2016年高考数学导数压轴题及答案解析.doc

2015年高考数学压轴卷及答案解析导数目录2015年高考数学导数压轴卷2一解答题（共30小题）22015年高考数学导数压轴卷答案解析10一解答题（共30小题）102015年高考数学导数压轴卷一解答题（共30小题）1（2015株洲一模）已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：2（2015北京校级模拟）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x（0，e时，证明：3（2015菏泽一模）设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令F（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围4（2015秦州区校级一模）设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）5（2015陕西校级二模）对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意xR，不等式f（x）kx+mg（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，aR为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由6（2015安徽模拟）已知函数（a为实常数）（）当a=1时，求函数g（x）=f（x）2x的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（）已知nN*且n3，求证：7（2015黄冈模拟）已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aR（）若函数F（x）=f（x）g（x）有极值点1，求a的值；（）若函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（）证明：8（2015衡水三模）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围9（2015陕西模拟）已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围10（2015横峰县校级一模）已知函数f（x）=alnxax3（aR，a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间t，3上总存在极值？（）当a=2时，设函数，若在区间1，e上至少存在一个x0，使得h（x0）f（x0）成立，试求实数p的取值范围11（2015凤凰县校级模拟）已知函数f（x）=x3ax23x（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是f（x）的一个极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由12（2015路南区校级模拟）已知函数f（x）=x3（2a+1）x2+（a2+a）x（）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；（）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（）若a1，求f（x）在区间0，1上的最大值13（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x12，f（x）为f（x）的导函数，满足f（2x）=f（x）（）设g（x）=x，m0，求函数g（x）在0，m上的最大值；（）设h（x）=lnf（x），若对一切x0，1，不等式h（x+1t）h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围14（2015安徽三模）已知函数在点（1，f（1）的切线方程为x+y+3=0（）求函数f（x）的解析式；（）设g（x）=lnx，求证：g（x）f（x）在x1，+）上恒成立；（）已知0ab，求证：15（2014秋仙游县校级期中）已知函数f（x）=x+，h（x）=（）设函数F（x）=f（x）h（x），求F（x）的单调区间与极值；（）设aR，解关于x的方程log4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）试比较f（100）h（100）与的大小16（2014遵义二模）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（）证明：f（x2）17（2014秋大兴区校级月考）已知函数f（x）=exex2x（）讨论f（x）的单调性；（）设g（x）=f（2x）4bf（x），当x0时，g（x）0，求b的最大值；（）已知1.41421.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）18（2014武汉模拟）己知函数f（x）=x2ex（）求f（x）的极小值和极大值；（）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围19（2014马山县校级模拟）已知函数f（x）=x3+3ax2+（36a）x+12a4（aR）（）证明：曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）；（）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0（1，3），求a的取值范围20（2014春丰润区期中）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1（）求a=时，讨论f（x）的单调性；（）若x2，+）时，f（x）0，求a的取值范围21（2014浙江）已知函数f（x）=x3+3|xa|（aR）（）若f（x）在1，1上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）m（a）；（）设bR，若f（x）+b24对x1，1恒成立，求3a+b的取值范围22（2014河西区三模）已知函数f（x）=+cx+d（a，c，dR）满足f（0）=0，f（1）=0，且f（x）0在R上恒成立（1）求a，c，d的值；（2）若，解不等式f（x）+h（x）0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）mx在区间m，m+2上有最小值5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由23（2014四川模拟）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设F（x）=2f（x）3x2kx（kR），若函数F（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数F（x）在点（x0，F（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由24（2014天津三模）已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）=xe1x（aR，e为自然对数的底数）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在上无零点，求a的最小值；（）若对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围25（2014河西区一模）已知函数g（x）=，f（x）=g（x）ax（1）求函数g（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（1，+）上是减函数，求实数a的最小值；（3）若存在x1，x2e，e2，使f（x1）f（x2）+a，求实数a的取值范围26（2014凉州区二模）已知函数f（x）=plnx+（p1）x2+1（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：1n（n+1）1+（nN+）27（2014蚌埠二模）已知函数为大于零的常数（1）若函数f（x）在区间1，+）内调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间1，2上的最小值；（3）求证：对于任意的成立 28（2014高州市模拟）设函数f（x）=（x1）2+blnx，其中b为常数（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立29（2014甘肃二模）已知函数f（x）=+lnx2，g（x）=lnx+2x（）求函数f（x）的单调区间；（）试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由30（2014吉林三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax6lnx，其中aR（1）当a=1时，判断f（x）的单调性；（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；（3）设函数h（x）=x2mx+4，当a=2时，若x1（0，1），x21，2，总有g（x1）h（x2）成立，求实数m的取值范围2015年高考数学导数压轴卷答案解析一解答题（共30小题）1（2015株洲一模）已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解解答：解：（）（2分）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2（6分）g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（10分）（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，（12分）n2，nN*，则有0lnnn1，点评：本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，已知函数曲线上一点求曲线的切线方程即对函数导数的几何意义的考查，考查求导公式的掌握情况含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题2（2015北京校级模拟）已知函数f（x）=x2+axlnx，aR（1）若函数f（x）在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）x2，是否存在实数a，当x（0，e（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）当x（0，e时，证明：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在1，2上是减函数可得到其导函数在1，2上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x（0，e时g（x）有最小值3（3）令F（x）=e2xlnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0xe大于等于0可判断出函数（x）在（0，e上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即成立解答：解：（1）在1，2上恒成立，令h（x）=2x2+ax1，有得，得（2）假设存在实数a，使g（x）=axlnx（x（0，e）有最小值3，=当a0时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，a=e2，满足条件当时，g（x）在（0，e上单调递减，g（x）min=g（e）=ae1=3，（舍去），综上，存在实数a=e2，使得当x（0，e时g（x）有最小值3（3）令F（x）=e2xlnx，由（2）知，F（x）min=3令，当0xe时，（x）0，（x）在（0，e上单调递增，即（x+1）lnx点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减3（2015菏泽一模）设函数f（x）=lnxbx（）当a=b=时，求函数f（x）的单调区间；（）令F（x）=f（x）+x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；（）当a=0，b=1时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：（I）先求导数f（x）然后在函数的定义域内解不等式f（x）0和f（x）0，f（x）0的区间为单调增区间，f（x）0的区间为单调减区间（II）先构造函数F（x）再由以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k恒成立，知导函数恒成立，再转化为所以a（，x02+x0）max求解（III）先把程f（x）=mx有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解解答：解：（）依题意，知f（x）的定义域为（0，+）（1分）当a=b=时，f（x）=lnxx2x，f（x）=x=（2分）令f（x）=0，解得x=1当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递增；当x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减（3分）所以函数f（x）的单调增区间（0，1），函数f（x）的单调减区间（1，+）（4分）（）F（x）=lnx+，x（0，3，所以k=F（x0）=，在x0（0，3上恒成立，（6分）所以a（x02+x0）max，x0（0，3（7分）当x0=1时，x02+x0取得最大值 所以a（9分）（）当a=0，b=1时，f（x）=lnx+x，因为方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，所以lnx+x=mx有唯一实数解，设g（x）=，则g（x）=令g（x）0，得0xe；g（x）0，得xe，g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数，g（1）=1，g（e2）=1+=1+，g（e）=1+，所以m=1+，或1m1+点评：本题主要考查函数的单调性、极值、不等式、方程的解等基本知识，同时考查运用导数研究函数性质的方法，分类与整合及化归与转化等数学思想4（2015秦州区校级一模）设函数f（x）=（1+x）22ln（1+x）（1）若关于x的不等式f（x）m0在0，e1有实数解，求实数m的取值范围（2）设g（x）=f（x）x21，若关于x的方程g（x）=p至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式：（nN*）考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用分析：（1）依题意得f（x）maxm，x0，e1，求导数，求得函数的单调性，从而可得函数的最大值；（2）求导函数，求得函数的单调性与最值，从而可得p的最小值；（3）先证明ln（1+x）x，令，则x（0，1）代入上面不等式得：，从而可得利用叠加法可得结论解答：（1）解：依题意得f（x）maxm，x0，e1，而函数f（x）的定义域为（1，+）f（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数，f（x）在0，e1上为增函数，实数m的取值范围为me22（2）解：g（x）=f（x）x21=2x2ln（1+x）=2xln（1+x），显然，函数g（x）在（1，0）上为减函数，在（0，+）上为增函数函数g（x）的最小值为g（0）=0要使方程g（x）=p至少有一个解，则p0，即p的最小值为0（3）证明：由（2）可知：g（x）=2xln（1+x）0在（1，+）上恒成立所以ln（1+x）x，当且仅当x=0时等号成立令，则x（0，1）代入上面不等式得：即，即所以ln2ln11，将以上n个等式相加即可得到：点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查恒成立问题，属于中档题5（2015陕西校级二模）对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意xR，不等式f（x）kx+mg（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数f（x），g（x）的分界线已知函数f（x）=ex（ax+1）（e为自然对数的底，aR为常数）（）讨论函数f（x）的单调性；（）设a=1，试探究函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；新定义分析：（）f（x）=ex（ax+1+a），当a0时，f（x）0函数f（x）在区间（1，+）上是增函数，在区间（，1）上是减函数；a=0时，f（x）0，函数f（x）是区间（，+）上的增函数；当a0时，f（x）0axa1，函数f（x）在区间（，1）上是增函数，在区间（1，+）上是减函数（）若存在，则ex（x+1）kx+mx2+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x2+（k2）x0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1存在“分界线”解答：解：（）f（x）=ex（ax+1+a），（2分）当a0时，f（x）0axa1，即x1，函数f（x）在区间（1，+）上是增函数，在区间（，1）上是减函数；（3分）当a=0时，f（x）0，函数f（x）是区间（，+）上的增函数；（5分）当a0时，f（x）0axa1，即x1，函数f（x）在区间（，1）上是增函数，在区间（1，+）上是减函数（7分）（）若存在，则ex（x+1）kx+mx2+2x+1恒成立，令x=0，则1m1，所以m=1，（9分）因此：kx+1x2+2x+1恒成立，即x2+（k2）x0恒成立，由0得到：k=2，现在只要判断ex（x+1）2x+1是否恒成立，（11分）设（x）=ex（x+1）（2x+1），因为：（x）=ex（x+2）2，当x0时，ex1，x+22，（x）0，当x0时，ex（x+2）2ex2，（x）0，所以（x）（0）=0，即ex（x+1）2x+1恒成立，所以函数f（x）与函数g（x）=x2+2x+1存在“分界线”方程为y=2x+1（14分）点评：本题考查导数函数单调性中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解6（2015安徽模拟）已知函数（a为实常数）（）当a=1时，求函数g（x）=f（x）2x的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；（）已知nN*且n3，求证：考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；数列与不等式的综合菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：（）求出函数定义域，当a=1时求出g（x），只需解不等式g（x）0，g（x）0即可（）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f（x）0或f（x）0，由此即可求出a的取值范围（）由（）知，当a=1时，f（x）在（0，+）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=0，即ln，令x=适当变形即可证明解答：解：（I）当a=1时，其定义域为（0，+），g（x）=2+=，令g（x）0，并结合定义域知； 令g（x）0，并结合定义域知；故g（x）的单调增区间为（0，）；单调减区间为（II），（1）当f（x）0即ax在x（0，2）上恒成立时，a0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；（2）当f（x）0即ax在x（0，2）上恒成立时，a2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值综上所述，a的取值范围为（，02，+）（）由（）知，当a=1时，f（x）=，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增；当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减，f（x）=在x=1处取得最大值0即f（x）=1，令x=（0x1），则，即ln（n+1）lnn，ln=ln（n+1）ln3=ln（n+1）lnn+lnnln（n1）+（ln4ln3）故点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题，考查了运用知识解决问题的能力7（2015黄冈模拟）已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aR（）若函数F（x）=f（x）g（x）有极值点1，求a的值；（）若函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；（）证明：考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；导数的综合应用分析：（）根据已知条件函数F（x）=f（x）g（x）有极值点1，可得F（1）=0，得出等式，求出a值；（）因为函数G（x）=fsin（1x）+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为G（x）0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；（）这个证明题可以利用一个恒等式，sinxx，然后对从第三项开始进行放缩，然后进行证明；解答：解：（）函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中aRF（x）=axlnx，则 F（x）=a，函数F（x）=f（x）g（x）有极值点1，F（1）=0，a1=0，解得a=1；（）函数G（x）=fsin（1x）+g（x）=asin（1x）+lnx，G（x）=acos（1x）（1）+，只要G（x）在区间（0，1）上大于等于0，G（x）=acos（1x）（1）+0，a，求的最小值即可，求h（x）=xcos（1x）的最大值即可，01x1，h（x）=cos（1x）+xsin（1x）0，h（x）在（0，1）增函数，h（x）h（1）=1，的最小值为1，a1；（）01，sinxx在x（0，1）上恒成立，=sin+sin+sin+=ln2，ln2；点评：第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinxx进行证明，此题难度比较大，计算量比较大；8（2015衡水三模）已知函数f（x）=xalnx，g（x）=，（aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值；（）设函数h（x）=f（x）g（x），求函数h（x）的单调区间；（）若在1，e（e=2.718）上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数f（x）的极值；（）先求出函数h（x）的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（）先把f（x0）g（x0）成立转化为h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零；再结合（）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a的取值范围解答：解：（）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当a=1时，f（x）=xlnx，（2分）x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小（3分）所以f（x）在x=1处取得极小值1（4分）（），（6分）当a+10时，即a1时，在（0，1+a）上h（x）0，在（1+a，+）上h（x）0，所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+）上单调递增；（7分）当1+a0，即a1时，在（0，+）上h（x）0，所以，函数h（x）在（0，+）上单调递增（8分）（ III）在1，e上存在一点x0，使得f（x0）g（x0）成立，即在1，e上存在一点x0，使得h（x0）0，即函数在1，e上的最小值小于零（9分）由（）可知即1+ae，即ae1时，h（x）在1，e上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由可得，因为，所以；（10分）当1+a1，即a0时，h（x）在1，e上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a0可得a2；（11分）当11+ae，即0ae1时，可得h（x）最小值为h（1+a），因为0ln（1+a）1，所以，0aln（1+a）a故h（1+a）=2+aaln（1+a）2此时，h（1+a）0不成立（12分）综上讨论可得所求a的范围是：或a2（13分）点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值9（2015陕西模拟）已知函数（a为常数，a0）（）若是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（）求证：当0a2时，f（x）在上是增函数；（）若对任意的a（1，2），总存在 ，使不等式f（x0）m（1a2）成立，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（）先求出其导函数：，利用是函数f（x）的一个极值点对应的结论f（）=0即可求a的值；（）利用：，在0a2时，分析出因式中的每一项都大于等于0即可证明结论；（）先由（）知，f（x）在上的最大值为，把问题转化为对任意的a（1，2），不等式恒成立；然后再利用导函数研究不等式左边的最小值看是否符合要求即可求实数m的取值范围解答：解：由题得：（）由已知，得且，a2a2=0，a0，a=2（2分）（）当0a2时，当时，又，f（x）0，故f（x）在上是增函数（5分）（）a（1，2）时，由（）知，f（x）在上的最大值为，于是问题等价于：对任意的a（1，2），不等式恒成立记，（1a2）则，当m=0时，g（a）在区间（1，2）上递减，此时，g（a）g（1）=0，由于a210，m0时不可能使g（a）0恒成立，故必有m0，若，可知g（a）在区间上递减，在此区间上，有g（a）g（1）=0，与g（a）0恒成立矛盾，故，这时，g（a）0，g（a）在（1，2）上递增，恒有g（a）g（1）=0，满足题设要求，即，所以，实数m的取值范围为（14分）点评：本题第一问主要考查利用极值求对应变量的值可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点10（2015横峰县校级一模）已知函数f（x）=alnxax3（aR，a0）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为，问：m在什么范围取值时，对于任意的t1，2，函数在区间t，3上总存在极值？（）当a=2时，设函数，若在区间1，e上至少存在一个x0，使得h（x0）f（x0）成立，试求实数p的取值范围考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；综合题；压轴题分析：（）求出f（x）对a分类讨论，由f（x）0时，得到函数的递增区间；令f（x）0时，得到函数的递减区间；（）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，得到f（2）=1求出a的值代入到g（x）=中化简，求出导函数，因为函数在t，3上总存在极值得到 g（t）0，g（3）0 解出m的范围记即可；（）F（x由题意构建新函数F（x）=f（x）g（x），这样问题转化为使函数F（x）在1，e上至少有一解的判断解答：解：（）f（x）=a=a（）（x0），（1）当a0时，令f（x）0时，解得0x1，所以f（x）在（0，1）递增；令f（x）0时，解得x1，所以f（x）在（1，+）递减当a0时，f（x）=a（），令f（x）0时，解得x1，所以f（x）在（1，+）递增；令f（x）0时，解得0x1，所以f（x）在（0，1）递减；（）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，所以f（2）=1，所以a=2，f（x）=+2，g（x）=x3+x2+f（x）=x3+x2+2=x3+（2+）x22x，g（x）=3x2+（4+m）x2，因为对于任意的t1，2，函数g（x）=x3+x2+f（x）在区间t，3上总存在极值，所以只需 g（2）0 g（3）0，解得m9；（）令F（x）=h（x）f（x）=（p2）x32lnx+2x+3=px2lnx，当p0时，由x1，e得px0，2lnx0所以，在1，e上不存在x0，使得h（x0）f（x0）成立；当p0时，F（x）=，x1，e，2e2x0，px2+p0，F（x）0在1，e上恒成立，故F（x）在1，e上单调递增F（x）max=F（e）=pe4故只要pe40，解得p所以p的取值范围是，+）点评：（）考查学生利用导数研究函数单调性的能力，（）利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，会根据直线的倾斜角求直线的斜率，（）此处重点考查了等价转化的思想，把问题转化为构建一新函数，并考查了函数F（x）在定义域下恒成立问题数式中含字母系数，需分类讨论，属于难题11（2015凤凰县校级模拟）已知函数f（x）=x3ax23x（1）若f（x）在区间1，+）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=是f（x）的一个极值点，求f（x）在1，a上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）求导函数，可得f（x）=3x22ax3，利用f（x）在区间1，+）上是增函数，可得3x22ax30在区间1，+）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；（2）依题意x=是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x34x23x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在1，4上的最大值；（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x34x23x=bx恰有3个不等实根，即方程x24x3b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围解答：解：（1）求导函数，可得f（x）=3x22ax3f（x）在区间1，+）上是增函数，f（x）0在区间1，+）上恒成立，即3x22ax30在区间1，+）上恒成立，则必有且f（1）=2a0，a0（5分）（2）依题意x=是f（x）的一个极值点，即a=4，f（x）=x34x23x（6分）令f（x）=3x28x3=0，得则当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，3）3（3，4）4f（x）0+f（x）61812f（x）在1，4上的最大值是f（1）=6（10分）（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x34x23x=bx恰有3个不等实根（12分）x34x23xbx=0恰有3个不等实根x=0是其中一个根，方程x24x3b=0有两个非零不等实根，b7，且b3（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x34x23x=bx恰有3个不等实根12（2015路南区校级模拟）已知函数f（x）=x3（2a+1）x2+（a2+a）x（）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的值；（）若mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（）若a1，求f（x）在区间0，1上的最大值考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用分析：（）求导数，确定函数的单调性，利用f（x）在x=1处取得极大值，可求实数a的值；（II）求导数，根据mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，可得对xR成立，即使f（x）的最小值大于k；（III）分类讨论，确定函数在区间0，1上的单调性，从而可求函数的最大值解答：解：（）因为 f（x）=x2（2a+1）x+（a2+a）=（xa）x（a+1）（2分）令f（x）=0，得x1=（a+1），x2=a所以f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（，a）a（a，a+1）a+1（a+1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值（4分）因为f（x）在x=1处取得极大值，所以a=1（5分）（II）求导数可得（6分）因为mR，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以对xR成立（7分）所以只要f（x）的最小值大于k，所以（8分）（III）因为a1，所以a+10，当a1时，f（x）0对x0，1成立，所以当x=1时，f（x）取得最大值（9分）当0a1时，在x（0，a）时，f（x）0，f（x）单调递增，在x（a，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当x=a时，f（x）取得最大值（10分）当a=0时，在x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，所以当x=0时，f（x）取得最大值f（0）=0（11分）当1a0时，在x（0，a+1）时，f（x）0，f（x）单调递减，在x（a+1，1）时，f（x）0，f（x）单调递增，又，当时，f（x）在x=1取得最大值当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0当时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0（14分）综上所述，当a1或时，f（x）取得最大值；当0a1时，f（x）取得最大值；当时，f（x）在x=0，x=1处都取得最大值0；当时，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题13（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x12，f（x）为f（x）的导函数，满足f（2x）=f（x）（）设g（x）=x，m0，求函数g（x）在0，m上的最大值；（）设h（x）=lnf（x），若对一切x0，1，不等式h（x+1t）h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（）f（x）=x2+2bx+c，由f（2x）=f（x），解得b=1由直线y=4x12与x轴的交点为（3，0），解得c=1，d=3由此能求出函数g（x）在0，m上的最大值（）h（x）=ln（x1）2=2ln|x1|，则h（x+1t）=2ln|xt|，h（2x+2）=2ln|2x+1|，由当x0，1时，|2x+1|=2x+1，知不等式2ln|xt|2ln|2x+1|恒成立等价于|xt|2x+1，且xt恒成立，由此能求出实数t的取值范围解答：（本小题满分14分）解：（）f（x）=x2+2bx+c，f（2x）=f（x），函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则b=1直线y=4x12与x轴的交点为（3，0），f（3）=0，且f（x）=4，即9+9b+3c+d=0，且9+6b+c=4，解得c=1，d=3则故f（x）=x22x+1=（x1）2，g（x）=x=x|x1|=，如图所示当时，x=，根据图象得：（）当xm