六年级奥数几何综合讲座

1 / 15 六年级奥数几何综合讲座 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 几何综合（一） 几何图形的设计与构造涉及比例与整数分解，需要添加辅助线、寻找规律或利用对称性解的较为复杂的直线形和圆的周长与面积计算问题 1今有 9 盆花要在平地上摆成 9 行，其中每盆花都有 3 行通过，而且每行都通过 3 盆花请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行 . 【分析与解】如下图所示，我们给出四种不同的排法 2已知如图 12-1，一个六边形的 6 个内角都是 120 ， 其连续四边的长依次是 1、 9、 9、 5 厘米求这个六边形的周长 【分析与解】如下图所示，将六边形的六条边分别延长，相交至三点，并将其标上字母， 因为 BAF=120 ，而么 IAF=180 -BAF=60 又 EFA=120 ，而 IFA=180 -EFA ： 60 ，则 2 / 15 IAF 为等边三角形 同理 BcG 、 EHD 、 IGH 均为等边三角形 在 IAF 中，有 IA=IF=AF=9(厘米 )， 在 BGc 中，有 BG=Gc=Bc=1(厘米 )， 有 IA+AB+BG=IG=9+9+1=19，即 为大正三角形的边长，所以有 IG=IH=GH=19(厘米 ) 则 EH=IH-IF-FE=19-9-5=5(厘米 )，在 EDH 中， DH=EH=5(厘米 )，所以 cD=GH-Gc-DH=19-1-5=13(厘米 ) 于是，原图中六边形的周长为 1+9+9+5+5+13=42(厘米 ) 3图 12-2 中共有 16 条线段，每两条相邻的线段都是互相垂直的为了计算出这个图形的周长，最少要量出多少条线段的长度 ? 【分析与解】如下图所示，我们想像某只昆虫绕图形爬行一周，回到原出发点，那么往右的路程等于往左 的路程，往上的路程等于往下的路程于是只用量出往右的路程，往下的路程，再将它们的和乘以 2 即为所求的周长所以，最少的量出下列 6 段即可 4将图 12-3 中的三角形纸片沿虚线折叠得到图 12-4，其3 / 15 中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为 2： 3已知图 12-4 中 3 个画阴影的三角形面积之和为 1，那么重叠部分的面积为多少 ? 【分析与解】设重叠部分的面积为 x，则原三角形面积为 1+2x，粗实线的面棚为 1+x.因此 (1+2x)： (1+x)=3： 2，解得 x=1，即重叠部分面积为 1 5如图 12-5，涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米问：大正六角星形的面积是多少平方厘米 ? 【分析与解】如下图所示，在正六边形 ABcDEF中 ,与面积相等， 12 个组成小正六角星形，那么由 6 个及 12 个组成的正六边形的面积为 1612(12+6)=24( 平方厘米 ) 而通过下图，我们知道，正六边形 ABcDEF 可以分成 6 个小正三角形，并且它们面积相等，且与六个角 的面积相等，所以大正六角星形的 积为 24612=48( 平方厘米 ) 6如图 12-6 所示，在 三角形 ABc 中， Dc=3BD， DE=EA若4 / 15 三角形 ABc的面积是 1则阴影部分的面积是多少 ? 【分析与解】 ABc 、 ADc 同高，所以底的比等于面积比，那么有 而 E 为 AD中点，所以 连接 FD， DFE 、 FAE 面积相等，设则的面积也为 x， 而 ，解得 . 所以，阴影部分面积为 7如图 12-7， P 是三角形 ABc 内一点， DE 平行于 AB， FG平行于 Bc， HI 平行于 cA，四边形 AIPD 的面积是 12，四边形 PGcH 的面积是 15，四边形 BEPF 的面积是 20那么三角形 ABc的面积是多 少 ? 【分析与解】有平行四边形 AIPD与平行四边形 PGcH 的面积比为 IP与 PH的比，即为 12： 15=4： 5 同理有 FP:PG=20:15=4:3， DP:PE=12:20=3:5 如图 12-7(a)，连接 Pc、 HD，有 PHc 的面积为 DPH 与 PHc同底 PH，同高，所以面积相等，即，而 DPH 与 EPH 的高5 / 15 相等，所以底的比即为面积的比，有，所以 如图 12-7(b)所示，连接 FH、 BP， 如图 12-7(c)所示，连接 FD、 AP， 有 8如图 12-8，长方形的面积是小 于 100的整数，它的内部有三个边长是整数的正方形， 号正方形的边长是长方形长的， 号正方形的边长是长方形宽的那么，图中阴影部分的面积是多少 ? 【分析与解】有 号正方形的边长为长方形长的，则图中未标号的正方形的边长为长方形长的 . 而 号正方形的边长为宽的，所以未标号的正方形的边长为长方形宽的 . 所以在长方形中有：长 =宽，则长：宽 =12： 8，不妨设长的为 12k，宽为 8k，则 号正方形的边长为 5k，又是整数，所以 k 为整数，有长方形的面积为 96,不大于 100所以 k 只能为 1，即长方形的长为 12，宽为 8 于是，图中 号正方形的边长为 5， 号正方形的边长为 1，则未标号的正方形的边长为 7，所以剩余的阴影部分的面积为： 6 / 15 9如图 12-9，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内， A 和 B 是两个正方形重叠部分， c， D， E 是空出的部分，这些部分都是长方形，它们的面积比是 A： B： c： D： E=1： 2：3： 4： 5那么这个长方形的长与宽之比是多少 ? 【分析与解】以下用表示 E 部分横向的长度，竖表示 E 部分竖向的长度，其他下标意义类似 有： =5： 4，： =l： 2 而 +=+，所以有： =5： 4： 1： 2 而 +=+对应为 5+1=6，那么对应为 3 而 A 面积： B 面积： c 面积 =1： 2： 3，所以 = 有 +竖对应为 6，所以 =对应为 3 那么长方形的竖边为 6+对应为 9，长方形横边为 +6+对应为 5+6+4=15 所以长方形的长与宽的比为 15： 9=5： 3 10如图 12-10，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合已知露在外面的部分中，红色的面积是 20，黄色的面积是 7 / 15 14，绿色的面积是 lo那么，正方形盒子的底面积是多少 ? 【分析与 解】如下图所示，我们将黄色的正方形纸片向左推向纸盒的过缘，有露在外面的部分，黄色减少的面积等于绿色增加的面积，也就是说黄色、绿色部分露在外面部分的面积和不变 并且有变化后，黄色露出面积 +红色部分面积，绿色露出面积 +红色部分面积，都是小正方形纸片边长乘以大正方形盒子边长的积 所以，黄色露出面积 +红色部分面积 =绿色露出面积 +红色部分面积，于是黄色露出面积 =绿色露出面积，而它们的和为 14+10=24，即黄色露出面积 =绿色露出面积 =12 有黄：空白 =红：绿， 12：空白 =20： 12，解得空白 =，所以整个正方形纸盒的底面积为 12+20+12= 11如图 12-11，在长 260厘米，宽 150厘米的台球桌上，有 6 个球袋 A， B， c， D， E， F，其中 AB=EF=130厘米现在从 4 处沿 45 方向打出一球，碰到桌边后又沿 45 方向弹出，当再碰到桌边时，仍沿 45 方向弹出，如此继续下去假如球可以一直运动，直至落入某个球袋中为止，那么它将落人哪个袋中 ? 8 / 15 【分析与解】将每个点的位置用一组数来表示，前一个数是这个点到 FA的距离，后一个数是点到 FD的距离，于是 A 的位置为 (0， 150)，球经过的路线为： (0,150)(150,0)(260,110)(220 ， 150)(70 ， 0)(0 ，70)(80 ， 150)(230,0)(260 ， 30)(140 ， 150)(0 ，10)(10 ， 0)(160 ， 150)(260 ， 50)(210,0)(60 ，150)(0 ， 90)(90 ， 0)(240 ， 150)(260 ， 130)(130 ，0) 因此，该球最后落入 E 袋 12长方形 ABcD是一个弹子盘，四角有洞弹子从 A 出发，路线与边成 45 度角，撞到边界即反弹，并一直按此规律运动，直到落人一个洞内为止如图 12-12当 AB=4， AD=3时，弹子最后落入 B 洞问：若 AB=1995， AD=1994 时，弹子最后落入哪个洞 ?在落入洞之前，撞击 Bc边多少次 ? 【分析与解】撞击 AD 边的点，每次由 A 向 D 移动 2；撞击Bc边的点，每次由 c 向 B 移动 2 因为第一次撞击 Bc边的点距 c 点 1，第一次撞击 AB边的点距 A 点为 2， 19942=997 所以最后落人 D 洞，在此之前撞击 Bc边 997次 9 / 15 13 10 个一样大的圆摆成如图 12-13 所示的形 状过图中所示两个圆心 A， B 作直线，那么直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是多少 ? 【分析与解】直线 AB 的右上方的有 2 个完整的圆， 2 个半圆， 1 个 1 个而 1 个 1 个正好组成一个完整的圆，即共有 4个完整的圆 那么直线 AB的左下方有 10-4=6个完整的圆，每个圆的面积相等，所以直线右上方圆内图形面积总和与直线左下圆内图形面积总和的比是 4： 6=2： 3 14在图 12-14 中，一个圆的圆心是 0，半径 r=9 厘米，1=2=15. 那么阴影部分的面积是多少平方厘米 ?(取 ) 【分析与解】有 Ao=oB，所以 AoB 为等腰三角形， Ao=oc，所以 Aoc 为等腰三角形 . ABo=1=15 ， AoB=180 -1 -ABo=150. Aco=2=15,Aoc=180 -2 -Aco=150. 所以 Boc=360 -AoB -Aoc=60 ，所以扇形 Boc 的面积为 (平方厘米 ) 10 / 15 15图 12-15是由正方形和半圆形组成的图形其中 P 点为半圆周的中点， Q 点为正方形一边的中点已知正方形的边长为 10，那么阴影部分的面积是多少 ?(取 ) 【分析与解】过 P 做 AD平行线，交 AB于 o 点， P 为半圆周的中点，所以 0 为 AB中点 有 . 阴影部分面积为 几何综合 (二 ) 内容概述 勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系与上述知识相关的几何计算问题各种具有相当难度的几何综合题 典型问题 2如图 30-2，已知四边形 ABcD 和 cEFG都是正方形，且正方形 ABcD 的边长为 10 厘米，那么图中阴影三角形 BFD的面积为多少平方厘米 ? 11 / 15 【分析与解】方法一：因为 cEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关设正方形 cEFG的边长为 x，有： 又 阴影部分的面积为 : (平方厘米 ). 方法二：连接 Fc，有 Fc平行与 DB，则四边形 BcFD 为梯形 有 DFB 、 DBc 共底 DB，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然 ,DBc 的面积 (平方厘米 ) 阴影部分 DFB 的面积为 50平方厘米 4.如图 30-4， A+B+c+D+E+F+G+H+I 等于多少度 ? 【分析与解】 为了方便所述，如下图所示，标上数字， 有 I=1800 -(1+2), 而 1=1800 -3,2=1800 -4, 有I=3+4 -1800 同理 ,H=4+5 -1800,G=5+6 -1800,F=6+7 -1800,E=7+8 -1800, 12 / 15 D=8+9 -1800,c=9+10 -1800,B=10+11 -1800,A=11+3 -1800 则A+B+c+D+E+F+G+H+I=2(3+4+5+6+7+8+9+ 10+11) -91800 而 3+4+5+6+7+8+9+10+11 正是 9边形的内角和为 (9-2)1800=12600 所以A+B+c+D+E+F+G+H+I=212600 -91800=9000 6长边和短边的比例是 2： 1 的长方形称为基本长方形考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙 .现在要用短边互不相同且最小短边长为 1的 5个基本长方形拼接成一个更大的长方形例如，短边长分别是 1， 2， 5， 6， 12 的基本长方 形能拼接成大长方形，具体案如图 30-6 所示请给出这 5 个基本 长 方 形 所 有 可 能 的 选 择 方 式 . 设a1=1a2a3a4a5 分别为 5 条短边的长度 ,则我们将这种选择方式记为 (a1,a2,a3,a4,a5),这里无需考虑5 个基本长方形的拼图方案是否惟一 【分析与解】我们以几个不同的基本长方形作为分类依13 / 15 据，并按边长递增的方式一一列出 第一类情况：以为特征的有 7 组： 第二类情况：以为特征的有 6 组： 第三类情况有如下三组： 共有 16组解，它们是： (1， 2， ， 5， )， (1， 2， 2 5， 5， ) (1， 2， )， (1， 2， ) (1， 2， 5， 6)， (1， 2， 5， 6， 11)， (1， 2， 7)， (1， 2， 14)， (1， 2， 5， 12， )， (1， 2， 5， 12， 29)， (1， 2， )， (1， 2， 5， 6， 12). (1,2,5), . 8.如图 30-8， ABcD是平行四边形，面积为 72平方厘米，E， F 分别为边 AB,Bc的中点则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米 ? 【分析与解】如下图所示，连接 Ec， 并在某些点处标上字母， 14 / 15 因为 AE平行于 Dc，所以四边形 AEcD 为梯形，有 AE:Dc=1:2，所以 , ,且有 ,所以 ,而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG： GD=1:2，同理 FH： HD=1:2 有 ,而 (平方厘米 ) 有 EG:GD=, 所以 (平方厘米 )(平方厘米 ) 同理可得 (平方厘米 ),(平方厘米 ),(平方厘米 ) 又 =24-12=12(平方厘米 ) 所以原题平行四边形中空白部分的面积为 6+6+12=24(平方厘米 )