函数m先增后减，故D不对；由图像可知，该复合函数单调区间为，故选【变式二】函数的单调递增区间为 .【答案】和.【解析】作出函数的图象如下图所示，由图象可知，函数的单调递增区间为和.考点3 利用单调性确定参数取值范围【3-1】【2018届云南省昆明市5月检测】已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A详解：函数在上为减函数，函数的图像开口向下，对称轴为，所以函数在区间上为减函数，且.所以函数在上为减函数. 由得.解得.故选A.【3-2】【2018年天津卷文】已知aR，函数若对任意x3，+），f(x)恒成立，则a的取值范围是_【答案】，2【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当时，则；当时，即：，整理可得：，由恒成立的条件可知：，结合二次函数的性质可知：当或时，则；综合可得的取值范围是.点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析【3-3】已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围 .【答案】 【解析】函数： ，由复合函数的增减性可知，若 在 （-2，+）为增函数，1-2a0， 【领悟技法】1.解决抽象不等式时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数，则；若函数为减函数，则.2.在比较、的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小.【触类旁通】【变式一】【2018届内蒙古巴彦淖尔市第一中学9月月考】已知函数 是奇函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】设 ，则 为奇函数， 在 上单调递减，在上单调递增若函数 在区间 上单调递增， 故答案为【变式二】【2017浙江金华十校联考】已知函数f(x)为(0，)上的增函数，若f(a2a)f(a3)，则实数a的取值范围为_考点4 函数的单调性和最值（值域）及其综合应用【4-1】【2018届浙江省绍兴市3月模拟】已知，函数在区间上的最大值是2，则_【答案】3或【解析】当时，=函数，对称轴为，观察函数 的图像可知函数的最大值是.令，经检验，a=3满足题意.令，经检验a=5或a=1都不满足题意.令，经检验不满足题意.当时，,函数，对称轴为，观察函数 的图像得函数的最大值是.当时，,函数，对称轴为，观察函数 的图像可知函数的最大值是.令，令,所以.综上所述，故填3或.点睛：本题的难点在于通过函数的图像分析函数的性质. 本题绝对值里面是一个闭区间上的二次函数，要求它的最大值，所以要先画出二次函数的图像，再结合二次函数的图像分析出最大值的可能情况.【4-2】【2017浙江，17】已知R，函数在区间1，4上的最大值是5，则的取值范围是_ 【答案】【解析】【领悟技法】函数最值（值域）的求解方法：1.单调性法： 利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.3. 利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.4.利用三角函数的有界性,如.5.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.6.利用换元法:形如型,可用此法求其值域.7.利用基本不等式法:8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围 10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.【触类旁通】【变式一】【2018届陕西省西安市长安区大联考（一）】已知函数的值域是，则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【变式二】【2018届浙江省杭州市高三上期末】设函数，记为函数在上的最大值， 为的最大值.（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】C【解析】由题意得， 则若，则，此时任意有则， ， ，在时与题意相符，故选【易错试题常警惕】易错典例：函数的单调递减区间为 .易错分析：求单调区间时，只顾及到内层二次函数的单调区间，而忽视了函数定义域的重要性.正确解析：自变量满足，解得或，令，则内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，而外层函数在上是减函数，由复合函数单调性可知，函数的单调递减区间为.【规范解答】因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9). 2分又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9)，再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f(9(a1). 4分从而有 8分解得1a.11分故所求实数a的取值范围为. 12分【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休.数与形反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化