函数及性质

1 / 7 函数及性质 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 函数及性质 一 .【复习目标】 1.理解函数单调性的概念 ,理解函数的周期性 . 2.会利用函数的性质描绘函数的图象 ,讨论函数、方程、不等式相关问题 . 3.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法 . 二、【课前热身】 1函数 y=的反函数 () A.是奇函数，它在（ 0， +）上是减函数。 B.是偶函数，它在（ 0， +）上是减函数。 c.是奇函数，它在（ 0， +上是增函数。 D.是偶函数，它在（ 0， +上是增函数。 2若 定义在 R 上的偶函数 f（ x）在（ -， 0）上是减函数，且 =2。那么不等式的解集为 () （ A）（， 1）（ B）（ 0，）。 （ c）（ 0，）（ D）（ 2， +） 3已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，且对一切x，总有 f（ x+4） =f（ x）， 若 f（ 63） =2，则 f（ 5）与 f（ 7）的大小关系是- 2 / 7 4已知 f（ x） =8+2x-x2，如果 g（ x） =f（ 2-x2），那么 g（ x） (） （ A）在区间（ -2， 0）上是增函数。（ B）在区间（ 0， 2）上是增函数。 （ c）在 区间（ -1， 0）上是减函数。（ D）在区间（ 0， 1）上是减函数。 三 .【例题探究】 例 1设函数，其中 a 是实数， n 是自然数，且 n，若 f（ x）当 x 时有意义，求 a 的取值范围。 例 2设函数，当点（ x， y）在 y=f（ x）的反函数图象上运动时，对应的点（）在 y=g（ x）的图象上。 (1).求的表达式。 (2).当时，求的最小值。 例 3定义在 R 上的单调函数 f(x)满足且对任意 x， yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x)为奇函数； (2)若 f(k3)+f(3-9-2) 0 对任意 xR 恒成立，求实数 k 的取值范围 3 / 7 四、【方法点拨】 1.函数不等式的求解要注意结合函数的单调性 ,特别要重视定义域的作用 2.不等式恒成立问题要注意等价转化 . 冲刺强化训练 (2) 1.函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（） 2方程的解所在区间是（） A（ 0， 2） B。（ 1， 2） c.（ 2， 3） D.（ 3， 4） 3设函数的反函数为，又函数的图象关于直线对称，那么的值为 (） A -1B.- 4.设偶函数是定义在实数集 上的周期为 2 的周期函数，当时， 则当时，的解析式是（） 5.函数的单调递增区间是 : 6设定义在 R 上的函数的最小正周期为 2，且在区间内单调递减，则 4 / 7 的大小关系是： _. 7.已知函数 （ 1）求函数的反函数。 （ 2）如果，求 a 的值，并画出的图象。 8给出函数 （ 1）对任意的实数都有，求实数 a 的范围。 （ 2）试判断在上的增减性，并给予证明 9.设函数 (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)指出在区间上的单调性，并予以证明 . 参考答案 一、 课前热身 1 c2 B3 4 c 二、 例题探究 例 1分析：使函数 f（ x） =lg有意义的的集合满足： 5 / 7 即。 因的定义域是，故对于一切， 式恒成立。由函数 在上是减函数知函数在 上是增函数。故在上的最大值是 。故所求范围是（。 说明：利用函数的单调性求函数的值域或最值是一种重要的方法。 例 2分析： (1)易求。 （ 2）由 g（ x） f 1（ x） 0 得 ：。 故即。 说明：二次函数的最值不一定在顶点取得，当时，的最值为。 例 3分析：欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有f(-x)=-f(x)成立在式子 f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值令x=y=0可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0， f(x)是奇函数得到证明 (1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x， yR) ， 令 x=y=0，代入 式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 令 y=-x，代入 式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有 0=f(x)+f(-x)即 f(-x)=-f(x)对任意 xR 成立，所以 f(x)是奇函数 6 / 7 (2)解： f(3)=log3 0，即 f(3) f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R 上是增函数，又由 (1)f(x)是奇函数 f(k3) -f(3-9-2)=f(-3+9+2) ， k3 -3+9+2， 3-(1+k)3+2 0 对任意 xR 成立 令 t=3 0，问题等价于 t-(1+k)t+2 0对任意 t 0恒成立 R 恒成立 说明：问题 (2)的上述解法是根据函数的性质 f(x)是奇函数且在 xR 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2 对于任意 t 0 恒成立对二次函数 f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k3 -3+9+2 得 上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖 冲刺强化训练 (2) 、 c3 7 / 7 7.（ 1）反函数。（ 2）。图象略。 8（ 1）。（ 2）增函数。 9.证明：（ I） 故 f(x)在（ 0， 1 上是减函数，而