六年级奥数构造与论证讲座

1 / 12 六年级奥数构造与论证讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 构造与论证 1 内容概述 各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题这里的最佳通常指某个量达到最大或最小解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计 典型问题 2.有 3 堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半 石子移入另外的一堆开始时，第一堆有 1989 块石子，第二堆有 989 块石子，第三堆有 89 块石子问能否做到： (1)某 2 堆石子全部取光 ? (2)3堆中的所有石子都被取走 ? 【分析与解】 (1)可以，如 (1989， 989， 89)(1900， 900，0)(950， 900， 950) (50， 0， 50)(25， 25， 50)(o， 0， 25) (2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将2 / 12 有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少 3 的倍数，要么不变 现在共有 1989+989+89=3067，不是 3 的倍数，所以不能将 3 堆中所有石子都取走 4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有 3 名专业选手与 3 名业余选手参加 .比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有 10 分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加 2 分，每胜业余选手一场加1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一场扣 1分问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高 ? 【分析与解】当一位业 余选手胜 2 场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得 10+2-3=9(分 )此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是 10+2-2+3=13(分 )所以，一位业余选手胜 2场，不能确保他的得分比某位专业选手高 当一位业余选手胜 3 场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得 10+2+2-2=12(分 )此时，三位专业选手最多共得 30+0+4=34(分 )，其中专业选手之间的三场比赛共得 0 分，专业选手与业余选手的比赛最多共得 4 分 .由三个人得 34 分， 343=11 ，推知，必有人得分不超过 113 / 12 分 . 也就是说，一位业余选手胜 3 场，能确保他的得分比某位专业选手高 . 6.如图 35-1，将 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10这 10个数分别填入图中的 10 个圆圈内，使任意连续相邻的 5 个圆圈内的各数之和均不大于某个整数 m.求 m的最小值并完成你的填图 . 【分析与解】要使 m 最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续 5 个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么 m 就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的 因为每个圆圈内的数都用 了 5 次，所以 10 次的和为5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以 Iom 大于等于 275，整数 m 大于28 下面来验证 m=28 时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是 55，所以肯定是一边五个的和是 28，一边是 27因为数字都不一样，所以和 28肯定是相间排列，和 27也是相问排列，也就是说数组每隔 4 个差值为 l，这样从 1 填起，容易排出适当的填图 . 名运动员的号码依次为 1 至 1998 的自然数现在要从4 / 12 中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘 积那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人 ? 【分析与解】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处 ? 考虑到 44 的平方为 1936，所以去到 44 就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有影响，所以可以将 1 保留，于是去掉 2， 3， 4， ， 44这 43个数 但是，是不是去 掉 43个数为最小的方法呢 ?构造 297 ，396 ， 495 ， ， 4445 ，发现这 43 组数全不相同而且结果都比 1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉 43个数，所以 43位最小值，即为所求 . 10.在 1019 方格表的每个方格内，写上 0 或 1，然后算出每行及每列的各数之和问最多能得到多少个不同的和数 ? 【分析与解】首先每列的和最少为 0，最多是 10，每行的和最少是 0，最多是 19，所以不同的和最多也就是 0， 1，2， 3， 4， ， 18， 19这 20个 下面我们说明如果 0 出现，那么必然有 另外一个数字不5 / 12 能出现 如果 0 出现在行的和中，说明有 1 行全是 0，意味着列的和中至多出现 0 到 9，加上行的和至多出现 10个数字，所以少了一种可能 如果 0 出现在列的和中，说明在行的和中 19 不可能出现，所以 0 出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法 . 12在 10001000 的方格表中任意选取 n 个方格染为红色，都存在 3 个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点求 n 的最小值 【分析与解】首先确定 1998不行反例如下： 其次 1999可能是可以的，因为首先从行看， 1999个红点分布在 1000 行中，肯定有一些行含有 2 个或者以上的红点，因为含有 0 或 1 个红点的行最多 999个，所以其他行含有红点肯定大于等于 1999-999=1000，如果是大于 1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形； 如果是等于 1000 而没有这样的 2 个红点在一列，说明有 999行只含有 1 个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以 n 的最小值为 1999 14在图 35-2 中有 16 个黑点，它们排成 了一个 446 / 12 的方阵用线段连接其中 4 点，就可以画出各种不同的正方形现在要去掉某些点，使得其中任意 4 点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点 ? 【分析与解】至少要除去 6 个点，如下所示为几种方法： 构造与论证 2 内容概述 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色 典型问题 2甲、乙、丙三个班人数相同，在班级之间举行象棋比赛各班同学都按 l， 2， 3， 4， 依次编号当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒在甲、乙两班比赛时，有 15 台是男、女生对垒；在乙、丙班比赛时，有 9台是男、女生对垒试说明在甲、丙班比赛时，男、女生对垒的台数不会超过 24并指出在什么情况下，正好是 24？ 【分析与解】不妨设甲、乙比赛时， 1 15号是男女对垒，乙、丙比赛时在 1 15号中有 a 台男女对垒， 15号之7 / 12 后有 9-a 台男女对垒 (0a9) 甲、丙比赛时，前 15 号，男女对垒的台数是 15-a(如果 1号乙与 1 号丙是男女对垒，那么 1 号甲与 1 号丙就不是男女对垒 )， 15号之后，有 9-a 台男女对垒 .所以甲、丙比赛时，男女对垒的台数为 15-a+9-a=24-2a24 仅在 a=0，即必须乙、丙比赛时男、女对垒的号码，与甲、乙比赛时男、女对垒的号码完全不同，甲、丙比赛时，男、女对垒的台数才等于 24 4将 1515 的正方形方格表的每个格涂上红色、蓝色或绿色证明：至少可以找到两行，这两行中某一种颜色的格数相同 【分析与解】如果找不到两行的某种颜色数一样，那么就是说 所有颜色的列与列之问的数目不同那么红色最少也会占： 0+1+2+14=105 个格子 同样蓝色和绿色也是，这样就必须有至少： 3(0+l+2+14)=315 个格子 但是，现在只有 1515=225 个格子，所以和条件违背，假设不成立，结论得证 个人聚会，每人各带 2 件礼品，分赠给其余 3 个人中的 2人试证明：至少有 2 对人，每对人是互赠过礼品的 8 / 12 【分析与解】将这四个人用 4 个点表示，如果两个人之间送过礼，就在两点之间连一条线 由于每人送出 2 件礼物，图中共有 42=8 条线，由于每人礼品 都分赠给 2 个人，所以每两点之间至多有 1+1=2 条线 四点间，每两点连一条线，一共 6 条线，现在有 8 条线，说明必有两点之间连了 2 条线，还有另外两点 (有一点可以与前面的点相同 )之间也连了 2 条线 即为所证结论。 8若干台计算机联网，要求： 任意两台之间最多用一条电缆连接； 任意三台之间最多用两条电缆连接； 两台计算机之间如果没有电缆连接，则必须有另一台计算机和它们都连接有电缆若按此要求最少要用 79 条电缆 问： (1)这些计算机的数量是多少台 ? (2)这些计算机按要求联网，最多可 以连多少条电缆 ? 【分析与解】将机器当成点，连接电缆当成线，我们就得到一个图，如果从图上一个点出发，可以沿着线跑到图上任一个其它的点，这样的图就称为连通的图，条件 表明图是连通图 我们看一看几个点的连通图至少有多少条线可以假定图没有圈 (如果有圈，就在圈上去掉一条线 )，从一点出发，不能再继续前进，将这一点与连结这点的线去掉考虑剩下的 n-19 / 12 个点的图，它仍然是连通的用同样的办法又可去掉一点及一条线这样继续下去，最后只剩下一个点因此 n 个点的连通图至少有 n-1 条线 (如果有圈，线的条数就会增加 )，并且从 一点 A向其他 n-1个点各连一条线，这样的图恰好有 n-1条线 因此， (1)的答案是 n=79+1=80，并且将一台计算机与其他79台各用一条线相连，就得到符合要求的联网 下面看看最多连多少条线 在这 80个点 (80 台计算机 )中，设从引出的线最多，有 k 条，与相连的点是 ,， ，由于条件， , ，之间没有线相连 设与不相连的点是， ，则 m+k=80，而， , 每一点至多引出 k 条线，图中至多有 mk条线，因为 所以 mk1600 ，即连线不超过 1600条 另一方面，设 80个点分为两组： , ，；， ，第 一组的每一点与第二组的每一点各用一条线相连，这样的图符合题目要求，共有 4040=1600 条线 10在一个 66 的方格棋盘中，将若干个 11 的小方格染成红色如果随意划掉 3 行 3 列，在剩下的小方格中必定有一个是红色的那么最少要涂多少个方格 ? 【分析与解】方法一：显然，我们先在每行、每列均涂一个方格，使之成为红色，如图 A 所示，但是在图 B 中，划去 3行 3 列后，剩下的方格没有红色的，于是再将两个方格涂成10 / 12 红色 (依据对称性，应将 2 个方格同时涂成红色 )，如图 c 所示，但是图 D 的划法，又使剩下的方格没有红色， 于是再将两个方格涂成红色 (还是由于对称的缘故，将 2 个方格涂成红色 )，得到图 E，图 E 不管怎么划去 3 行 3 列，都能使剩下的方格含有红色的 这时共涂了 10 个方格 方法二：一方面，图 F 表明无论去掉哪三行哪三列总会留下一个涂红的方格 另一方面，如果只涂 9 个红色方格，那么红格最多的三行至少有 6 个红格 (否则第三多的行只有 1 个红格，红格总数5+3=8) ，去掉这三行至多还剩 3 个红格，再去掉三列即可将这三个红格也去掉 综上所述，至少需要将 10个方格涂成红色 12.证明：在 666 的正方体盒子中 最多可放入 52 个1l4 的小长方体，这里每个小长方体的面都要与盒子的侧面平行 【分析与解】先将 666 的正方体盒子视为实体，那么666 的正方体可分成 216 个小正方体，这 216 个小正方体可以组成 27个棱长为 2 的正方体我们将这 27 个棱长为11 / 12 2 的正方体按黑白相间染色，如下图所示 其中有 14 个黑色的， 13 个白色的，而一个白色的222 的正方体可以对应的放人 4 个每个面都与盒子侧面平行的 1l4 的小长方体，所以最多可以放入 134=52个 114 的小长方体 评注： 666 的正方体 的体积为 216， 114 的小长方体的体积为 4，所以可放入的小正方体数目不超过 2164=54个 14用若干个 l6 和 17 的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个 1112 的大长方形，最少要用小长方形多少个 ? 【分析与解】我们先通过面积计算出最优情况： 1112=132 ，设用