2019届高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学上学期期末考试试卷 理(含解析)一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线 上所有的点组成的集合，根据直线与圆的位置关系，即可求解集合中元素的个数，得到答案。【详解】由题意，集合A表示以为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又由圆x2+y2=1 与直线y=x 相交于两点1,1,1,1，则AB中有两个元素，故选C.【点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2.已知aR，是虚数单位，若z=a+3i，zz=4，则a=（ ）A. 1或1 B. 7或7 C. 3 D. 3【答案】A【解析】由z=a+3i,zz=4得a2+3=4，所以a=1，故选A.【名师点睛】复数a+bi(a,bR)的共轭复数是abi(a,bR)，据此结合已知条件，求得的方程即可.3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A. 32 B. 23C. 22 D. 2【答案】B【解析】由三视图还原原几何体如图，四棱锥ABCDE，其中AE平面BCDE，底面BCDE为正方形，则AD=AB=22，AC=(22)2+22=23该四棱锥的最长棱的长度为23故选：B4.函数fx=sin2x+3的最小正周期为（ ）A. 4 B. 2 C. D. 2【答案】C【解析】分析：根据正弦函数的周期公式直接求解即可.详解：由题函数fx=sin2x+3的最小正周期T=2=22=. 故选C.点睛：本题考查正弦函数的周期，属基础题.5.(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为A. 15 B. 20 C. 30 D. 35【答案】C【解析】因为(1+1x2)(1+x)6=1(1+x)6+1x2(1+x)6，则(1+x)6展开式中含x2的项为1C62x2=15x2，1x2(1+x)6展开式中含x2的项为1x2C64x4=15x2，故x2的系数为15+15=30，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含x2的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.6.椭圆x29+y24=1的离心率是A. 133 B. 59 C. 23 D. 53【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的方程求得a=3,b=2，得到c=a2b2=5，再利用离心率的定义，即可求解。【详解】由题意，根据椭圆的方程x29+y24=1可知a=3,b=2，则c=a2b2=5，所以椭圆的离心率为e=ca=53，选D【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等7.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】设导函数y=f（x）的图象与x轴的交点从小到大依次为a，b，c，故函数y=f（x）在（-，a）上单调递减，在（a，b）单调递增，在（b，c）单调递减，在（c，+）单调递增，结合选项不难发现选D.8.已知随机变量i满足P（i=1）=pi，P（i=0）=1pi，i=1，2.若0p1p212，则A. E(1)E(2)，D(1)D(2) B. E(1)D(2)C. E(1)E(2)，D(1)E(2)，D(1)D(2)【答案】A【解析】E(1)=p1,E(2)=p2，E(1)E(2)，D(1)=p1(1p1),D(2)=p2(1p2)，D(1)D(2)=(p1p2)(1p1p2)0,b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. x24y24=1 B. x28y28=1 C. x24y28=1 D. x28y24=1【答案】B【解析】由题意得a=b,4c=1c=4,a=b=22x28y28=1 ，选B.【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两点可设为mx2ny2=1(mn0)，（2）与x2a2y2b2=1共渐近线的双曲线可设为x2a2y2b2=(0)，（3）等轴双曲线可设为x2y2=(0)等，均为待定系数法求标准方程.12.设 x，y， 为正数，且 2x=3y=5z，则 A. 2x3y5z B. 5z2x3y C. 3y5z2x D. 3y2x1x=log2k,y=log3k,z=log5k2x=2log2k=log2k=1logk212, 3y=3log3k=log313k=1logk313，5z=5log5k=log515k=1logk515 2126=23=83136=32=9212313 ，51510=52=2521210=25=32515212 15152121,0logk515logk2121logk2121logk313 即5z2x3y故选D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= _ .【答案】23【解析】平面向量与b的夹角为600，a=2，b=1ab=21cos600=1.a+2b=(a+2b)2=a2+4ab+(2b)2=4+4+4=23故答案为：23.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) a=aa 常用来求向量的模14.函数fx=cos3x+6在0，的零点个数为_【答案】3【解析】分析：求出3x+6的范围，再由函数值为零，得到3x+6的取值可得零点个数。详解：0x63x+6196由题可知3x+6=2，3x+6=32，或3x+6=52解得x=9,49,或79故有3个零点。点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。15.函数fx=sin2x+3cosx-34（x0,2）的最大值是_【答案】1【解析】【分析】利用平方关系化正弦为余弦，然后利用换元法转化为二次函数求最值.【详解】化简三角函数的解析式，则fx=1-cos2x+3cosx-34=-cos2x+3cosx+14= -(cosx-32)2+1，由x0,2可得cosx0,1，当cosx=32时，函数f(x)取得最大值1【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：化成y=asin2x+bsinx+c的形式利用配方法求最值；形如y=asinx+bcsinx+d的可化为sinx=(y)的形式利用三角函数有界性求最值；y=asinx+bcosx型，可化为y=a2+b2sin(x+)求最值 .16.已知F是抛物线C: y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N若M为FN的中点，则FN=_【答案】6【解析】抛物线C: y2=8x的焦点F2，0，设N0，a，M为FN的中点，M1，a2M在抛物线C: y2=8x上，a=42，即N0，42FN=6点睛：分析题意，回想抛物线的简单性质，求出N的坐标是解题的关键。先根据抛物线的性质得到F的坐标，设N0，a，根据中点坐标公式表示出M的坐标，将M代入抛物线解析式求出的值，确定点N坐标，最后根据两点距离公式计算即可。三解答题（共6小题，第17小题10分，其余各小题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为x=2+ty=kt (t为参数)，直线l2的参数方程为x=2+my=mk (m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l:(cos+sin)2=0，M为与C的交点，求M的极径【答案】（1）x2y2=4y0；（2）5.【解析】【分析】(1)分别消掉参数t与m可得直线l1与直线l2的普通方程为y=k（x-2）与x=-2+ky；联立，消去k可得C的普通方程为x2-y2=4；(2)将l的极坐标方程与曲线C的极坐标方程联立，可得关于的方程，解得tan，即可求得l与C的交点M的极径为【详解】(1)消去参数t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m，得l2的普通方程l2：y (x2) 设P(x，y)，由题设得消去k，得x2y24(y0)，所以C的普通方程为x2y24(y0)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)，联立得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以l与C的交点M的极径为.【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程化普通方程，考查函数与方程思想与等价转化思想的运用，属于中档题18.记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=7，S3=15 （1）求an的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得Sn的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为16点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.19.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时？Y的数学期望达到最大值？【答案】（1）见解析；（2）n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200n500，根据300n500和200n300分类讨论经，能得到当n=300时，EY最大值为520元【详解】（1）由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知PX=200=2+1690=0.2，PX=300=3690=0.4，PX=500=25+7+490=0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 200n500.当300n500时，若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n；若最高气温位于区间20,25，则Y=6300+2n-300-4n=1200-2n；若最高气温低于20，则Y=6200+2n-200-4n=800-2n；因此EY=2n0.4+1200-2n0.4+800-2n0.2=640-0.4n.当200n300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n；若最高气温低于20，则Y=6200+2n-200-4n=800-2n；因此EY=2n0.4+0.4+800-2n0.2=160+1.2n.所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.20.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 77.【解析】【分析】（1）利用题意，证得二面角为900，即可得到平面ACD平面ABC；（2）建立适当的空间直角坐标系，求得两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角的余弦值。【详解】（1）由题意可得，ABDCBD,从而AD=DC，又ACD是直角三角形，所以ACD=900，取AC的中点O，连接DO，BO，则DOAC,DO=AO，又由ABC是正三角形，所以BOAC，所以DO是二面角DACB的平面角,在直角AOB中，BO2+AO2=AB2，又，AB=BD所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故DOB=900 ，所以平面ACD平面ABC。（2）由题设及（1）可知OA,OB,OC两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz， 则A1,0,0,B0,3,0,C1,0,0,D0,0,1 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得E0,32,12 .故AD=(1,0,1),AC=(2,0,0),AE=(1,32,12),设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，则nAD=0nAE=0，即x+z=0x+32y+12z=0，令x=1，则y=33,z=1，即平面DAE的一个法向量n=(1,33,1)，设m=(x,y,z)是平面AEC的法向量，则mAC=0mAE=0，可得平面AEC的一个法向量n=(0,1,3)，则cosm,n=mnmn=77，即二面角DAEc的余弦值为77。【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的定义及应用，以及利用空间向量求解二面角的计算，对于立体几何中空间角的计算问题，往往可以利用空间向量法求解，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式得以求解，同时解答中要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。21.设O为坐标原点，动点M在椭圆C：x22+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP=2NM.（1）求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=3上，且OPPQ=1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.【答案】（1）点P的轨迹方程为x2y22.（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（2）设Q（3，m），P（2cos，2sin），（02），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：向量数量积为0，即可得证【详解】（1）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足NP=2NM可得（xx0，y）=2（0，y0），可得xx0=0，y=2y0，即有x0=x，y0=y2，代入椭圆方程x22+y2=1，可得x22+y22=1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（2）证明：设Q（3，m），P（2cos，2sin），（02），OPPQ=1，可得（2cos，2sin）（32cos，m2sin）=1，即为32cos2cos2+2msin2sin2=1，当=0时，上式不成立，则02，解得m=3(1+2cos)2sin，即有Q（3，3(1+2cos)2sin），椭圆x22+y2=1的左焦点F（1，0），由PFOQ=（12cos，2sin）（3，3(1+2cos)2sin）=3+32cos3（1+2cos）=0可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F另解：设Q（3，t），P（m，n），由OPPQ=1，可得（m，n）（3m，tn）=3mm2+ntn2=1，又P在圆x2+y2=2上，可得m2+n2=2，即有nt=3+3m