六年级奥数逻辑推理讲座

1 / 8 六年级奥数逻辑推理讲座 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 逻辑推理 内容概述 体育比赛形式的逻辑推理问题，其中存在的呼应 “ 一队的胜、负、平分对应着另一队的负、平、胜 ” 对解题有重要作用，有时宜将比赛情况用点以及连这些点的线来表示需要从整体考虑，涉及数量比较、整数分解等具有一定综性的逻辑推理问题 典型问题 1共有 4 人进行跳远、百米、铅球、跳高 4 项比赛，规定每个单项中，第一名记 5 分，第二名记 3 分，第三名记 2 分，第四名记 1 分已知在每一单项比 赛中都没有并列名次，并且总分第一名共获 17 分，其中跳高得分低于其他项得分；总分第三名共获 11 分，其中跳高得分高于其他项得分问总分第二名在铅球项目中的得分是多少 ? 【分析与解】每个单项的 4 人共得分 5+3+2+1=11 分，所以4 个单项的总分为 114=44 分，而第一，三名得分为 17、11分，所以第二、四名得分之和为分其中第四名得分最少为4 分，此时第二名得分最高，为 16-4=12 分；又因为第三名为 11分，那么第二名最低为 12分； 2 / 8 那么第二名只能为 12分，此时第四名 4 分 于是，第一、二、三、四名的得分依次 为 17、 12、 1l、 4 分，而 17只能是 5+5+5+2， 4 只能是 1+1+1+1. 不难得到下表： 由表知总分第二名在铅球项目中的得分是 3 分 2 4支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分比赛结果，各队的总得分恰好是 4 个连续的自然数问：输给第一名的队的总分是多少 ? 【分析与解】四个队共赛了场， 6 场总分在 12(=62) 与18(=63) 之间 由于是 4 个连续自然数的和，所以 =2 3 4=5 14 或=3+4+5=18 如果 =18，那么 每场都产生 3 分，没有平局，但 5=3+1+1 表明两场踢平，矛盾 所以 =14， 14=32+24 表明 6 场中只有 2 场分出胜负此时第一、二、三、四名得分依次为 5、 4、 3、 2 则第三名与所有人打平，那么第二名没有了平局，只能是第一名与第四名打平，这样第一名还有 1 局胜，第二名还有 1局负，所以第一名胜第二名 3 / 8 即输给第一名的队得 4 分 如下图所示，在两队之间连一条线表示两队踢平，画一条，表示胜各队用它们的得分来表示 评注：常见的体育比赛模式 个队进行淘汰赛，至少要打场比赛：每场比赛淘汰一名选手； 个队进行循环赛，一共要打场比赛：每个队要打场比赛 循环赛中常见的积分方式： 两分制：胜一场得 2 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分； 核心关系：总积分 =2 比赛场次； 三分制：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 o 分； 核心关系：总计分 =3 比赛场次 -1 赛平场次 3 6支足球队进行单循环比赛，即每两队之间都比赛一场每场比赛胜者得 3 分，负者得 0 分，平局各得 1 分现在比赛已进行了 4 轮，即每队都已与 4 个队比赛过，各队已赛 4 场的得分之和互不相同已知总得分居第三位的队共得 7 分，并且有 4 场球踢成 平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分 ?最少可得多少分 ? 【分析与解】每轮赛 3 场，最多产生分，四轮最多分现在有 4 场踢成平局，每平一场少 1 分，所以总分为 前三名得分的和至少为 所以后三名的得分的和至多为 4 / 8 第 5 名如果得 4 分，则后三名的得分的和至少为这不可能，所以第 5 名最多得 3 分，图 ()为取 3 分时的一种可能的赛况图 显然第 5 名最少得 1 分，图 (b)为取 1 分时的一种可能的赛况图 评注：以下由第 5 名得分情况给出详细赛况： 4某商品的编号是一个三位数现有 5 个三位数 ： 874， 765，123， 364， 925，其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字那么这个三位数是多少 ? 【分析与解】方法一：每一个与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字五个数，就要有五次相同，列出这五个数： 874， 765， 123， 364， 925 百位上五个数各不相同，十位上有两个 6 和两个 2，个位上有两个 4 和两个 5 因此，商品编号的个位数字一定和给定 5 个数中的两个个位数字相同，商品编号的十位数字一定和给定 5 个数中的两个十位数字相同，商品编号的百位数字只能跟 5 个数中的一个百位数字相同 若商品编号的个位数字是 5，我们就把第二个和第五个数拿走，剩下的三个数的十位数字各不相同，无法满足题目的要5 / 8 求 (事实上，十位数字只能取 7，而十位上只有一个 7) 若商品编号的个位数字是 4，拿走第一和第四个数后，十位上仍有两个 2，可取十位数字为 2，再拿走第三和第五个数，剩第二个数，它的百位是 7，所以商品的编号为 724 如果一个数与商品编号在某一位有相同数字，那么这个数与商品编号不会再有另外相同数字因此解的过程中用 “ 拿走 ” 这一说法是恰当的 方法二：商品编号的个位数字只可能是 3、 4、 5 如果是 3，那么 874， 765， 364， 925 这 4 个数中至多有三个数与商品编号有相同数字 (百位有一个相同，十位有两个相同 )，还有一个数与商品编号无相同数字，矛盾 如果是 5，那么 765， 925的个位数字是 5，从而商品号码的十位数字不是 6、 2，因此必须是 7这时 123、 364 中至少有一个与商品号码无相同数字，矛盾 所以，该商品号码的个位数字只能是 4，而且这个号码应为724 即这个三位数为 724 5某楼住着 4 个女孩和 2 个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最小的 4 岁，最大的女孩 比最小的男孩大 4岁，最大的男孩比最小的女孩大 4 岁求最大的男孩的岁数 【分析与解】本题中最大的孩子，可能是男孩，可能是女孩 当最大的孩子为女孩时，即最大的女孩为 10 岁，那么最小6 / 8 的男孩为岁，则 4岁定是最小的女孩，那么最大的男孩是 4+4：8 岁，满足题意； 当最大的孩子为男孩时，即最大的男孩为 10 岁，那么最小的女孩为 10 4=6 岁 .则 4 岁一定时最小的男孩，那么最大的女孩为 4+4=8岁，也就是说 4 个年龄不同的女孩的年龄在6 8 之间，显然得不到满足 于是，最大的男孩为 8 岁 6某次考试满分是 100 分， A， B， c， D， E 这 5 个人参加了这次考试 A 说： “ 我得了 94分 ” B 说： “ 我在 5 个人中得分最高 ” c 说： “ 我的得分是 A 和 D 的平均分，且为整数 ” D 说： “ 我的得分恰好是 5 个人的平均分 ” E 说： “ 我比 c 多得了 2 分，并且在 5 个人中居第二 ” 问这 5 个人各得了多少分 ? 【分析与解】 B、 E 分别为第一、二名， c 介于 A、 D 之间，则当 A 为第三时， c 为第四， D 为第五，得 5 人平均分的人为最后一名，显然不满足 于是 D、 c、 A 只能依次为第三、四、五名，有 B、 E、 D、 c、A 依次为第一、二、三、四、五名 ， A 为 94分， c 为 D、 A 得平均分，且为整数，所以 D 的得分为偶数，只可能为 98 或96(如果为 100，则 B、 E 无法取值 )， D、 c、 A 得分依次为 98、7 / 8 96、 94或 96、 95、 94，有 E 比 c 高 2 分，则 E、 D、 c、 A 得分依次为 98、 98、 96、 94或 97、 96、 95、 94.对应 5 个人的平均分为 98或 96，而 B 的得分对应为 104或 98，显然 B 得不到 104分 所以 B、 E、 D、 c、 A 的得分只能依次是 98、 97、 96、 95、94 7在一次射击练习中，甲、乙、丙 3 位战士各打了 4 发子弹，全部中靶其命中情况如下： 每人 4 发子弹所命中的环数各不相同； 每人 4 发子弹所命中的总环数均为 17环； 乙有 2 发命中的环数分别与甲其中的 2 发一样，乙另 2 发命中的环数与丙其中的 2 发一样： 甲与丙只有 1 发环数相同； 每人每发子弹的最好成绩不超过 7 环 问：甲与丙命中的相同环数是几 ? 【分析与解】条件较多，一次直接求出满足所有条件的情况有些困难，争把条件分类，再逐个满足之 第一步：使用枚举法找出符合每发最多不超过 7 环、四发子弹命中的环型不相同，和为 17环的所有情况； 第二步：在这些情况中去掉不符合条件 、 的