（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时分层作业 二十四 3.7 应用举例 文.doc

课时分层作业 二十四 应 用 举 例一、选择题(每小题5分,共25分)1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东80D.南偏西80【解析】选D.由题意可知ACD=40,DCB=60,CA=CB,所以CAB=CBA= 40,又因为BCD=60,所以CBD=30,DBA=10,故灯塔A在B的南偏西80.2.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:测量A,C,b;测量a,b,C;测量A,B,a.则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为()A.B.C.D.【解析】选D.对于可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.3.某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60的方向航行15 km后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是()A.5 kmB.10 kmC.5 kmD.5 km【解析】选C.作出示意图(如图),点A为该船开始的位置,点B为灯塔的位置,点C为该船后来的位置,所以在ABC中,有BAC=60-30=30,B=120,AC=15,由正弦定理,得=,即BC=5,即这时船与灯塔的距离是5 km.【变式备选】为绘制海底地貌图,测量海底两点C,D之间的距离,海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,C,D在同一个铅垂平面内,海底探测仪测得BAC=30,DAC=45,ABD=45,DBC=75,A,B两点的距离为海里,则C,D之间的距离为()A. 海里B.2海里C.海里D.海里【解析】选A.ADB=180-30-45-45=60,在ABD中,由正弦定理,得BD=,在ABC中,ACB=180-30-45-75=30,所以BC=BA=,在BCD中,由余弦定理,得CD2=BC2+BD2-2BCBDcosDBC=3+-2=5,所以CD=.4.(2018深圳模拟)一架直升飞机在200 m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()世纪金榜导学号37680485A.mB.mC.mD.m【解析】选A.如图所示.在RtACD中可得CD=BE,在ABE中,由正弦定理得=AB=,所以DE=BC=200-=(m).5.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动,离台风中心30千米内的地区为危险区,城市B在A的正东40千米处,B城市处于危险区内的持续时间为()A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时【解析】选B.根据题意画出相应的图形,如图所示.BE=BF=30 km,ABD为等腰直角三角形且AB=40 km,由勾股定理得AD=BD=20km,由BDAD,可得ED=DF,在RtBED中,由勾股定理得ED=10 km,所以EF=2ED=20 km,因此B市处于危险区内的时间为2020=1(h).二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75处,且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.【解析】设航速为v n mile/h,在ABS中,AB=v,BS=8 n mile,BSA=45,由正弦定理,得=,所以v=32.答案:327.(2018潍坊模拟)如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60,再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D,测得BDC=45,则塔AB的高是_米.【解析】在BCD中,由正弦定理得,=,解得BC=10米,所以在RtABC中,tan 60=,解得AB=10米,所以塔AB的高是10米.答案:108.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为_米.【解题指南】连接OC,在OCD中,借助余弦定理求半径OC.【解析】连接OC,由题意知CD=150米,OD=100米,CDO=60,在COD中,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CDODcos 60,即OC=50.答案:50三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的飞行高度为10 000 m,速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15,经过420 s后看山顶的俯角为45,则山顶的海拔高度为多少米?(取=1.4,=1.7)【解析】如图,作CD垂直于AB的延长线于点D,由题意知A=15,DBC=45,所以ACB=30,AB=50420=21 000(m).又在ABC中,=,所以BC=sin 15=10 500(-)(m).因为CDAD,所以CD=BCsinDBC=10 500(-)=10 500(-1)=7 350(m).故山顶的海拔高度为10 000-7 350=2 650(m).10.如图,一架飞机以600 km/h的速度,沿方位角60的航向从A地出发向B地飞行,飞行了36 min后到达E地,飞机由于天气原因按命令改飞C地,已知AD= 600 km,CD=1 200 km,BC=500 km,且ADC=30,BCD=113.问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时E地离C地的距离是多少?【解题指南】在ACD中使用余弦定理得出AC及ACD,在ABC中使用余弦定理得出AB及CAE,再在ACE中使用余弦定理得出CE及AEC.【解析】在ACD中由余弦定理,得:AC2=(600)2+1 2002-26001 200=360 000,所以AC=600,则CD2=AD2+AC2,即ACD是直角三角形,且ACD=60,又BCD=113,则ACB=53,因为tan 37=,所以cos 53=sin 37=.在ABC中,由余弦定理,得:AB2=6002+5002-2600500=5002,则AB=500,又BC=500,则ABC是等腰三角形,且BAC=53,由已知有AE=600=360,在ACE中,由余弦定理,有CE=480,又AC2=AE2+CE2,则AEC=90.由飞机出发时的方位角为60,则飞机由E地改飞C地的方位角为:90+60=150.答:收到命令时飞机应该沿方位角150的航向飞行,E地离C地480 km.1.(5分)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60方向进行海上巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是()A.5(+)kmB.5(-)kmC.10(-)kmD.10(+)km【解析】选C.由题意知BAC=60-30=30,CBA=30+45=75,所以ACB=180-30-75=75,故AC=AB,因为AB=40=20,所以AC=AB=20.在ABC中,由余弦定理得:BC2=AC2+AB2-2ACABcosCAB=400+400-22020cos 30=400(2-),故BC=10(-).2.(5分)(2018广州模拟)如图,在海岸线上相距2千米的A,C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向,在C的北偏西-方向,且cos =,则B,C之间的距离是()A.30千米B.30千米C.12千米D.12千米【解析】选D.依题意得,AC=2,sinBAC=sin=cos =,sin B=sin=cos 2=2cos2-1=,在ABC中,由正弦定理得,BC=12,则B与C之间的距离是12千米.【变式备选】(2018长沙模拟)地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为()A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为,在O点望高塔仰角为.分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,即tan =,tan=,根据倍角公式有=,在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为-,即tan =,tan=,根据诱导公式有=,联立得H=90,h=40.即两座塔的高度为40米,90米.3.(5分)(2018宜昌模拟)如图所示,在海岛A上有一座海拔千米的山峰,山顶上设有一座观察站P,一艘轮船沿一固定方向匀速航行,上午10:00时,测得此船在岛北偏东20且俯角为30的B处,到10:10时,又测得该船在岛北偏西40且俯角为60的C处,则该船的航行速度为_ km/h.世纪金榜导学号37680489【解题指南】在RtPAB,RtPAC中确定AB,AC的长,进而求得CAB的大小,在ABC中,利用余弦定理求得BC,用路程除以时间即为船的速度.【解析】在RtPAB中,APB=60,PA=,所以AB=3.在RtPAC中,APC=30,所以AC=1.在ACB中,CAB=20+40=60,所以BC=.则船的航行速度为=6(km/h).答案:64.(12分)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45,B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?【解析】由题意知AB=5(3+)海里,因为DBA=90-60=30,DAB=90-45=45,所以ADB=180-(45+30)=105.在DAB中,由正弦定理得BD=10(海里).又因为DBC=DBA+ABC=30+(90-60)=60,BC=20海里,在DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC=300+1 200-21020=900,所以CD=30(海里),所以需要的时间t=1(小时).即该救援船到达D点需要1小时.5.(13分)如图,某人位于塔AB的正东方向上的C处,在与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后到达D处,在点D处望见塔的底端B在东北方向上,已知沿途塔的仰角AEB=,的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时,走了几分钟.(2)求塔的高AB.【解析】(1)依题意知,在DBC中,BCD=30,DBC=180-DBF=180-45=135,CD=6 000=100(米),BDC=180-135-30=15,由正弦定理得=,所以BC=50(-1)(米)