高考数学第一轮复习考试题15空间向量及立体几何.doc

专题五立体几何第三讲空间向量与立体几何一、选择题1以下命题中，不正确的命题个数为 ()A0 B1 C2 D3解析：由向量的和运算知正确a，b，c为空间一个基底，则a，b，c为两两不共线的非零向量不妨假设abx(bc)y(ca)，即(1y)a(1x)b(xy)c0.a、b、c两两不共线，不存在实数x、y使假设成立，故正确中若加入xyz1则结论正确，故错误答案：B2在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：答案：ADBC是锐角同理可证DCB，BDC都是锐角BCD是锐角三角形答案：B4如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则 ()AEF至多与A1D、AC之一垂直BEF是A1D、AC的公垂线CEF与BD1相交DEF与BD1异面解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，答案：D5.(2010山东烟台)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为 ()A.150 B45 C60 D120答案：C二、填空题答案：3a3b5c7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是_,解析：以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,8.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所在角的大小等于_答案：909.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_,解析：分别以C1B1、C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系,A1MANa，,M，N，答案：平行三、解答题10.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD，E为垂足(1)求证：BDA1C；(2)求二面角A1BDC1的大小；(3)求异面直线AD与BC1所成角的余弦解：(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，AC是A1C在平面ABCD上的射影BDAC，BDA1C.(2)如图所示，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系连结A1E、C1E、A1C1，与(1)同理可证BDA1E，BDC1E.A1EC1为二面角A1BDC1的平面角，由A1(2,0，)，C1(0,2，)，E，11(2010山东，19)如图，在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积解：(1)证明：在ABC中，因为ABC45，BC4，AB2，所以AC2AB2BC22ABBCcos458，因此AC2.故BC2AC2AB2，所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC.又PA、AC平面PAC，且PAACA，所以CD平面PAC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAC.(2)解法一：因为PAB是等腰三角形，所以PAAB2，因此PB4.又ABCD.所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA2，AC2，所以PC4.故PC边上的高为2，此即为点A到平面PCD的距离所以B到平面PCD的距离为h2.设直线PB与平面PCD所成的角为，则sin ，又，所以.解法二：由(1)知AB、AC、AP两两相互垂直，分别以AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2，又AC2，因此A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2，0)，P(0，0,2)，因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，所以D(，2，0)因为(0，2，2)，(，0,0)，设m=（x，y，z）是平面PCD的一个法向量，则m0，m0，解得x0，yz，取y=1，得m=（0，1，1），又(2，0,2)，设表示向量与平面PCD的法向量m所成的角，因此直线PB与平面PCD所成的角为.(3)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135，因此CAE45，故CDAEsin 452，EDACAEcos 4522，所以S四边形ACDE3.PA平面ABCDE.VPACDE322.12(2010福建)如图圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径(1)证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；(2)设ABAA1.在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABCA1B1C1内的概率为p.()当点C在圆周上运动时，求p的最大值；()记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为(090)当p取最大值时，求cos 的值解：解法一：(1)证明：A1A平面ABC，BC平面ABC，A1ABC.AB是圆O的直径，BCAC.又ACA1AA，BC平面A1ACC1.而BC平面B1BCC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1.(2)()设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V1ACBC2rACBCr.又AC2BC2AB24r2，ACBC2r2，当且仅当ACBCr时等号成立从而，V12r3.而圆柱的体积Vr22r2r3，故p，当且仅当ACBCr，即OCAB时等号成立所以，p的最大值等于.()由()可知，p取最大值时，OCAB.于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则C(r,0,0)，B(0，r,0)，B1(0，r，2r)BC平面A1ACC1，(r，r,0)是平面A1ACC1的一个法向量设平面B1OC的法向量n(x，y，z)，取z1，得平面B1OC的一个法向量为n(0，2,1)解法二：(1)同解法一(2)()设圆柱的底面半径为r，则ABAA12r，故三棱柱ABCA1B1C1的体积V1ACBC2rACBCr.设BAC(090)，则ACABcos 2rcos ，BCABsin 2rsin ，由于ACBC4r2sin cos 2r2sin 22r2，当且仅当sin 21即45时等号成立故V12r3.而圆柱的体积Vr22r2r3，故p，当且仅当sin 21即45时等号成立所以，p的最大值等于.