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1 / 3 双曲线第一定义在解题中的应用 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址双曲线第一定义在解题中的应用 双曲线的第一定义是圆锥曲线部分的重要概念，在解题中有着重要的应用，本文将双曲线的第一定义在解题中的应用作以介绍，供同学们学习时参考 . 一、利用双曲线第一定义求轨迹方程 例 1 已知中， c（ -2， 0）， B（ 2， 0），求顶点 A 的轨迹方程 . 分析 :用正弦定理将化为，由双曲线的第一定义知顶点 A 的轨迹是以 c、 B 为焦点，长轴长为 2 的双曲线的右支 . 解析：由正弦定理及得， 由双曲线的第一定义知顶 点 A 的轨迹是以 c、 B 为焦点，长轴长为 2 的双曲线的右支 ， =3 顶点 A 的轨迹方程为（） . 点评：本题考查了双曲线的第一定义、正弦定理及双曲线的标准方程，利用定义求轨迹是求轨迹问题的一种重要方法 . 二、利用双曲线第一定义解决焦点三角形问题 例 2 已知，是双曲线的两个焦点，过与椭圆实轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，若 是正三角形，求双曲线的离心率 . 分析：本题关键在于寻找、间关系，结合图形，容易找到此关系 . 2 / 3 解析：由 是正三角形，得是为的直角三角形，设 =，则，则 =，由双曲线第一定义知， =，又 =. 点评 :本题考查了双曲线的第一定义与椭圆性质，对焦点三角形问题，常用到第一定义 . 例 3 已知双曲线 ()的焦点分别为， P 是双曲线上异于顶点的任意一点， =()，求的面积 . 分析：已知 =，关键是求的值，联系 =，使我们想到余弦定理，配方后用双曲线第一定义即可求得 . 解析：设双曲线的焦距为，有双曲线的第一定义知， =， 在中，由余弦定理得， =， = =. 点评：解决双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题时，要充分利用正弦定理、余弦定理、双曲的第一定义，关键是配凑出的形式，注意点 P 在双曲线的哪一支上 . 三、利用第一定义计算双曲线上一点到两焦点的距离问题 例 4 已知，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于，弦 AB=4，求的周长 . 分析：本题涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，利用双曲线的第一定义求解 . 解析 :因为，在双曲线上，所以 =8， =8， =16 ，而， 3 / 3 ， ，即的周长为 24. 点评：凡涉及双曲线上一点到两焦点的距离问题，注意利用双曲线第一定义求解，注意判断点在双曲线的哪一支上 . 在解决双曲线问题要有应用椭圆第一定义的意识，见到动点到两定点距离之差的绝对 值等于常数（常数小于两定点的距离）应想到其
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